關于二項分布與超幾何分布問題區(qū)別舉例.doc

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關于“二項分布”與“超幾何分布”問題舉例 一．基本概念 1.超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件íX=ky發(fā)生的概率為：P(X=k)= ,k= 0,1,2,3,??,m；其中，m = miníM,ny,且n￡ N , M￡ N . n,M,N ? N*為超幾何分布；如果一個變量X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨幾變量X服從超幾何分布.其中，EX= n× 2.二項分布 在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復試中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為： P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,?,n),此時稱隨機變量X服從二項分布. 記作：X ~ B(n,p),EX= np 3.“二項分布”與“超幾何分布”的聯(lián)系與區(qū)別 (1)“二項分布”所滿足的條件 j每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；是一種放回抽樣.k各次試驗中的事件是相互獨立的；l每次試驗只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；m隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù). (2)“超幾何分布”的本質(zhì)：在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率不相同，是不放回抽樣，“當樣本容量很大時，超幾何分布近似于二項分布; (3)“二項分布”和“超幾何分布”是兩種不同的分布，但其期望是相等的.即：把一個分布看成是“二項分布”或“超幾何分布”時，它們的期望是相同的.事實上，對于“超幾何分布”中,若p= ,則EX= = n×.“超幾何分布”和“二項分布”的這種“巧合”，使得“超幾何分布”期望的計算大簡化. 共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗。 不同點：1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽??； 2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”； 聯(lián)系：當產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布近似于二項分布。 因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣．所以，在解有關二項分布和超幾何分布問題時，仔細閱讀、辨析題目條件是非常重要的． 二．典型例題 例1：袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球．求： （1）有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｘ的分布列； （2）不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復試驗，則． ； ； ； ． 因此，的分布列為 0 1 2 3 （2）．不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Ｙ可能的取值為０，1，2，且有： ；；． 因此，的分布列為 0 1 2 例2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (1) 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率. (2) 記：X表示“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的數(shù)量”，求X 的分布列并求EX; 分析：由題可知：從10件產(chǎn)品中分別任取兩次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一種不放回抽樣;隨機變量 X服從超幾何分布. 解：(1) 記A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)= = , P(A2)= = , P(A3)= = ; 所以，P = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)= . (2)X=0，1，2，3; X服從超幾何分布， 所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)= = ; P(X=1)=P（二件一等品，一件二等品） = = ; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)= = ; P(X=3)= P（三件一等品，零件二等品）= = ; EX = = = 0.9 說明：謹防錯誤地認為隨機變量X服從二項分布，即：X~B(3, ). 例3.從某高中學校隨機抽取16名學生，經(jīng)校醫(yī)檢查得到每位學生的視力，其中“好視力”4人,以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的整體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望. 分析：本題就是從“該校（人數(shù)很多）任選3人”，由此得到“好視力”人數(shù)X，若每次從該校任取一名學生為“好視力”這一事件的概率顯然是相等的，因為該?！叭藬?shù)很多”相當于“有放回抽樣”，因此，隨機變量X服從“二項分布”而不是“超幾何分布”. 解：由題可知：X= 0,1,2,3；由樣本估計總體，每次任取一人為“好視力”的概率為： P = = ，則X~B(3,);P(X=0)= C30( )0(1- )3-0 = ; P(X=1)= C31( )1(1- )3-1 = ;P(X=2)= C32( )2(1- )3-2 = ; P(X=3)= C33( )3(1- )3-3 = ;EX = 3×= . 說明：假設問題變?yōu)椋骸皬?6名學生中任取3名，記X表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望”.那么X服從“超幾何分布”，即：P(X=k)= ，(X=0,1,2,3)，其中,數(shù)學期望值不變，即為：EX= 3×= . 12