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第2講 圓的方程
A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2013·濟(jì)寧一中月考)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為 ( )．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析 化圓為標(biāo)準(zhǔn)形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圓心為(－1,2)．∵直線過圓心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 B
2．(2013·太原質(zhì)檢)設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原點(diǎn)在圓外．
答案 B
3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為 ( )．
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析 由題意知所求圓的圓心坐標(biāo)為(0，－2)，所以所求圓的方程為x2＋(y＋2)2＝5.
答案 D
4．(2013·鄭州模擬)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 ( )．
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析 設(shè)P(x，y)，則由題意可得：2＝，化簡(jiǎn)整理得x2＋y2＝16，故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．以A(1,3)和B(3,5)為直徑兩端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)即圓的圓心坐標(biāo)為(2,4)，再由兩點(diǎn)間的距離公式得圓的半徑為＝，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝2.
答案 (x－2)2＋(y－4)2＝2
6．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為________．
解析 由題意得C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即－＝.
答案
三、解答題(共25分)
7．(12分)求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；
(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)法一 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．
∴半徑r＝＝2，
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一 設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－，
則AB的垂直平分線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0.
聯(lián)立得
即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
8．(13分)已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
解 (1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，
∴直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
B級(jí) 能力突破(時(shí)間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2013·東莞調(diào)研)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為 ( )．
A．8 B．－4 C．6 D．無法確定
解析 圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
2．圓心為C的圓與直線l：x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足·＝0，則圓C的方程為 ( )．
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 法一 ∵圓心為C，
∴設(shè)圓的方程為2＋(y－3)2＝r2.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由圓方程與直線l的方程聯(lián)立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，經(jīng)檢驗(yàn)滿足判別式Δ>0.
故圓C的方程為2＋(y－3)2＝.
法二 ∵圓心為C，
∴設(shè)圓的方程為2＋(y－3)2＝r2，
在所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)方程所寫的圓心是正確的，即2＋(y－3)2＝，故選C.
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．
解析 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑為＝，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
4．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則d＝|PA|2＋|PB|2的最大值為________，最小值為________．
解析 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方的最值．圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，故d的最大值為74，最小值為34.
答案 74 34
三、解答題(共25分)
5．(12分)(2013·大連模擬)已知圓M過兩點(diǎn)C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．
解 (1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根據(jù)題意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四邊形PAMB面積的最小值為
S＝2＝2＝2.
6．(13分)(2013·南昌模擬)已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱．
(1)求圓C的方程；
(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值．
解 (1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得
則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，
故圓C的方程為x2＋y2＝2.
(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值為－4.
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