高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第五節(jié)橢圓課件文.ppt

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文數(shù) 課標(biāo)版,第五節(jié) 橢圓,1.橢圓的定義 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡 叫做① 橢圓 .這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的② 焦點(diǎn) ,兩焦點(diǎn)間的距離 叫做橢圓的③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù).,教材研讀,(1)若④ ac ,則集合P表示橢圓; (2)若⑤ a=c ,則集合P表示線段; (3)若⑥ ac ,則集合P為空集.,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),3.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓的位置關(guān)系 (1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)? + 1.,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (×) (2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢,圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距). (√) (3)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形. (√) (4)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓. (×) (5)方程mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)表示的曲線是橢圓. (√),1.如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F是圓內(nèi)一定點(diǎn),M是圓周上一動(dòng)點(diǎn), 把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于 點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是 ( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓 答案 A 由折疊過程可知點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于直線CD對稱,故|PM|=|PF|,所 以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r|OF|(r為圓O的半徑).故由橢圓的定義 可知,點(diǎn)P的軌跡為橢圓.,,2.已知F1,F2是橢圓 + =1的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn). 在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 A 根據(jù)橢圓的定義,知△AF1B的周長為4a=16,故所求的第三邊 的長度為16-10=6.,,3.橢圓x2+my2=1(m0)的焦點(diǎn)在y軸上,長軸長是短軸長的2倍,則m等于 ( ) A. B.2 C.4 D. 答案 D 由x2+ =1(m0)及題意知,2 =2×2×1,解得m= ,故選D.,,4.已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m0),則此橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 答案 B 2x2+3y2=m(m0)? + =1, ∴c2= - = ,∴e2= ,又0e1,∴e= .故選B.,,5.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于 ,則C的方程 是 . 答案 + =1 解析 依題意,設(shè)橢圓方程為 + =1(ab0), 則有 解得a=2,b2=3. 故C的方程為 + =1.,,考點(diǎn)一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 典例1 (1)已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且 和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 ( ) A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1 (2)已知橢圓C: + =1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為 ,過 F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長為4 ,則C的方程為 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,考點(diǎn)突破,(3)已知F1、F2是橢圓C: + =1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一 點(diǎn),且 ⊥ .若△PF1F2的面積為9,則b= . 答案 (1)D (2)A (3)3 解析 (1)設(shè)圓M的半徑為r,則|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8 16,∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=16,2c=8,則a=8,c =4,∴b2=48,故所求的軌跡方程為 + =1. (2)由題意及橢圓的定義知4a=4 ,則a= ,又 = = ,∴c=1,∴b2=2, ∴C的方程為 + =1. (3)∵|PF1|+|PF2|=2a, ⊥ ,,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,,,∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2, ∴|PF1||PF2|=2b2, ∴ = |PF1||PF2|= ×2b2=b2=9. ∴b=3.,∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,,1.橢圓定義的應(yīng)用類型及方法 (1)利用定義確定平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓; (2)利用定義解決與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的周長、面積及最值問題.,方法指導(dǎo),2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量, 即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果 焦點(diǎn)位置不確定,要考慮是否有兩解,有時(shí)為了解題方便,也可把橢圓方 程設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)的形式.,1-1 一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2, )是橢圓上一點(diǎn), 且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 答案 A 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(ab0).由點(diǎn)P(2, )在橢圓 上知 + =1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a= 2×2c, = ,又c2=a2-b2,聯(lián)立 得a2=8,b2=6,故橢圓方程為 +,=1.,,1-2 設(shè)F1、F2分別是橢圓E:x2+ =1(00). 又∵|AF1|=3|F1B|, ∴由 =3 得B , 代入x2+ =1得 + =1,,,又c2=1-b2,∴b2= .