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指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)
一、知識點(diǎn)
1.根式的性質(zhì)
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有
（3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零
2.冪的有關(guān)概念
(1)正整數(shù)指數(shù)冪：
(2)零指數(shù)冪 (3)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
(4)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(6)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義
3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1) (2)
(3)
4．指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。
5. 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
0 < a < 1
a > 1
圖 象
性
質(zhì)
定義域
R
值域
(0 , +∞)
定點(diǎn)
過定點(diǎn)（0，1），即x = 0時(shí)，y = 1
（1）a > 1，當(dāng)x > 0時(shí)，y > 1；當(dāng)x < 0時(shí)，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，當(dāng)x > 0時(shí)，0 < y < 1；當(dāng)x < 0時(shí)，y > 1。
單調(diào)性
在R上是減函數(shù)
在R上是增函數(shù)
對稱性
和關(guān)于y軸對稱
二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律
（1）
① ② ③ ④
則：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)時(shí)， （底大冪大）
x∈(－∞,0)時(shí)，
（2）特殊函數(shù)
的圖像：
三、指數(shù)式大小比較方法
(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.
(2)中間量法
(3)分類討論法
(4)比較法
比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：
①若；；；
②當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．
四、典型例題
類型一、指數(shù)函數(shù)的概念
例1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值．
【答案】2
【解析】由是指數(shù)函數(shù)，
可得解得，所以．
舉一反三：
【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)．其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)．
類型二、函數(shù)的定義域、值域
例2．求下列函數(shù)的定義域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；
（3） ；（4）[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽 (∵對一切xR，3x≠-1).
∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域?yàn)?0，1).
(2)定義域?yàn)镽，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1時(shí)，y取最小值，同時(shí)y可以取一切大于的實(shí)數(shù)，∴ 值域?yàn)閇).
(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.
(4)∵ ∴ 定義域?yàn)?-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ， ∴值域?yàn)閇1，a)∪(a，+∞).
【總結(jié)升華】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏.
舉一反三：
【變式1】求下列函數(shù)的定義域：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1時(shí)，；0
1時(shí)，；01時(shí)，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；
當(dāng)01， x11且x2-x1>0，
∴， ∴ .
【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般性質(zhì)后，所學(xué)的第一個(gè)具體函數(shù).因此，在學(xué)習(xí)中，盡量體會從一般到特殊的過程.
例5．判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：
(1)1.8a與1.8a+1； (2)
(3)22.5，(2.5)0， (4)
【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小。
【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）
（4）當(dāng)a>1時(shí)，，當(dāng)01，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)，
又因?yàn)閍1時(shí)，，當(dāng)01，
1.1>1， -0.1<0T0<1.1-0.1<1， 則0.9-0.3>1.1-0.1；
(4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關(guān)系——數(shù)形結(jié)合，0.90.3>0.70.4.
(5)∵，又函數(shù)為減函數(shù)，
， ∴ ，
∵為增函數(shù)，時(shí)，y>1，.
另解：冪函數(shù)為增函數(shù)，則有，(下略).
【高清課堂：指數(shù)函數(shù) 369066 例1】
【變式2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較，，
【答案】
【解析】=
作出的圖象知
所以
【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【答案】
【解析】先比較的大小.由于底數(shù)(0，1)， ∴ 在R上是減函數(shù)，∵ ， ∴ ，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.7>1.30=1， ∴ .
【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0，1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.
例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡：
【思路點(diǎn)撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進(jìn)行分類討論，去掉絕對值。
【解析】
舉一反三：
【變式1】如果（，且），求的取值范圍．
【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由于，
，解得．
（2）當(dāng)時(shí)，由于，
，解得．
綜上所述，的取值范圍是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
類型四、判斷函數(shù)的奇偶性
例7．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (為奇函數(shù))
【答案】偶函數(shù)
【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個(gè)元素)，令，則
∴ g(x)為奇函數(shù)， 又 ∵為奇函數(shù)，∴ f(x)為偶函數(shù).
【總結(jié)升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
舉一反三：
【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：.
【答案】偶函數(shù)
【解析】定義域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴ f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).
