機(jī)器人的空間描述與坐標(biāo)變換.ppt
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1,第二章機(jī)器人的空間描述和坐標(biāo)變換2.1位姿和坐標(biāo)系描述2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映射2.3平移和旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換2.4物體的變換和變換方程2.5通用旋轉(zhuǎn)變換,2,,,2.1位置方位表示與坐標(biāo)系描述,1.位置描述,矢量Ap表示箭頭指向點(diǎn)的位置矢量,其中右上角標(biāo)“A”表示該點(diǎn)是用{A}坐標(biāo)系描述的。,(2-2),2.方位描述,坐標(biāo)系{B}與機(jī)械手末端工具固連,工具的姿態(tài)可以由坐標(biāo)系{B}的方向來(lái)描述。而坐標(biāo)系{B}的方向可以用沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量來(lái)表示,,,圖2-2方位表示,(2-1),旋轉(zhuǎn)矩陣描述坐標(biāo)系{B}的姿態(tài),矢量描述坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)位置。,3,,,,,,3.位姿描述,固連坐標(biāo)系把剛體位姿描述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系的描述問(wèn)題。圖2-3中坐標(biāo)系{B}可以在固定坐標(biāo)系{A}中描述為,(2-3),,,4,,,,,,1.平移坐標(biāo)變換,圖2-3平移變換,,BP為坐標(biāo)系{B}描述的某一空間位置,我們也可以用AP(坐標(biāo)系{A})描述同一空間位置。因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài),同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的描述滿足以下關(guān)系,,(2-4),2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映射,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的任務(wù)是已知坐標(biāo)系{B}描述的一個(gè)點(diǎn)的位置矢量BP和旋轉(zhuǎn)矩陣,求在坐標(biāo)系{A}下描述同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。,5,,,,,,,2.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換,,,(2-5),將(2-5)式寫(xiě)成矩陣形式得:,(2-6),圖2-4旋轉(zhuǎn)變換,式(2-6)即為我們要求的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系,該變換是通過(guò)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的。,6,,,,,,3.復(fù)合變換,,圖2-5復(fù)合變換,如果兩個(gè)坐標(biāo)系之間即存在平移又存在旋轉(zhuǎn),如何計(jì)算同一個(gè)空間點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下描述的變換關(guān)系?,為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系,我們建立一個(gè)中間坐標(biāo)系{C}。,,,(2-7),(2-8),為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系,只需坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系下{A}的描述。,是4?4矩陣,稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣??梢岳斫鉃樽鴺?biāo)系{B}在固定坐標(biāo)系{A}中的描述。,7,2.3齊次坐標(biāo)變換,,,,,,,,,坐標(biāo)變換(2-8)可以寫(xiě)成以下形式,,,(2-9),將位置矢量用4?1矢量表示,增加1維的數(shù)值恒為1,我們?nèi)匀挥迷瓉?lái)的符號(hào)表示4維位置矢量并采用以下符號(hào)表示坐標(biāo)變換矩陣,,(2-10),,(2-11),,齊次坐標(biāo)變換的主要作用是表達(dá)簡(jiǎn)潔,同時(shí)在表示多個(gè)坐標(biāo)變換的時(shí)候比較方便。,1.齊次變換,8,,,,,,,,,2.齊次變換算子,在機(jī)器人學(xué)中還經(jīng)常用到下面的變換,如圖2-8,矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ終點(diǎn),得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的過(guò)程稱之為平移變換,與前面不同,這里只涉及單一坐標(biāo)系。,,圖2-6平移算子,,,,,(2-12),可以采用齊次變換矩陣表示平移變換,,(2-13),,稱為平移算子,其表達(dá)式為,,(2-14),其中I是3?3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck,其中i、j和k分別表示坐標(biāo)系{A}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量,則平移算子表示為,,,9,,,,同樣,我們可以研究矢量在同一坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變換,如圖2-9,AP1繞Z軸轉(zhuǎn)?