指數(shù)函數(shù)經(jīng)典題目.ppt

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為什么要規(guī)定a0,且a,1呢？,①若a=0，則當(dāng)x0時，,=0；,0時，,無意義.,當(dāng)x,②若a0，則對于x的某些數(shù)值，可使,無意義.,如,③若a=1，則對于任何x,R，,=1，是一個常量，沒有研究的必要性.,為了便于研究，規(guī)定：a0 ,且a≠1,在規(guī)定以后，對于任何x,R，,都有意義，且,0. 因此指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0,+∞).,,時就沒有意義 。,想一想：,識記與理解 ? 練習(xí)： （口答）判斷下列函數(shù)是不是指 數(shù)函數(shù)，為什么？,,,,√,√,,例1,已知指數(shù)函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3)。,,,,,,1,1.一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是 ，函數(shù)的定義域是 值域是 . 2.函數(shù)y=ax(a0,且a≠1)，當(dāng) 時，在(-∞,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng) 時，在(-∞,+∞)上是減函數(shù). 3.y=ax(a0,且a≠1)的圖象一定過點 .當(dāng)a1時，若x0,則y ，若x0,則y ,若x0,且a≠1,m0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向 平移個 單位得到的；函數(shù)y=a (a0,且a≠1,m0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向 平移個 單位得到的.,y=ax(a＞0,且a≠1),自變量,R,（0,+∞）,a1,0a1,(0,1),1,∈(0,1),∈(0,1),1,右,2,右,m,左,m,5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于 對稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于 對稱. 6.當(dāng)a1時，af(x)ag(x) ；當(dāng)0ag(x) f(x)g(x).,y軸,原點,f(x)g(x),5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于 對稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于 對稱. 6.當(dāng)a1時，af(x)ag(x) ；當(dāng)0ag(x) f(x)g(x).,學(xué)點一 基本概念,指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)： （1）y=4x;（2）y=x4;(3)y= -4x;(4)y=(-4)x; (5)y= x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a ,且a≠1.）,【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進行判斷.,【解析】由定義，形如y=ax(a0,且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù). （2）不是指數(shù)函數(shù). （3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的積.,(4)中底數(shù)-40,所以不是指數(shù)函數(shù). (6)是二次函數(shù),不是指數(shù)函數(shù). (7)底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).,已知指數(shù)函數(shù)y=(m2+m+1)·（ ）x,則m= .,解： ∵y=(m2+m+1)· （ ）x為指數(shù)函數(shù), ∴m2+m+1=1,即m2+m=0, ∴m=0或-1.,0或-1,求下列函數(shù)的定義域、值域: （1）y=2 ;（2）y=（ ） （3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10 .,【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4. ∴定義域為{x|x∈R,且x≠4}. ∴ ≠0,∴2 ≠1, ∴y=2 的值域為{y|y0，且y≠1}. （2）定義域為x∈R. ∵|x|≥0,∴y= = ≥ =1, 故y= 的值域為{y|y≥1}. （3）定義域為R. ∵y=4x+2x+1+1=(2 )2+2·2x+1=( 2 +1)2,且 0,∴y1. 故y=4x+2x+1+1的值域為{y | y1}.,X,X,（4）令 ≥0,得 ≥0,解得x-1或x≥1. 故定義域為{x|x-1或x≥1}. 值域為{y|y≥0,且y≠10}.,（1）要使函數(shù)有意義，必須1-x≠0，即x≠1, ∴函數(shù)的定義域是{x|x∈R,且x≠1}. （2）要使函數(shù)有意義，必須 - ≥0,則 ≥2-1, ∴-x2≥-1,即-1≤x≤1, ∴函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1}.,求下列函數(shù)的定義域: （1）y=2 ; （2）y= ； （3）,(3)∵1- ≥0 ∴ ≤1,∴x≥0,即定義域為{x|x≥0}.,比較下列各題中兩個數(shù)的大?。?（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.,【解析】（1）指數(shù)函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.71，∴指數(shù)函數(shù)y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù). ∵2.5-0.2，∴0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1.,討論函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性,并求其值域.,∵f(x)的定義域為R,令u=-x2+2x,則f(u)= . 又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函數(shù),即當(dāng) 時， 有 . 又∵f(u)= 在其定義域內(nèi)為減函數(shù), ∴ . ∴函數(shù)f(x)在(-∞,1］上為減函數(shù), 同理可得f(x)在［1,+∞)上為增函數(shù). 又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, f(u)= 在(-∞,1］上是減函數(shù), ∴f(u)≥ . 即f(x)的值域為,【解析】令 =t,∵x∈［-3,2］,∴t∈ , ∴y= =t2-t+1= , 當(dāng)t= 時，y= ;當(dāng)t=8時，y=57. ∴函數(shù)的最大值為57,最小值為 .,求函數(shù)y= ，x∈［-3,2］的最大值和最小值.,【分析】令 = t，化函數(shù)為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求解.,已知函數(shù)y=a2x+2ax-1(a1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值 是14,求a的值.,令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a1,∴t∈ . 