高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 第6講 不等式的證明
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,歡迎進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂,第6講不等式的證明,常用的證明不等式的方法,(1)比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論．為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)．(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件．,綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B，及從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論B.,(3)分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即“執(zhí)果索因”．綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過(guò)程．,(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法．,(5)放縮法：要證明不等式A0，且a≠1，若P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，,則P與Q的大小關(guān)系為(,),A,A．P>Q,B．P＝Q,C．PQ,Ab>c時(shí)，前兩項(xiàng)為正，最后一項(xiàng)為負(fù)，如何使得三項(xiàng)之和為正，成為問(wèn)題的關(guān)鍵，需采用“拆”的技巧，把第三項(xiàng)并入前兩項(xiàng)中去，于是想到ca(c－a)＝ca[(c－b)＋(b－a)]＝ca(c－b)＋ca(b－a)，問(wèn)題便迎刃而解．證明：左一右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)]＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a)＝(a－b)(b－c)(a－c)．,例1：已知：a>b>c，求證：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.,∵a>b>c，∴(a－b)(b－c)(c－a)>0.因此：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.,比較法證不等式步驟可歸納為：,第一步：作差并化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完,全平方式或常數(shù)的形式．,第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論．第三步：得出結(jié)論．,【互動(dòng)探究】,證明：∵a＋b＝1，,∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.,又a、b∈R+，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.,考點(diǎn)2,綜合法,【互動(dòng)探究】,,,,,,,,,1＋b1＋a,考點(diǎn)3,反證法,例3：已知a>0，b>0，且a＋b>2.求證：,1＋ba,，,1＋ab,中至少,解題思路：由于題目結(jié)論是：至少有一個(gè)小于2，情況較復(fù)雜，討論起來(lái)比較繁，宜采用反證法．,證明：假設(shè),1＋ba,，,1＋ab,都不小于2，則,1＋ba,≥2，,1＋ab,≥2.,∵a>0，b>0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，兩式相加可得1＋b＋1＋a≥2(a＋b)，即a＋b≤2，這與已知a＋b>2矛盾．故假設(shè)不成立．,因此：,，,ab,，中至少有一個(gè)小于2.,有一個(gè)小于2.,從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B，凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法．,【互動(dòng)探究】3．若0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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