高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第九篇 第7講 直線與圓錐曲線的位置關系
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第7講 直線與圓錐曲線的位置關系 A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·濰坊一模)直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于 ( )． A. B．2 C. D．4 解析 直線4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標是，弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝. 答案 C 2．(2012·臺州質檢)設斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為 ( )． A. B. C. D. 解析 由于直線與橢圓的兩交點A，B在x軸上的射影分別為左、右焦點F1，F(xiàn)2，故|AF1|＝|BF2|＝，設直線與x軸交于C點，又直線傾斜角θ的正切值為，結合圖形易得tan θ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化簡得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝. 答案 C 3．(2012·臨沂二模)拋物線y2＝2px與直線2x＋y＋a＝0交于A，B兩點，其中點A的坐標為(1,2)，設拋物線的焦點為F，則|FA|＋|FB|的值等于 ( )． A．7 B．3 C．6 D．5 解析 點A(1,2)在拋物線y2＝2px和直線2x＋y＋a＝0上，則p＝2，a＝－4，F(xiàn)(1,0)，則B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7. 答案 A 4．(2013·寧波十校聯(lián)考)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝ ( )． A．1＋2 B．4－2 C．5－2 D．3＋2 解析 如圖，設|AF1|＝m，則|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故應選C. 答案 C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．橢圓＋y2＝1的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________． 解析 設弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. ∵A，B在橢圓上，∴＋y＝1，＋y＝1. 兩式相減得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 即＝－， ∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， ∴＝－，即直線AB的斜率為－. ∴直線AB的方程為y－＝－， 即該弦所在直線的方程為2x＋4y－3＝0. 答案 2x＋4y－3＝0 6．(2013·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________． 解析 由題意，得 解得∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案 ＋＝1 三、解答題(共25分) 7．(12分)在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值； (2)如果·＝－4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點． (1)解 由題意：拋物線焦點為(1,0)， 設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)證明 設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直線l過定點(2,0)． ∴若·＝－4，則直線l必過一定點． 8．(13分)給出雙曲線x2－＝1. (1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程； (2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程； (3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由． 解 (1)設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 所以直線斜率k＝＝4. 故求得直線方程為4x－y－7＝0. (2)設P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 按照(1)的解法可得＝， ① 由于P1，P2，P，A四點共線， 得＝， ② 由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，檢驗當x1＝x2時，x＝2，y＝0也滿足方程，故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2－y2－4x＋y＝0. (3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y＝2x－1. 考慮到方程組無解， 因此滿足題設條件的直線m是不存在的． B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·皖南八校聯(lián)考)已知直線l：y＝k(x－2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|AF|＝2|BF|，則k的值是 ( )． A. B. C．2 D. 解析 法一 據(jù)題意畫圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1. 設直線l的傾斜角為θ，|AF|＝2|BF|＝2r， 則|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r， 所以有|AB|＝3r，|AD|＝r， 則|BD|＝2r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝＝2. 法二 直線y＝k(x－2)恰好經過拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因為|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.則yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2. 答案 C 2．(2012·沈陽二模)過雙曲線－＝1(a>0)的右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是 ( )． A．(，5) B．(，) C．(1，) D．(5,5) 解析 令b＝，c＝，則雙曲線的離心率為e＝，雙曲線的漸近線的斜率為±. 據(jù)題意，2<<3，如圖所示． ∵＝， ∴2<<3， ∴5
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