角得到AP2。則,圖2-7旋轉(zhuǎn)算子,,(2-20),Rot(z,?)稱為旋轉(zhuǎn)算子,其表達(dá)式為,,(2-21),同理,可以得到繞X軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)算子,,,10,,,,,,,定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后,可以將它們復(fù)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的映射關(guān)系。變換算子與前面介紹的坐標(biāo)變換矩陣形式完全相同,因?yàn)樗忻枋鼍谕蛔鴺?biāo)系下,所以不需上下標(biāo)描述(坐標(biāo)系)。,,(2-23),齊次坐標(biāo)變換總結(jié):,表示坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系{A}下的描述,的各列是坐標(biāo)系{B}三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量,而表示坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)位置。,,2.它是不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換。如,3.它是同一坐標(biāo)系內(nèi)的變換算子。,齊次坐標(biāo)變換是復(fù)雜空間變換的基礎(chǔ),必須認(rèn)真理解和掌握。具體應(yīng)用的關(guān)鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種,而不是簡(jiǎn)單的套用公式!,1.它是坐標(biāo)系的描述。,,如圖2-10表示的三個(gè)坐標(biāo)系,已知坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP,求在坐標(biāo)系{A}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。,11,,,,,,,3.復(fù)合變換,復(fù)合變換主要有兩種應(yīng)用形式,一種是建立了多個(gè)坐標(biāo)系描述機(jī)器人的位姿,任務(wù)是確定不同坐標(biāo)系下對(duì)同一個(gè)量描述之間的關(guān)系;另一種是一個(gè)空間點(diǎn)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)順序經(jīng)過(guò)多次平移或旋轉(zhuǎn)變換,任務(wù)是確定多次變換后點(diǎn)的位置。,,圖2-10復(fù)合坐標(biāo)變換,,,(2-24),(2-25),,根據(jù)坐標(biāo)變換的定義得,(2-26),12,,,,,,,,(a)Z?Y順序旋轉(zhuǎn),,(b)Y?Z順序旋轉(zhuǎn),圖2-11旋轉(zhuǎn)順序?qū)ψ儞Q結(jié)果影響,,例2-3已知點(diǎn)u=7i+3j+2k,先對(duì)它進(jìn)行繞Z軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)v,再對(duì)點(diǎn)v進(jìn)行繞Y軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)w,求v和w。,如果只關(guān)心最后的變換結(jié)果,可以按下式計(jì)算,計(jì)算結(jié)果與前面的相同,稱R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)為復(fù)合旋轉(zhuǎn)算子。,13,,,注:固定坐標(biāo)系變換,矩陣乘的順序“自右向左”,如果改變旋轉(zhuǎn)順序,先對(duì)它進(jìn)行繞y軸旋轉(zhuǎn)90o,再繞z軸旋轉(zhuǎn)90o,結(jié)果如圖2-11b所示。比較圖2-11a和圖2-11b可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同,即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果。,從數(shù)學(xué)角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率,Rot(y,90o)Rot(z,90o)?Rot(z,90o)Rot(y,90o)。,和,求和,給定計(jì)算,14,,,2.4物體的變換和變換方程,已知坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}的描述,求坐標(biāo)系{A}相對(duì)坐標(biāo)系{B}的描述,一種直接的方法是矩陣求逆,另一種方法是根據(jù)變換矩陣的特點(diǎn)直接得出逆變換。后一種方法更簡(jiǎn)單方便。,即齊次變換的求逆問(wèn)題。,等價(jià)為:已知,是坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的描述,顯然為零矢量。