高中數(shù)學(xué) 2.4用向量討論垂直與平行課件 北師大版選修2-1.ppt
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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.4 用向量討論垂直與平行,第二章,1.垂直問(wèn)題 (1)直線與直線垂直:只要兩直線的________垂直,兩直線必垂直. (2)直線與平面垂直:直線的________若與平面的________平行,則直線與平面垂直;反之亦成立. (3)平面與平面垂直:平面與平面垂直的充要條件是:_____________________________.,方向向量,方向向量,法向量,兩平面的法向量互相垂直,2.平行問(wèn)題 (1)直線與直線平行:只要兩條直線的__________________________________. (2)直線與平面平行:直線的____________若與平面的__________垂直(直線不在平面內(nèi)),則直線與平面平行. (3)平面與平面平行:當(dāng)兩平面的______________(兩平面不重合)時(shí)兩平面平行.,方向向量平行且這兩條直線不共線即可,方向向量,法向量,法向量平行,3.三垂線定理 (1)三垂線定理:若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的________,則這兩條直線垂直. (2)三垂線定理的逆定理:若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線,則這條直線也垂直于直線在該平面內(nèi)的________.,投影,投影,2.確定平面的法向量 平面的法向量就是平面法線的方向向量,因此可以先確定平面的法線,再取它的方向向量.也可以直接判定向量與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,而得到平面的法向量.確定平面的法向量通常有兩種方法:(1)幾何體中已經(jīng)給出有向線段,只需證明線面垂直;(2)幾何體中沒(méi)有具體的直線,此時(shí)可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量.,3.對(duì)于空間中平行關(guān)系的向量表示的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)直線與直線平行:關(guān)鍵看直線的方向向量是否共線. (2)直線與平面平行:關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直;或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量是否共面. (3)平面與平面平行:關(guān)鍵看兩平面的法向量是否共線.,4.關(guān)于三垂線定理的理解 (1)三垂線定理敘述的是平面內(nèi)直線a與平面的斜線b,及斜線b在平面內(nèi)的投影c三者之間的垂直關(guān)系. (2)這里a與b可以相交,可以異面. (3)三垂線定理是判斷或證明空間中線線垂直的主要依據(jù),三垂線定理跨越了線面垂直,直接由線線垂直到線線垂直,為解決線線垂直提供了一條捷徑.,5.直線的方向向量與平面法向量在確定直線、平面的平行關(guān)系中的應(yīng)用 (1)若兩直線l1,l2的方向向量分別是u1,u2,則l1∥l2?u1∥u2. (2)若兩平面α,β的一個(gè)法向量分別是n1,n2,則α∥β?n1∥n2. (3)若直線l的方向向量是u,平面α的一個(gè)法向量是n,則l∥α?u⊥n?u·n=0.,6.判定空間線、面垂直關(guān)系時(shí),直線的方向向量與平面的法向量的確定方法 在實(shí)際解題過(guò)程中,需要確定直線的方向向量和平面的法向量,通常是先確定直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線的方向向量;平面的法向量則通常需要確定平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),然后確定平面內(nèi)兩條直線的方向向量,最后用待定系數(shù)法求出平面法向量.,1.設(shè)兩條直線所成角為θ(θ為銳角),則直線的方向向量的夾角與θ( ) A.相等 B.互補(bǔ) C.互余 D.相等或互補(bǔ) [答案] D,4.在空間直角坐標(biāo)系中,平面xOz的一個(gè)法向量是( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) [答案] B 5.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為u=(-2,0,-4),則( ) A.l∥α B.l⊥α C.lα D.l與α斜交 [答案] B [解析] ∵u=-2a,∴a∥u.∵u為平面α的法向量,∴l(xiāng)⊥α.,如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.,線面平行,,,如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn). (1)求證:AC⊥BC1; (2)求證:AC1∥平面CDB1.,,,如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H,M,N分別是正方體六個(gè)面的中心.求證:平面EFG∥平面HMN.,面面平行,,[分析] 用向量證明面面平行有兩個(gè)途徑:利用面面平行的判定定理,即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面;證明兩個(gè)平面的法向量平行.,,[總結(jié)反思] 證明面面平行的向量方法有兩種:第一種是分別求出兩平面的法向量,再證明兩法向量平行;第二種是證明一個(gè)平面有兩不共線向量平行于另一平面,轉(zhuǎn)化為線面平行的問(wèn)題.,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分別為C1D1、B1C1、CC1的中點(diǎn). 求證:平面A1DB∥平面EFG. [證明] 以D為原點(diǎn),直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn). 求證:EF⊥平面B1AC. [分析] 可以從純幾何的角度和向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明.,線面垂直,,[解析] 證法一:如圖,取A1B1的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,A1B,則FG∥A1D1,EG∥A1B.,,[總結(jié)反思] 用向量法證明線面垂直的方法與步驟 (1)基向量法 ①確定基向量作為空間的一個(gè)基底,用基向量表示有關(guān)直線的方向向量; ②找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量,并分別用基向量表示; ③分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面相交直線的方向向量的數(shù)量積,根據(jù)數(shù)量積為0,證得線線垂直,然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論.,(2)坐標(biāo)法 方法一:①建立空間直角坐標(biāo)系; ②將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; ③找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量; ④分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0. 方法二:①建立空間直角坐標(biāo)系; ②將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; ③求出平面的法向量; ④判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.,,,,在正三棱錐P-ABC中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,G是△PAB的重心,E、F分別為BC、PB上的點(diǎn),且BEEC=PFFB=12. 求證:平面GEF⊥平面PBC.,面面垂直,,[證明] 證法1:如圖,以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn),以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,,[證明] ∵FA⊥平面ABCD,∴FA⊥AD,F(xiàn)A⊥AB,又AD⊥AB,∴AF、AD、AB兩兩垂直.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)AB=1,,,如圖,在棱長(zhǎng)AB=AD=2,AA1=3的長(zhǎng)方體AC1中,點(diǎn)E是平面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).試確定點(diǎn)E的位置,使D1E⊥平面AB1F.,探索性問(wèn)題,,,,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC,DD1上是否分別存在點(diǎn)E,F(xiàn),使得B1E⊥平面ABF,若存在,請(qǐng)證明你的結(jié)論,并求出E,F(xiàn)滿足的條件;若不存在,說(shuō)明理由. [誤解] 若在建系不恰當(dāng),則會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算煩瑣,甚至出錯(cuò),致使結(jié)論錯(cuò)誤;若不知如何把線面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系,則本例無(wú)法繼續(xù)求解.,[正解] 建立如圖空間直角坐標(biāo)系,,,[總結(jié)反思] 1.準(zhǔn)確確定點(diǎn)的坐標(biāo) 認(rèn)真審題,分清題設(shè)條件,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及合理設(shè)出待定點(diǎn)的坐標(biāo),本例中E,F(xiàn)要在正方體的棱上,其坐標(biāo)必需滿足條件h,m∈[0,1]. 2.合理轉(zhuǎn)化已知條件 根據(jù)題設(shè)條件,將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系,準(zhǔn)確運(yùn)用向量運(yùn)算解答.例如本例中②處的轉(zhuǎn)化.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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