高中數(shù)學圓錐曲線知識點總結(jié).doc

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高中數(shù)學知識點大全—圓錐曲線 一、考點（限考）概要： ??? 1、橢圓： ????? （1）軌跡定義： ?????????? ①定義一：在平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大于焦距2c。用集合表示為：； ?????????? ②定義二：在平面內(nèi)到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數(shù)e是離心率。 ????????????? 用集合表示為：； ??? ?（2）標準方程和性質(zhì)： ????????? ?????????? 注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。 ?????? （3）參數(shù)方程：（θ為參數(shù)）； ?? ? 3、雙曲線： ????? ?（1）軌跡定義： ??????????? ①定義一：在平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表示為： ??????????? ②定義二：到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數(shù)e是離心率。 ?????????????? 用集合表示為： ?????? （2）標準方程和性質(zhì)： ????????????? ????????????? 注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。 ?????????????? ????? 4、拋物線： ???????? （1）軌跡定義：在平面內(nèi)到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點是焦點，定直線是準線，定點與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為： ??????? （2）標準方程和性質(zhì)： ???????????? ????????????? ①焦點坐標的符號與方程符號一致，與準線方程的符號相反； ????????????? ②標準方程中一次項的字母與對稱軸和準線方程的字母一致； ????????????? ③標準方程的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，有別于一元二次函數(shù)的圖像； 二、復習點睛： ??? 1、平面解析幾何的知識結(jié)構(gòu)： ??????????? ? ????2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請記熟 “六點六線，一個三角形”，即六點：四個頂點，兩個焦點；六線：兩條準線，長軸短軸，焦點線和垂線PQ；三角形：焦點三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個圖中找到。 ??????????????? ???? 3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認為圓是橢圓在e=0時的特例。當e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段，此時也可認為是橢圓在e=1時的特例。 ???? 4、利用焦半徑公式計算焦點弦長：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點的坐標分別為，則弦長 ????????????? 這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想。 ???? 5、若過橢圓左（或右）焦點的焦點弦為AB，則； ?????6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點八線，一個三角形”，即：四點：頂點和焦點；八線：實軸、虛軸、準線、漸進線、焦點弦、垂線PQ。三角形：焦點三角形。 ????????????? ??? ???? 7、雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。 ???? 8、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b。 ???? 9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)椋?。 ??? 10、過雙曲線外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下： ?????? （1）P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； ?????? （2）P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； ?????? （3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； ???????（4）P為原點時不存在這樣的直線； ?? 11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點兩線，一個直角梯形”，即：兩點：頂點和焦點；兩線：準線、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。 ?????????? ?? 12、對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化計算； ?? 13、拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且 ，則有如下結(jié)論： ?????? ?? 14、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線； ?? 15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法：即設 為曲線上不同的兩點，是的中點，則可得到弦中點與兩點間關(guān)系： ????? ?? 16、當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達定理求相關(guān)參數(shù)（即設而不求）；二是點差法，即設出交點坐標，然后把交點坐標代入曲線方程，兩式相減后，再求相關(guān)參數(shù)。在利用點差法時，必須檢驗條件△＞0是否成立。 5、圓錐曲線： ????? （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：，其中F為定點，d為點P到定直線的l 距離，， e為常數(shù)，如圖。 ??????????????????? ????? （2）當0＜e＜1時，點P的軌跡是橢圓；當e＞1時，點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，點P的軌跡是拋物線。 ????? （3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不因為位置的改變而改變。 ?????????? ①定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上 ???????????? ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點中點，兩準線關(guān)于中心對稱； ???????????? ⅱ橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對稱，關(guān)于中心為中心對稱； ?????????????ⅲ拋物線的對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點。 ????????? ②定量： ????????????? ?????（4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變） ????????? 以焦點在x軸上的方程為例： ???????????? ?? 6、曲線與方程： ?? ?（1）軌跡法求曲線方程的程序： ???????? ①建立適當?shù)淖鴺讼担? ???????? ②設曲線上任一點（動點）M的坐標為(x,y)； ???????? ③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0； ???????? ④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式； ???????? ⑤證明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上； ?? （2）曲線的交點： ??????? 由方程組確定，方程組有幾組不同的實數(shù)解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點。