類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題
例8．如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)＜C1的底數(shù)＜C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)．
【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”．
舉一反三：
【變式1】 設(shè)，c＜b＜a且，則下列關(guān)系式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象( )
A．向左平移9個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度
B．向右平移9個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度
C．向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度
D．向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度
【答案】C
【解析】注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷．
∵，∴把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選C．
【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等．
指數(shù)函數(shù)測試題1
1．函數(shù) （ ）
A． B．
C． D．
2．若指數(shù)函數(shù)在[－1,1]上的最大值與最小值的差是1，則底數(shù)a等于 （ ）
A． B． C． D．
3．函數(shù)，滿足的的取值范圍 （ ）
A． B．
C． D．
4．函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，則下列正確的是 （ ）
A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)
C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)
二、填空題
6．已知函數(shù)f (x)的定義域是（1，2），則函數(shù)的定義域是 .
7．當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)f (x)=ax－2－3必過定點(diǎn) .
8．已知－11,b<0,且ab+a-b=2,則ab-a-b的值等于（ ）
（A） （B）2 （C）-2 （D）2
3．函數(shù)f（x）=(a2-1)x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C）a< （D）1<
4.下列函數(shù)式中，滿足f(x+1)=f(x)的是( )
(A) (x+1) (B)x+ (C)2x (D)2-x
5.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）
（A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù) （D）既奇且偶函數(shù)
6．已知a>b,ab下列不等式（1）a2>b2,(2)2a>2b,(3),(4)a>b,(5)()a<()b
中恒成立的有（ ）
（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)
7．函數(shù)y=是（ ）
（A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）既奇又偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)
8．函數(shù)y=的值域是（ ）
（A）（-） （B）（-0）（0，+）
（C）（-1，+） （D）（-，-1）（0，+）
9．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽+的是（ ）
（A）y=5 （B）y=()1-x （C）y= （D）y=
10.函數(shù)y=的反函數(shù)是（ ）
（A）奇函數(shù)且在R+上是減函數(shù) （B）偶函數(shù)且在R+上是減函數(shù)
（C）奇函數(shù)且在R+上是增函數(shù) （D）偶函數(shù)且在R+上是增函數(shù)
11．下列關(guān)系中正確的是（ ）
（A）（）<（）<（） （B）（）<（）<（）
（C）（）<（）<（） （D）（）<（）<（）
12．若函數(shù)y=3+2x-1的反函數(shù)的圖像經(jīng)過P點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
（A）（2，5） （B）（1，3） （C）（5，2） （D）（3，1）
13．函數(shù)f(x)=3x+5,則f-1(x)的定義域是（ ）
（A）（０，＋） （B）（５，＋）
（C）（６，＋） （D）（－，＋）
14.若方程ax-x-a=0有兩個(gè)根，則a的取值范圍是（ ）
（A）（1，+） （B）（0，1） （C）（0，+） （D）
15．已知函數(shù)f(x)=ax+k,它的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，7），又知其反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（4，0），則函數(shù)f(x)的表達(dá)式是（ ）
(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3
16.已知三個(gè)實(shí)數(shù)a,b=aa,c=a,其中0.90)與函數(shù)y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的圖像依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，則這四點(diǎn)從上到下的排列次序是 。
6．函數(shù)y=3的單調(diào)遞減區(qū)間是 。
7．若f(52x-1)=x-2,則f(125)= .
8．已知f(x)=2x,g(x)是一次函數(shù)，記F（x）=f[g(x)],并且點(diǎn)（2，）既在函數(shù)F（x）的圖像上，又在F-1（x）的圖像上，則F（x）的解析式為 .
三、解答題
1． 設(shè)0a。
2． 設(shè)f(x)=2x,g(x)=4x,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，求x的取值范圍。
3． 已知x[-3,2]，求f(x)=的最小值與最大值。
4． 設(shè)aR,f(x)= ，試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)。
5． 已知函數(shù)y=()，求其單調(diào)區(qū)間及值域。
6． 若函數(shù)y=4x-3·2x+3的值域?yàn)閇1，7]，試確定x的取值范圍。
7.已知函數(shù)f(x)=, (1)判斷函數(shù)的奇偶性； (2)求該函數(shù)的值域；(3)證明f(x)是R上的增函數(shù)。
指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí)2
一、 選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
D
D
B
C
A
D
B
題號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
D
C
B
A
D
A
A
A
D
二、填空題
1．0a, ∴2x2-3x+1g[f(x)]>f[g(x)], ∴2>2>2,∴22x+1>2x+1>22x, ∴2x+1>x+1>2x,解得00,∴相當(dāng)于t2+at+a+1=0有正根，
則
8．（1）∵定義域?yàn)閤,且f(-x)=是奇函數(shù)；
（2）f(x)=即f(x)的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）設(shè)x1,x2,且x1
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指數(shù)
運(yùn)算
指數(shù)函數(shù)
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