由(2-28)式得,15,,,,,根據(jù)前面的討論,旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系為,(2-27),將坐標(biāo)變換用于坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)得,(2-28),(2-29),逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示,(2-30),16,,,,,,,,,,{A}沿xA平移3個(gè)單位,再繞新的zA軸轉(zhuǎn)180o得{B},因此,②{B}沿zB平移2個(gè)單位,然后繞yB軸轉(zhuǎn)90o再繞新xB軸轉(zhuǎn)150o得{C},,圖2-12楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系,例2-4,如圖2-12給出的楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系,求齊次坐標(biāo)變換,因此,③{A}沿xA和zA平移3和2,然后繞yA軸轉(zhuǎn)90,再繞新xA軸轉(zhuǎn)-30得{C},也可以按以下方法計(jì)算,,17,事實(shí)上,對(duì)于像本例題這種簡(jiǎn)單的情況,可以直接利用齊次坐標(biāo)變換的定義得到變換矩陣。即直接寫(xiě)出坐標(biāo)系{C}坐標(biāo)軸矢量在坐標(biāo)系{A}下表示得旋轉(zhuǎn)矩陣,平移矢量為坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}下的矢量表示。,18,變換方程,圖2-13表示了多個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖,可以用兩種不同的方式得到世界坐標(biāo)系{U}下坐標(biāo)系{D}的描述。,,(2-31),(2-32),由(2-31)和(2-32)可以得到變換方程,圖2-13坐標(biāo)變換序列,可以利用變換方程(2-33)求解其中任意一個(gè)未知變換。例如,假設(shè)除以外其余變換均為已知,則該未知變換可以用下式計(jì)算,,,,在坐標(biāo)系的圖形表示方法中,從一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭表示坐標(biāo)系的描述關(guān)系。,,(2-35),(2-36),19,例2-5假設(shè)已知圖機(jī)械臂末端工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述,還已知工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述,并且已知螺栓坐標(biāo)系{G}相對(duì)工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的描述。計(jì)算螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿。,解:添加從工具坐標(biāo)系{T}原點(diǎn)到螺栓坐標(biāo)系{G}原點(diǎn)的箭頭,可以得到如下變換方程,(2-37),螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿描述為,(2-38),20,,,,,,,1.繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換,下面討論繞任意軸f旋轉(zhuǎn)矩陣,軸在坐標(biāo)系{A}下表示為,以f為Z軸建立與{A}固連的坐標(biāo)系{C}用n、o和f表示坐標(biāo)系{C}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量,在坐標(biāo)系{A}下表示為,圖2-18繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換,因?yàn)楣踢B的坐標(biāo)系{C}與{A}固連,所以繞f旋轉(zhuǎn)等價(jià)于繞ZC旋轉(zhuǎn)。為此我們先將Ap在坐標(biāo)系{C}下表示,再繞ZC旋轉(zhuǎn)q角,最后再把旋轉(zhuǎn)得到的矢量用坐標(biāo)系{A}表示。,Ap1=Rot(f,?)Ap,2.5通用旋轉(zhuǎn)變換,21,,,,,,,,再將Cp1在坐標(biāo)系{A}下表示,,,因此,,其中一個(gè)矢量,上式中的n和o各分量是未知的,需要用f的各分量表示,22,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)坐標(biāo)系的右手規(guī)則知n?o=f,叉積可以按下式計(jì)算,,,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性可以得,,,,將上式對(duì)角線相加得r11+r22+r33=1+2cq?cq=(r11+r22+r33-1)/2,23,,,,,,,,2.等效轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角,前面討論了給定轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣,那么是否任意給定的旋轉(zhuǎn)矩陣都可以確定等效的轉(zhuǎn)軸f和轉(zhuǎn)角q哪?也就是兩個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)重合的坐標(biāo)系可以通過(guò)繞固定軸轉(zhuǎn)一定的角度來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系。,,將關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的兩個(gè)元素分別相減得,r32-r23=2fxsq,r13-r31=2fysq,r21-r12=2fzsq,將上式平方求和得:,4s2q=(r32-r23)2+(r13-r31)2+(r21-r12)2,假設(shè)限定繞矢量f正向旋轉(zhuǎn),且0?q?180o,則,,可得q的值,q=atan(sq/cq),24,,可得矢量f分量的值,在應(yīng)用中需要注意的是,當(dāng)轉(zhuǎn)角q的值接近0o或180o時(shí),方向矢量f各分量的值計(jì)算出現(xiàn)問(wèn)題,屬于奇異情況。,- 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