高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件 .ppt

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第五章 數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,【知識(shí)梳理】 1.數(shù)列的有關(guān)概念,一定順序,每一個(gè)數(shù),an=f(n),a1+a2+…+an,2.數(shù)列的表示方法 (1)表示方法:,an,(n,an),公式,(2)數(shù)列的函數(shù)特征:上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示 方法,數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集 {1,2,…,n})的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)所 對(duì)應(yīng)的一列_______.,函數(shù)值,3.數(shù)列的性質(zhì),an+1an,an+1an,an+1=an,4.an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 則an=,,____， n=1,,______， n≥2,,S1,Sn-Sn-1,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá); ②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè); ③已知an+2=f(an+1,an)時(shí),如果要確定這個(gè)數(shù)列,則必須知道初始值a1,a2; ④如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對(duì)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn. 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④,【解析】選D.①錯(cuò)誤.不是所有的數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá). ②正確.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有多個(gè). ③錯(cuò)誤.如已知an+2=an+1+2an,則只要知道任意連續(xù)兩項(xiàng)都可以確定這個(gè)數(shù)列. ④正確.根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義可知.,2.已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0,則下列各式不可以作 為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是( ) A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin C.an=1-cosnπ D.an= 【解析】選B.因?yàn)閍1=2,a2=0,a3=2,a4=0,但當(dāng)n=3時(shí)選項(xiàng)B中a3=2sin =-2≠2,其他選項(xiàng)都適合,故選B.,3.把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖). 則第7個(gè)三角形數(shù)是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】選B.由圖可知,第7個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.,4.已知an= ,那么數(shù)列{an}是( ) A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列 C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列 【解析】選B.因?yàn)閍n= ,所以an+1= , 所以an+1-an= 0, 所以an+1an, 所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.,5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 . 【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.故數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式是 答案:,6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+2=an+1-an(n∈N*),則a100等于 . 【解析】因?yàn)閍n+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1. 兩式相加得an+3=-an, 則an+6=-an+3=an, 即數(shù)列{an}的周期為6,,所以a100=a16×6+4=a4=a3-a2 =(a2-a1)-a2=-a1=-1. 答案:-1,考點(diǎn)1 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 【典例1】寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)3,5,7,9,…. (2) …. (3)-1, …. (4) …. (5)9,99,999,9999,….,【解題視點(diǎn)】通過(guò)分析各數(shù)列已知項(xiàng)的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項(xiàng)公式.,【規(guī)范解答】(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù), 所以an=2n+1. (2)每一項(xiàng)的分子比分母少1, 而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…, 所以an= . (3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故通項(xiàng)公式的符號(hào)為(-1)n;各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,…;而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為3,即奇數(shù)項(xiàng)為2-1,偶數(shù)項(xiàng)為2+1, 所以an= ,也可寫為,an= (4)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),而奇數(shù)項(xiàng)為正,故通項(xiàng)公式中必含有(-1)n+1,觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列,從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可知,分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成,而分子則是32+1,42+1,52+1,62+1,按照這樣的規(guī)律,第1,2兩項(xiàng)可改寫為 