高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第十二篇 第3講 數(shù)學(xué)歸納法

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第3講 數(shù)學(xué)歸納法 A級　基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取 (　　)． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8. 答案　B 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是 (　　)． A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)． 答案　D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 (　　)． A. B．－ C.－ D.＋ 解析　∵當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時， 左側(cè)＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案　C 4．對于不等式1，n∈N*)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋， 則當(dāng)n＝k＋1時，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立． 8．(13分)已知數(shù)列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，與數(shù)列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．記Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan. (1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值； (2)求證：T12n＝－4n(n∈N*)． (1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. ∵48＋4r＝64，∴r＝4. (2)證明　用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時，T12n＝－4n. ①當(dāng)n＝1時，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立． ②假設(shè)n＝k時等式成立，即T12k＝－4k，那么當(dāng)n＝k＋1時， T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立． 根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)n∈N*時，T12n＝－4n. B級　能力突破 (時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 (　　)． A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析　∵當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2 ∴當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 答案　D 2．(2013·廣州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為 (　　)． A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c 解析　∵等式對一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時等式成立，即 整理得 解得a＝，b＝c＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個數(shù)對是________． 解析　本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n－1)對． 設(shè)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60， ∴n＝11時還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60個數(shù)對為(5,7)． 答案　(5,7) 4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值是________． 解析　f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)·(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，由此猜想，f(n)＝(n∈N*)． 答案　(n∈N*) 三、解答題(共25分) 5．(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，… (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明)； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． 解　(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. (2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：n≥6(n∈N*)時都有2n>n2＋2n. ①n＝6時，26>62＋2×6，即64>48成立； ②假設(shè)n＝k(k≥6，k∈N*)時，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立； 由①、②可得，對于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n>n2＋2n成立． 6．(13分)(2012·安徽)數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0； (2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列． (1)證明　先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0，即xn<1－. 由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③ 反復(fù)運用③式，得 －xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1， xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知 2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立． 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得 2－1≤0，c≤，故00，即證xn<對任意n≥1成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0xn，即{xn}是遞增數(shù)列． 由①②知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.