高中數(shù)學 1.3全稱量詞與存在量詞課件 北師大版選修2-1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,常用邏輯用語,第一章,1.3 全稱量詞與存在量詞,第一章,1．全稱量詞和全稱命題 (1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做________，并用符號“_____”表示． (2)全稱命題：含有________的命題叫做全稱命題．全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為____________，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．,全稱量詞,?,全稱量詞,?x∈M，p(x),2．存在量詞和特稱命題 (1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做________，并用符號“________”表示． (2)特稱命題：含有___________的命題叫做特稱命題．特稱命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為_______________，讀作“存在M中的一個元素x0，使p(x0)成立”． 3．全稱命題的否定是________命題；特稱命題的否定是________命題．,存在量詞,?,存在量詞,?x0∈M，p(x0),特稱,全稱,1．必須明確存在量詞和全稱量詞的含義及表示符號． 明確全稱命題與特稱命題的含義． “任意x∈M，p(x)”通俗說就是對集合M中所有元素x，都有p(x)成立；“存在x∈M，q(x)”通俗說存在集合M中的元素x，使q(x)成立．,2．全稱命題與特稱命題的否定 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，即它們互為否定形式．在寫出兩種命題的否定時，要掌握形式上的兩個變化：全稱量詞與特稱量詞的變化，條件p(x)與其否定的變化． 要判定一個特稱命題為真，只要在給定集合中找到一個元素x，使命題p(x)為真；否則命題為假，要判定一個全稱命題為真，必須對給定的集合中每一個元素x，p(x)都為真；但要判定一個全稱命題為假，只要在給定的集合內(nèi)找到一個x0，使p(x0)為假即可．,對于含有一個量詞的命題的否定，先對量詞進行變化，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，然后把結(jié)論p(x)否定．,3．同一個全稱命題或特稱命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法，在應用中可以靈活選擇.,4.否定命題時，要注意特殊的詞，如“全”“都”等．常見關(guān)鍵詞及其否定形式如下表.,1．命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( ) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) [答案] D [解析] 全稱命題的否定：所有變?yōu)榇嬖?，且否定結(jié)論． 所以原命題的否定是：存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)．,[答案] C [解析] “任意”改為“存在”，“≤”改為“＞”．,3．下列命題為特稱命題的是( ) A．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 B．正四棱柱都是平行六面體 C．不相交的兩條直線是平行直線 D．存在實數(shù)大于等于3 [答案] D,4．下列命題中的假命題是( ) A．?x0∈R，logx0＝0 B．?x0∈R，tanx0＝1 C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0 [答案] C,6．命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是( ) A．某些平行四邊形不是矩形 B．任何平行四邊形是矩形 C．每一個平行四邊形都不是矩形 D．以上都不對 [答案] C [解析] 特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞，然后否定結(jié)論．,判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷真假． (1)對任意實數(shù)x，都有x2＋30； (2)每一個指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)； (3)至少有一個自然數(shù)小于1； (4)存在一個實數(shù)x，使得x2＋2x＋2＝0.,全稱命題與特稱命題的判斷,[總結(jié)反思] (1)要確定一個全稱命題是真命題，必須對所有元素驗證，即給出嚴格的證明；要確定一個全稱命題是假命題，只需舉出一個反例． (2)要確定一個特稱命題是真命題，只需找到一個滿足要求的特例；要確定一個特稱命題是假命題，需要嚴格證明對所有元素均不符合要求．,判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假． (1)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)； (2)至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除； (3)任意x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)； (4)存在x∈{x|x∈Z}，log2x0.,寫出下列全稱命題的否定： (1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)； (2)p：每一個四邊形的四個頂點共圓； (3)p：對任意的x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3. [分析] 全稱命題的否定，其模式是固定的，即相應的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，后面進行否定．,全稱命題的否定,[總結(jié)反思] 全稱命題的否定是特稱命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定．,判斷下列命題是否為全稱命題，并寫出命題的否定： (1)所有的矩形都是平行四邊形； (2)數(shù)列1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)； (3)所有的a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解； (4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.,[解析] (1)是全稱命題，其否定：存在一個矩形，不是平行四邊形． (2)是全稱命題，其否定：數(shù)列1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù)． (3)是全稱命題，其否定：存在a、b∈R，使方程ax＝b的解不惟一． (4)是全稱命題，其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.,[分析] 特稱命題的否定是全稱命題．,特稱命題的否定,[解析] (1)p的否定：所有的x∈R，x2＋2x＋2＞0. (2)p的否定：所有的三角形都不是等邊三角形． (3)p的否定：每一個素數(shù)都不含三個正因數(shù)．,寫出下列命題的否定． (1)存在x＞1，使x2－2x－3＝0. (2)p：有些棱臺的底面是梯形； (3)p：有些平行四邊形不是矩形． [解析] (1)p的否定：所有的x＞1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p的否定：所有的棱臺的底面都不是梯形． (3)p的否定：所有的平行四邊形都是矩形．,對于滿足0≤p≤4的一切實數(shù)，不等式x2＋px4x＋p－3恒成立，試求x的取值范圍． [分析] 本題看上去是一個不等式的問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，確定適當?shù)淖兞亢蛥?shù)，把它轉(zhuǎn)化為一個簡單的一次函數(shù)，并借助函數(shù)圖像建立一個關(guān)于x的不等式組，從而求得x的取值范圍．,利用全稱命題與特稱命題求參數(shù)的取值范圍,[總結(jié)反思] 全稱命題的考查在試題中經(jīng)常出現(xiàn)，如：“恒成立”問題就屬于這一題型．其命題方向往往是求式子中某個參數(shù)的取值范圍．而存在性命題常常以適合某種條件的結(jié)論“存在”、“不存在”、“是否存在”，求出相應的參數(shù)的取值范圍．解題時的依據(jù)是：“假設(shè)存在，利用條件進行推理論證，若導出合理結(jié)論，則存在性隨之解決；若導致矛盾，則可否定存在性．”,命題：“不等式x2＋2y＋y2＋2y≥－a”恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________________． [答案] [2，＋∞) [解析] 將命題中的不等式轉(zhuǎn)化為(x＋1)2＋(y＋1)2≥2－a恒成立． 當x∈R，y∈R時，(x＋1)2＋(y＋1)2的最小值為0. ∴0≥2－a，即a≥2.∴a的取值范圍是[2，＋∞) [總結(jié)反思] 本題中的不等式是一個恒成立的不等式，可將原問題轉(zhuǎn)化為求最小值的問題，從而使問題迎刃而解．,[誤解] p的否定：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根． [正解] p的否定：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實數(shù)根． [迷津點撥] 命題p的結(jié)論為“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“p的否定”應否定“有”，而不能否定“相等”．,[迷津點撥] 該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但誤解(1)中得到的“p的否定”仍是特稱命題，顯然只對結(jié)論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；誤解(2)中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結(jié)論進行否定．,[誤解] (1)不相交的兩條直線不是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱． [正解] (1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱．,[迷津點撥] 以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題．對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質(zhì)只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題，要特別引起注意．,