所以an=(-1)n+1· .,(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.,【規(guī)律方法】由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略 (1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法. (2)具體策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項(xiàng)的變化特征;③拆項(xiàng)后的特征;④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;⑤化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可用 (-1)k或(-1)k+1,k∈N*處理.,【變式訓(xùn)練】寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)2,4,6,8,…. (2) …. (3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b為實(shí)數(shù)). (4)3,33,333,3333,…. (5)4, ,2, ,….,【解析】(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都是序號(hào)的2倍,所以它的一個(gè)通 項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*). (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒 數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an=(-1)n· . (3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)是a,偶數(shù)項(xiàng)是b,所以此數(shù)列的一 個(gè)通項(xiàng)公式為an=,(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為: …,分母都是3,而分子 分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…. 所以an= (10n-1). (5)將該數(shù)列的前4項(xiàng)改寫成分?jǐn)?shù)的形式: 可得通項(xiàng) 公式an=(-1)n+1· .,【加固訓(xùn)練】 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)-1,7,-13,19,…. (2)0.8,0.88,0.888,…. (3) ….,【解析】(1)符號(hào)可通過(guò)(-1)n表示,后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5). (2)數(shù)列變?yōu)?(1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…, 所以其通項(xiàng)公式為an= . (3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,…,易看出第2,3,4項(xiàng)的分子 分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)? . 原數(shù)列化為 …, 所以an=(-1)n· .,考點(diǎn)2 an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用 【典例2】(1)(2014·臺(tái)州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn= an- ,則an=( ) A.2n B.3n C.2n-1 D.3n-1 (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( ) A.2n-1 B. C. D.,【解題視點(diǎn)】(1)利用an= 求解或采用特值驗(yàn)證. (2)根據(jù)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn,把Sn=2an+1化為Sn+1,Sn之間的 關(guān)系,求出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng),另外也可根據(jù)Sn=2an+1得出Sn-1=2an, 進(jìn)而得出an+1與an的關(guān)系,從而求出Sn.,【規(guī)范解答】(1)選D.方法一:因?yàn)镾n= an- , ① 所以Sn-1= an-1- (n≥2), ② ①-②,得an= 即an=3an-1. 又S1= a1- ,所以a1=1. 所以{an}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,故an=3n-1. 方法二:在已知式中令n=1,得a1=1,排除A,B;令n=2,得 a1+a2= a2- ,得a2=3,排除C,故選D.,(2)選B.方法一:因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得,Sn= 2(Sn+1-Sn),整理得3Sn=2Sn+1,所以 ,所以數(shù)列{Sn}是以S1=a1=1為首項(xiàng),q= 為公比的等比數(shù)列,所以Sn= ,故選B. 方法二:因?yàn)镾n=2an+1,所以Sn-1=2an(n≥2), 兩式相減得:an=2an+1-2an,所以 . 所以數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列. 又n=1時(shí),S1=2a2,所以a2= . 所以Sn=a1+ =,【互動(dòng)探究】若例2題(2)中,結(jié)論改為求an,如何求解? 【解析】根據(jù)原題的結(jié)果Sn= .當(dāng)n=1時(shí),a1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1= ,n=1時(shí)不適合這個(gè)公式.所以 an=,【規(guī)律方法】已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式. (3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來(lái)寫.,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,分別求它們的通項(xiàng)公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1. 