原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2. ∴單調(diào)增區(qū)間是［-1,+∞), ∴當(dāng)t∈ 時,函數(shù)單調(diào)遞增, ∴當(dāng)t=a時, =(a+1)2-2=14, 解得a=3或a=-5, 又∵a1,∴a=3.,畫出函數(shù) 的圖象，并根據(jù)圖象指出這個函數(shù)的一些重要性質(zhì).,【解析】 其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1 個單位，在x≥1的部分，二是把 的圖象向右平 移1個單位，在x1的部分，對接處的公共點為(1,1)，如 上圖.,由圖象可知函數(shù)有三個重要性質(zhì)： （1）對稱性：對稱軸為x=1; （2）單調(diào)性：(-∞,1］上單調(diào)遞減，［1,+∞)上單調(diào)遞增； （3）函數(shù)的值域：［1,+∞).,畫出函數(shù)y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調(diào)區(qū)間及值域.,先畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，然后將其向右平移一個單位，再向上平移一個單位即可，由圖象可看出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)的值域為(1,+∞).,設(shè)a是實數(shù)，f(x)=a- (x∈R). （1）證明：不論a為何實數(shù)，f(x)均為增函數(shù)； （2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.,(1)證明：設(shè)x1,x2∈R，且x1x2，x1-x20,則 f(x1)-f(x2)= (a- )-(a- ) = = . 由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1x2, 所以 ,即 .,又由2x0得 所以f(x1)-f(x2)0, 因為此結(jié)論與a的取值無關(guān)， 所以不論a為何實數(shù)，f(x)均為增函數(shù). （2）由f(-x)+f(x)=0得 得a=1.,刪除,例 題,例4 指數(shù)函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過怎樣的變換，可以得到函數(shù)y＝3x＋1＋1的圖象，并畫出它的圖象．,解 把函數(shù)y＝3x的圖象向左平移一個單位得到函數(shù) y＝3x＋1的圖象，再把函數(shù)y＝3x＋1的圖象向上平移 1個單位就得到函數(shù)y＝3x＋1＋1的圖象，如圖．,,,,,知識要點,1.整數(shù)指數(shù)冪及其運算法則,,,,,,,2.分?jǐn)?shù)指數(shù) （1）根式的定義； （2）根式的性質(zhì)； （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；,,一般地，若 則x叫做a的n次方根 n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù),,,當(dāng)n為奇數(shù)時， =a；當(dāng)n為偶數(shù)時， =|a|=,,,設(shè)函數(shù)y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使 y1y2的x的值.,解:(1)當(dāng)a1時，使y1x2+5 x24 ?x2或x2或x-2},求下列各等式中的x的值,(1) 2x2+1=2x+3 ； (2) 22x-3(2x)-4=0 解 (1) 要使兩個同底的冪相等，只需它們的冪指數(shù)相等，所以由原式得 x2+1=x+3 即 x2 –x-2=0 ∴x= -1或2 (2) 設(shè)z=2x，原等式化為 z2-3z-4=0 ? (z+1)(z-4)=0 即 z=-1 (舍去) 或z=4 由2x=4 ，得x=2,例1, 比較下列各題中幾個值的大?。?解： (1)考察函數(shù) y =1.7x，由于底數(shù) 1.7＞1，所以指數(shù)函數(shù) y =1.7x 在R上是增函數(shù). ∵2.5＜3, ∴ 1.7 2.5 ＜1.7 3,(2) 考察函數(shù) y = 0.8 x.由于底數(shù) 0.8﹤1，所以指數(shù)函數(shù) y = 0.8 x在R上是減函數(shù). ∵－0.1 ﹥ －0.2, ∴ 0.8 – 0.1 ﹤ 0.8 – 0.2,(3) 已知 2 m ﹤2 n 判斷m,n的大小 (4) 已知am﹥an (0﹤a﹤1)判斷m,n的大小,解: (3)考察函數(shù) y = 2x，由于底數(shù)２ ﹥ 1, 所以指數(shù)函數(shù) y =2x 在R上是增函數(shù)。 ∵ 2 m ﹤2 n ∴ m ﹤n.,(4)考察函數(shù) y = a x.由于底數(shù) 0 ﹤a ﹤1,所以指數(shù)函數(shù) y = a x在R上是減函數(shù) ∵ a m ﹥a n ∴ m ﹤n.,求下列函數(shù)的定義域和值域.,解: (1)要使函數(shù)有意義，必須使x≠0，所以定義域為(-∞,0)∪(0,+ ∞);因為x≠0，則y≠1所以函數(shù)的值域為(0,1) ∪(1,+ ∞).,(2)要使函數(shù)有意義，必須使x-1≥0，即 x≥1,所以定義域為[1,+ ∞);因為指數(shù)大于等于0，所以y≥1，即函數(shù)的值域為[1,+ ∞).,(1,+?),(0, +?),[1, +?),(0,1],(-1/2,0),,,二、課前練習(xí),例4 .如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax, ②y=bx, ③y=cx, ④y=dx的圖象．則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是( ),在y軸右側(cè)的圖象，底大圖高.,ab1cd B. ba1dc C. ab1dc C. ba1cd,B,在第一象限內(nèi),按逆時針方向,底數(shù)越來越大.,記憶方法:,,x=1,例1、解下列不等式,(1)解：∵1＝60 ∴原不等式可化為,∵y＝6x是R上的增函數(shù),∴原不等式等價于 x2－10,解得：-1x1,∴原不等式的解集為 (-1，1),四、例題講解,∵當(dāng)0a1時 y＝ax是R上的減函數(shù),∴原不等式等價于 3x0,解得：x4,∴當(dāng)0a1時 原不等式的解集為 (-∞，-1)∪(4，+∞),(2)解：,∵當(dāng)a1時 y＝ax是R上的增函數(shù),∴原不等式等價于 3xx2-4 即 x2-3x-40,解得：-1x4,當(dāng)a1時 原不等式的解集為 (-1，4),例2 、截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？,解：設(shè)今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過x年后 我國人口數(shù)為y億，則,,當(dāng)x=20時，,答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.,B,(-∞，-2)∪(4，+∞),證明：函數(shù)f (x)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱,∴f (-x)= - f (x),∴函數(shù)f (x)是奇函數(shù),