故橢圓E的方程為x2+ y2=1.,考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì) 典例2 (1)(2016課標(biāo)全國Ⅲ,12,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C: + =1(ab0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x 軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE 的中點(diǎn),則C的離心率為 ( ) A. B. C. D. (2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓 + =1上,若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),| |=1,且 · =0,則| |的最小值為 . 答案 (1)A (2),,解析 (1)解法一:設(shè)點(diǎn)M(-c,y0),OE的中點(diǎn)為N,則直線AM的斜率k= , 從而直線AM的方程為y= (x+a),令x=0,得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE= . 同理,OE的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN= . 因?yàn)?yN=yE, 所以 = , 即2a-2c=a+c, 所以e= = .故選A. 解法二:如圖,設(shè)OE的中點(diǎn)為N, 由題意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,,∵PF∥y軸,∴ = = , = = , 又∵ = , 即 = , ∴a=3c,故e= = .,(2)由| |=1,A(3,0),知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),∵ · =0,∴PM⊥AM,即PM為☉A的切線,連接PA(如圖),則| |= = ,又∵P在橢圓上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)| |min=5-3=2時(shí), | |min= .,方法技巧 求橢圓離心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定義求解. (2)構(gòu)造a,c的齊次式,解出e.由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然 后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解. (3)通過特殊值或特殊位置求出離心率.,2-1 (2016課標(biāo)全國Ⅰ,5,5分)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若 橢圓中心到l的距離為其短軸長的 ,則該橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 答案 B 如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc= a· ,所以e= = .故選B.,,2-2 已知F1、F2分別是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么| + |的最小值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.2 答案 C 設(shè)P(x0,y0),則 =(-1-x0,-y0), =(1-x0,-y0), ∴ + =(-2x0,-2y0), ∴| + |= =2 =2 . ∵點(diǎn)P在橢圓上, ∴0≤ ≤1, ∴當(dāng) =1時(shí),| + |取最小值,為2.,,考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系 典例3 已知橢圓E: + =1(ab0)的離心率為 ,右焦點(diǎn)為F(1,0). (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),若OM⊥ON, 求直線l的方程. 解析 (1)依題意可得 解得a= ,b=1, 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1. (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),,,①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí),直線l的方程為x=1,不符合題意; ②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1). 聯(lián)立得方程組,消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 所以x1+x2= ,x1·x2= . 所以y1·y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]= . 因?yàn)镺M⊥ON, 所以 · =0, 所以x1·x2+y1·y2= =0, 所以k=± , 即直線l的方程為y=± (x-1).,方法技巧 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方 程與橢圓方程聯(lián)立,消元,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān) 問題,涉及弦中點(diǎn)的問題常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡單. (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= = (k為直線斜率,k≠0). 提醒:利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行 的,不要忽略判別式.,3-1 (2016山西太原五中月考)已知P(1,1)為橢圓 + =1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng) 過P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為 . 答案 x+2y-3=0 解析 解法一:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)其方程為y-1=k(x- 1),弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2).,,由 消去y得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2= , 又∵x1+x2=2,∴ =2,解得k=- . 故此弦所在的直線方程為y-1=- (x-1),即x+2y-3=0. 解法二:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)斜率為k, 弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2), 則 + =1①, + =1②, ①-②得 + =0,,∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴ +y1-y2=0,∴k= =- . ∴此弦所在的直線方程為y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.,3-2 已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N 內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半 徑最長時(shí),求|AB|. 解析 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半 徑r2=3. 設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線C是左、右焦點(diǎn)為M、N,長半軸長為2,短半軸,,長為 的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為 + =1(x≠-2). (2)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當(dāng)且 僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4. 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2 . 若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q, 則 = ,可求得Q(-4,0), 所以可設(shè)l:y=k(x+4). 由l與圓M相切得 =1,,解得k=± . 當(dāng)k= 時(shí),將y= x+ 代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2= . 所以|AB|= |x2-x1|= . 當(dāng)k=- 時(shí),由圖形的對稱性可知|AB|= . 綜上,|AB|=2 或|AB|= .,