【解析】(1)由題可知,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2×12+3×1=5, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 當(dāng)n=1時(shí),4×1+1=5=a1,所以an=4n+1.,(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+1=4, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 當(dāng)n=1時(shí),2×31-1=2≠a1, 所以,【加固訓(xùn)練】 1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,則n的值為 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】選A.因?yàn)镾n=-n2+3n,所以a1=S1=2, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4-2n,因此an=4-2n(n∈N*). 又因?yàn)閍n+1an+2=80, 即[4-2(n+1)][4-2(n+2)]=80, n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).,2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1, 因?yàn)門1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1. (2)n≥2時(shí),Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2],=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),a1=S1=1也滿足上式, 所以Sn=2an-2n+1(n∈N*), 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 兩式相減得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2), 所以an+2=2(an-1+2),因?yàn)閍1+2=3≠0,,所以數(shù)列{an+2}是以3為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列. 所以an+2=3×2n-1,所以an=3×2n-1-2, 當(dāng)n=1時(shí)也成立.所以an=3×2n-1-2.,考點(diǎn)3 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 【典例3】(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,則an等于 ( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn (2)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2nan,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= .,【解題視點(diǎn)】(1)把已知轉(zhuǎn)化為an+1-an=ln ,采用疊加的方 法. (2)把已知轉(zhuǎn)化為 =2n,采用疊乘的方法.,【規(guī)范解答】(1)選A.由已知,an+1-an=ln ,a1=2, 所以an-an-1=ln (n≥2), an-1-an-2=ln , … a2-a1=ln , 將以上n-1個(gè)式子疊加,得 an-a1= = =lnn. 所以an=2+lnn(n≥2),經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)也適合.故選A.,(2)由于 =2n,故 將這n-1個(gè)等式 疊乘得 故an= . 答案:,【易錯(cuò)警示】注意對(duì)n=1的檢驗(yàn) 本例題(1)在利用遞推公式求通項(xiàng)時(shí)限制了n≥2的條件,此時(shí)不要忽略檢驗(yàn)n=1時(shí)是否成立,否則易出現(xiàn)錯(cuò)解.,【規(guī)律方法】典型的遞推數(shù)列及處理方法,其中(1)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的求解方法是:設(shè)an+1+λ=p(an+λ),即an+1=pan+pλ-λ,與an+1=pan+q比較即可知 只要λ= . (2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是兩端同時(shí)除以 pn+1,即得 =q,數(shù)列 為等差數(shù)列. 提醒:對(duì)于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件.,【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=1,an= an-1(n≥2). (3)a1=2,an+1=an+3n+2. 【解析】(1)因?yàn)閍n+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以 =3, 所以數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.,(2)因?yàn)閍n= an-1(n≥2), 所以an-1= an-2,…,a2= a1. 以上(n-1)個(gè)式子疊乘得 an= 當(dāng)n=1時(shí)符合上式,所以an= . (3)因?yàn)閍n+1-an=3n+2,所以an-an-1=3n-1(n≥2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1= (n≥2). 當(dāng)n=1時(shí),a1=2符合上式,所以an= .,【加固訓(xùn)練】 1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2an-2n=Sn,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn①得2an+1-2n+1=Sn+1②,②-① 整理得an+1=2an+2n,即 ,即數(shù)列 是首項(xiàng)為1,公 差為 的等差數(shù)列,故 故an=(n+1)·2n-1. 答案:(n+1)·2n-1,2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= ,bn= ,則數(shù)列{bn}的 通項(xiàng)公式bn= . 【解析】由于an+1-2= -2= , +2, 即bn+1=4bn+2,bn+1+ =4(bn+ ).又a1=1,故b1= =-1. 所以 是首項(xiàng)為 ,公比為4的等比數(shù)列. bn+ = ×4n-1,bn= ×4n-1- . 答案: ×4n-1-,考點(diǎn)4 數(shù)列的性質(zhì) 【考情】因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù),所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì),因此,高考命題往往以數(shù)列作載體,用選擇題、填空題的形式考查單調(diào)性、周期性等問(wèn)題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例4】(1)(2014·杭州模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= ,則數(shù)列{an}( ) A.有最大項(xiàng),沒(méi)有最小項(xiàng) B.有最小項(xiàng),沒(méi)有最大項(xiàng) C.