高考數(shù)學壓軸大題--解析幾何.doc
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高考數(shù)學壓軸大題-解析幾何 1. 設雙曲線C:相交于兩個不同的點A、B. (I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍: (II)設直線l與y軸的交點為P,且求a的值. 解:(I)由C與t相交于兩個不同的點,故知方程組 有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① 雙曲線的離心率 (II)設 由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0, 2. 已知為橢圓C的兩焦點,P為C上任意一點,且向量的夾角余弦的最小值為. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)過 的直線與橢圓C交于M、N兩點,求(O為原點)的面積的最大值及相應的直線的方程. 解:(Ⅰ)設橢圓的長軸為2a, ∴ = = 又 ∴ 即 ∴ ∴橢圓方程為 (Ⅱ) 由題意可知NM不可能過原點,則可設直線NM的方程為: 設 = 即 . 由韋達定理得: ∴ = = 令 , 則 ∴=. 又令, 易知在[1,+∞)上是增函數(shù), 所以當,即 時有最小值5. ∴有最大值 ∴ 的面積有最大值. 直線的方程為. 3. 橢圓E的中心在原點O,焦點在x軸上,離心率=,過點C(-1,0)的直線交橢圓于A、B兩點,且滿足:= (). (Ⅰ)若為常數(shù),試用直線的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面積. (Ⅱ)若為常數(shù),當三角形OAB的面積取得最大值時,求橢圓E的方程. (Ⅲ)若變化,且= k2+1,試問:實數(shù)和直線的斜率分別為何值時,橢圓E的短半軸長取得最大值?并求出此時的橢圓方程. 解:設橢圓方程為(a>b>0), 由==及a2= b2+c2得a2=3 b2, 故橢圓方程為x2+3y2= 3b2. ① (Ⅰ)∵直線:y = k(x+1)交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,并且= (≥2), ∴(x1+1,y1) =(-1-x2,-y2), 即 ② 把y = k(x+1)代入橢圓方程,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0, 且 k2 (3b2-1)+b2>0 (*), ∴x1+x2= -, ③ x1x2=, ④ ∴=|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1|. 聯(lián)立②、③得x2+1=, ∴=· (k≠0). (Ⅱ)=· =· ≤· (≥2). 當且僅當3| k | =,即k =時,取得最大值,此時x1+x2= -1. 又∵x1+1= -( x2+1), ∴x1=,x2= -,代入④得3b2=.此時3b25,的值符合(*) 故此時橢圓的方程為x2+3y2=(≥2). (Ⅲ)由②、③聯(lián)立得: x1=-1, x2=-1, 將x1,x2代入④,得=+1. 由k2=-1得=+1 =+1. 易知,當時,3b2是的減函數(shù), 故當時,取得最大值3. 所以,當,k =±1(符合(*))時,橢圓短半軸長取得最大值, 此時橢圓方程為x2 + 3y2 = 3. 4. 已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,與共線. (I)求橢圓的離心率; (II)設M為橢圓上任意一點,且,證明為定值. 解:(I)設橢圓方程為 則直線AB的方程為. 化簡得. 令 則 共線,得 (II)證明:由(I)知,所以橢圓可化為. 在橢圓上, 即 ① 由(I)知 又又,代入①得 故為定值,定值為1. 5. 已知橢圓的左焦點為F,O為坐標原點. (I)求過點O、F,并且與橢圓的左準線相切的圓的方程; (II)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與軸交于點G,求點G橫坐標的取值范圍. 解:(I) 圓過點O、F, 圓心M在直線上。 設則圓半徑 由得 解得 所求圓的方程為 (II)設直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F,方程有兩個不等實根。 記中點 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點G橫坐標的取值范圍為 6. 已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時,求p的值。 (I)證明1: 整理得: 設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明2: 整理得: ……..(1) 設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則 即 去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當y=p時,d有最小值,由題設得 . 解法2: 設圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因為x-2y+2=0與無公共點, 所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當時,d有最小值,由題設得 . 11、(如圖)設橢圓中心在坐標原點,是它的兩個頂點,直線 與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點. D F B y x A O E (1)若,求的值; (2)求四邊形面積的最大值. 11.(Ⅰ)解:依題設得橢圓的方程為, 直線的方程分別為,. 2分 D F B y x A O E 如圖,設,其中, 且滿足方程, 故.① 由知,得; 由在上知,得. 所以, 化簡得, 解得或. 6分 (Ⅱ)解法一:根據(jù)點到直線的距離公式和①式知,點到的距離分別為 , . 9分 又,所以四邊形的面積為 , 當,即當時,上式取等號.所以的最大值為. 12分 解法二:由題設,,. 設,,由①得,, 故四邊形的面積為 9分 , 當時,上式取等號.所以的最大值為. 12分 12、已知橢圓的離心率. 直線()與曲線交于不同的兩點,以線段為直徑作圓,圓心為. (1) 求橢圓的方程; (2) 若圓與軸相交于不同的兩點,求的面積的最大值. 12、(1)解:∵橢圓的離心率, ∴. …… 2分 解得. ∴ 橢圓的方程為. …… 4分 (2)解法1:依題意,圓心為. 由 得. ∴ 圓的半徑為. …… 6分 ∵ 圓與軸相交于不同的兩點,且圓心到軸的距離, ∴ ,即. ∴ 弦長. …… 8分 ∴的面積 …… 9分 . …… 12分 當且僅當,即時,等號成立. ∴ 的面積的最大值為. …… 14分 解法2:依題意,圓心為. 由 得.∴ 圓的半徑為. …… 6分 ∴ 圓的方程為. ∵ 圓與軸相交于不同的兩點,且圓心到軸的距離, ∴ ,即. 在圓的方程中,令,得, ∴ 弦長. (資料來源:數(shù)學驛站 www.maths168.com) …… 8分 ∴的面積 …… 9分 . ……12分 當且僅當,即時,等號成立. ∴ 的面積的最大值為. 15、已知橢圓:()的上頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為.若有一菱形的頂點、在橢圓上,該菱形對角線所在直線的斜率為. ⑴求橢圓的方程; ⑵當直線過點時,求直線的方程; ⑶(本問只作參考,不計入總分)當時,求菱形面積的最大值. 15、解:⑴依題意,……1分,解……2分,得……3分,所以,……4分,橢圓的方程為……5分。 ⑵直線:……7分,設:……8分,由方程組得……9分,當時……10分,、的中點坐標為,……12分,是菱形,所以的中點在上,所以……13分,解得,滿足,所以的方程為……14分。 ⑶(本小問不計入總分,僅供部分有余力的學生發(fā)揮和教學拓廣之用)因為四邊形為菱形,且,所以,所以菱形的面積,由⑵可得 ,因為,所以當且僅當時,菱形的面積取得最大值,最大值為。 12- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 高考 數(shù)學 壓軸 解析幾何
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