既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng) D.既沒(méi)有最大項(xiàng)也沒(méi)有最小項(xiàng),(2)(2014·臺(tái)州模擬)已知數(shù)列{xn}滿足xn+3=xn,xn+2= |xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1且a≠0),則數(shù)列{xn}的前2015項(xiàng)的和S2015為( ) A.671 B.670 C.1342 D.1344,【解題視點(diǎn)】(1)構(gòu)造f(n)=an-an-1,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解. (2)推算出{xn}的周期,利用周期性簡(jiǎn)化計(jì)算.,【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an= 所以f(n)=an-an-1= f(n)是關(guān)于 (n∈N*)的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù),自變 量 0, 從而對(duì)應(yīng)圖象是開(kāi)口向下的拋物線上的一群孤立點(diǎn), 所以數(shù)列先增后減,故有最大項(xiàng)和最小項(xiàng),選C.,(2)選D.由題意x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4= |1-a-a|=|1-2a|,又x4=x1,所以|1-2a|=1,又因?yàn)閍≠0, 所以a=1. 所以此數(shù)列為:1,1,0,1,1,0,…,其周期為3. 所以S2015=S671×3+2=671×2+2=1344.,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,…,若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,則( ) A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列,【解析】選B.因?yàn)閍n+1=an,bn+1= ,cn+1= , 所以an=a1,bn+1+cn+1= = (bn+cn)+an= (bn+cn)+a1, bn+1+cn+1-2a1= (bn+cn-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1. 于是△AnBnCn中,邊長(zhǎng)BnCn=a1為定值,另兩邊的長(zhǎng)度之和為 bn+cn=2a1為定值. 因?yàn)閎n+1-cn+1= 所以bn-cn= (b1-c1),當(dāng)n→+∞時(shí),有bn-cn→0,即bn→cn,于是 △AnBnCn的邊BnCn上的高h(yuǎn)n隨n的增大而增大,于是其面積 Sn= |BnCn|hn= a1hn,所以{Sn}為遞增數(shù)列.,2.(2013·溫州模擬)已知數(shù)列{an},若a1=b(b0),an+1= (n∈N*),則能使an=b成立的n的值可能是( ) A.14 B.15 C.16 D.17,【解析】選C.因?yàn)閍n+1= ,所以an= , 代入上式得an+1= =-1+an-2+1=an-2. 所以周期T=3,因?yàn)閍1=b,所以a16=a3×5+1=a1=b.,3.(2014·紹興模擬)已知數(shù)列{an}中,an= (n∈N*,a∈R,且a≠0). (1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值. (2)若對(duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.,【解析】(1)因?yàn)閍n= (n∈N*,a∈R,且a≠0), 又因?yàn)閍=-7,所以an=1+ 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7…an1(n∈N*). 所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.,(2)an= 因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立, 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性, 所以5 6,所以-10a-8.,【加固訓(xùn)練】 1.對(duì)于數(shù)列{an},“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的( ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選B. 方法一:由an+1|an|(n=1,2,…)知{an}從第二項(xiàng)起均為正項(xiàng), 且a1|an|(n=1,2,…),如-2, -1,0,1,2,…. 所以“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.,方法二:因?yàn)閍n+1|an|(n=1,2,3,…), 所以若a1≥0,則an≥0(n=1,2,3,…),此時(shí)an+1an,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 若a1an,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 但是,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,不能得到an+1|an|,如-3,-2,1,2,3,… 所以“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.,2.已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則 的最小值為( ) A. B. C.10 D.21 【解析】選B.因?yàn)閍n+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2), 又a1=33適合上式,所以an=n2-n+33, 所以,令f(x)=x+ -1(x0),則f'(x)=1- , 令f'(x)=0得x= .所以當(dāng)0 時(shí),f'(x)0, 即f(x)在區(qū)間(0, )上遞減;在區(qū)間( ,+∞)上遞增, 又5f(6),所以當(dāng)n=6時(shí), 有最小值 .,3.已知數(shù)列{an}. (1)若an=n2-5n+4, ①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)? ②n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4且對(duì)于n∈N*,都有an+1an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,【解析】(1)①由n2-5n+4an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列,又因?yàn)橥?xiàng)公式 an=n2+kn+4,可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以 ,即得k-3.,【易錯(cuò)誤區(qū)12】 an與Sn關(guān)系問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 Sn= ,則{an}的通項(xiàng)公式是an= . 【解析】由Sn= 得, 當(dāng)n≥2①時(shí),Sn-1= 所以當(dāng)n≥2①時(shí),an=Sn-Sn-1= an- an-1, 化簡(jiǎn)得an=-2an-1,,即 =-2. 又n=1②時(shí),S1=a1= a1+ ,a1=1, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1,公比q=-2的等比數(shù)列. 所以an=(-2)n-1. 答案:(-2)n-1,【誤區(qū)警示】 1.①處未考慮到是n≥2時(shí)才成立的情況. 2.②處忽略n=1時(shí)的情況導(dǎo)致解析不完整.,【規(guī)避策略】 1.重視分類討論思想的應(yīng)用,分n=1和n≥2兩種情況討論;特別 注意an=Sn-Sn-1中需n≥2. 2.由Sn-Sn-1=an推得an,要檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況,當(dāng)n=1時(shí),a1也適合 “an式”,則需統(tǒng)一“合寫”;當(dāng)n=1時(shí),a1不適合“an式”,則數(shù) 列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”),即an=,【類題試解】 1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2,n∈N*,則( ) A.{an}是遞增的等比數(shù)列 B.{an}是遞增數(shù)列,但不是等比數(shù)列 C.{an}是遞減的等比數(shù)列 D.{an}不是等比數(shù)列,也不單調(diào),【解析】選B.根據(jù)題意,由于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2,n∈N*,那么可知當(dāng)n=1時(shí),則有首項(xiàng)為1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1= 3n-3n-1=2×3n-1,n∈N*,故可知數(shù)列是遞增數(shù)列,但不是等比數(shù)列,故答案為B.,2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),則 an= . 【解析】因?yàn)閍n+1= Sn, 所以an= Sn-1(n≥2), 所以an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2). 所以an+1= an(n≥2). 又a1=1,a2= S1= a1= , 所以an= (n≥2).,所以an= 答案:,【創(chuàng)新體驗(yàn)】數(shù)列的新定義問(wèn)題 【典例】(2013·湖南高考)對(duì)于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ },定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中 其余項(xiàng)均為0,例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于 .,(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”為p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99. E的子集Q的“特征數(shù)列”為q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98, 則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為 .,【審題視點(diǎn)】,【解析】(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前三項(xiàng)是1,0,1,故和為2. (2)根據(jù)題設(shè)條件,子集P的“特征數(shù)列”是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… 子集Q的“特征數(shù)列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,… 發(fā)現(xiàn)p1=q1=1,p7=q7=1,…,p6i-5=q6i-5=1,于是令6n-5=97, 得n=17,所以P∩Q的元素個(gè)數(shù)為17. 答案:(1)2 (2)17,【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:以數(shù)列為背景的新定義問(wèn)題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn),考查頻次較高. 2.命題形式:常見(jiàn)的有新定義、新規(guī)則等.,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,緊抓題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對(duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題,搞清定義是關(guān)鍵,仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡(jiǎn)單處)體會(huì)題意,從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.,【新題快遞】 1.定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.,【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)審題,搞清題中所給的定義,結(jié)合新的定義進(jìn)行推理與證明. 【證明】由條件得:an+1=2an2+2an, 所以2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2, 所以{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.,2.設(shè)函數(shù)f(x)定義如表: 定義數(shù)列{an}:a0=2,an+1=f(an),n∈N. (1)求a1-a2+a3-a4+…+a2013-a2014. (2)若a1+a2+a3+…+an=1000,求n的值.,【解析】(1)由題意知a1=f(a0)=f(2)=4, a2=f(a1)=f(4)=5, a3=f(a2)=f(5)=1, a4=f(a3)=f(1)=3, a5=f(a4)=f(3)=2, a6=f(a5)=f(2)=4,…,數(shù)列{an}為周期數(shù)列,最小正周期為5,而a1-a2+a3-a4+…+a9-a10=0, a2011=a1=4, a2012=a2=5, a2013=a3=1, a2014=a4=3, 所以原式=a1-a2+a3-a4+…-a2008+a2009-a2010+a2011-a2012+a2013-a2014=0+4-5+1-3=-3.,(2)因?yàn)橐粋€(gè)周期內(nèi)的和為15, 又1000=15×66+10, a1+a2+a3=10, 所以n=66×5+3=333.,