高中數(shù)學(xué) 2.3第2課時空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課件 北師大版選修2-1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.3 向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理 第2課時 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,第二章,1．空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則 a＋b＝__________________________； a－b＝__________________________ ； λa＝__________________________ ； 空間向量平行的坐標(biāo)表示為a∥b(b≠0)?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．,(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2),(x1－x2，y1－y2，z1－z2),(λx1，λy1，λz1)(λ∈R),(x2－x1，y2－y1，z2－z1),x1x2＋y1y2＋z1z2,對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和,x1x2＋y1y2＋z1z2＝0,1．設(shè){i，j，k}為單位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根據(jù)向量線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐標(biāo)表示．,,2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵．這些公式為我們用向量的知識解決立體幾何問題提供了有力的工具． 3．運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，先要考察原圖形是否方便建立直角坐標(biāo)系，將問題中涉及的點(diǎn)、線(向量)、面(向量的線性組合)用坐標(biāo)表示，如果容易表示則先建系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，然后，利用垂直、平行、共面的條件通過向量運(yùn)算推證有關(guān)結(jié)論，利用向量的模、向量夾角的計(jì)算公式來求線段長度及角，最后將計(jì)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論；當(dāng)圖形中的點(diǎn)不方便用坐標(biāo)表示時，可直接設(shè)出向量的基底，將各條件、結(jié)論中涉及的向量表示為基底的線性組合，再運(yùn)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行推理、計(jì)算最后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)幾何結(jié)論．,4．若a·b＝0，則a⊥b；若a＝λb(b≠0，λ∈R)，則a∥B． 解兩直線垂直或平行的問題，或利用向量證明立體幾何的問題，應(yīng)先將幾何中的相關(guān)量用向量的形式表示，或建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量運(yùn)算求解．,已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b； (2)a－b； (3)2a·(－b)； (4)(a＋b)·(a－b)． [分析] 利用空間向量的運(yùn)算法則坐標(biāo)形式求解．,向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,[解析] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)(－4)＝14. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. [總結(jié)反思] 進(jìn)行運(yùn)算時可以適當(dāng)?shù)剡x擇求解方法，如計(jì)算(a＋b)·(a－b)，可以先求a＋b與a－b，再點(diǎn)乘，也可以用公式寫出a2－b2＝|a|2－|b|2然后計(jì)算．,已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求3a＋2b，a·B． [分析] 空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．,[解析] 因?yàn)閍＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)， 所以3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(3×2,3×(－1)，3×(－2))＋(2×0,2×(－1)，2×4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)． a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝0＋1－8＝－7. [總結(jié)反思] 空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算是今后利用向量知識解決立體幾何知識的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，并且能夠靈活地應(yīng)用．,空間向量的垂直與平行的判斷,[總結(jié)反思] 已知兩個空間向量的坐標(biāo)，當(dāng)這兩個向量平行或垂直時，就可以根據(jù)a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b?a1＝xb1，a2＝xb2，a3＝xb3(x∈R)進(jìn)行求解．其中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．,設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，則k＝________________. [分析] 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可求出ka＋b，a－3b，再由向量共線的坐標(biāo)表示可求出k.,[分析] (1)向量的模(大小)的公式是什么？ (2)計(jì)算兩個向量的夾角或其余弦值，要先計(jì)算哪些量？,數(shù)量積的應(yīng)用,,[總結(jié)反思] 1.空間兩點(diǎn)間的距離(線段長度)的求法 空間兩點(diǎn)可以確定一個向量，通過求向量的模或根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出兩點(diǎn)間的距離． 2．關(guān)于兩直線夾角的求法 (1)通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩直線的方向向量的坐標(biāo)，然后計(jì)算兩直線的方向向量的夾角． (2)空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同，當(dāng)所求兩向量夾角為鈍角時，則兩直線夾角是與此鈍角互補(bǔ)的銳角．,,[總結(jié)反思] 此類問題考查了空間向量的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．值得注意的是：①要建立合適的坐標(biāo)系，使運(yùn)算簡便；②要在運(yùn)算時別出錯．,綜合應(yīng)用,[總結(jié)反思] 解題時要根據(jù)題設(shè)中關(guān)于x的方程有實(shí)根，得到t的取值范圍為3≤t≤4，而不是t∈R.,如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，問：在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD？說明理由．,,[分析] 可建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為空間向量來求解．,,[總結(jié)反思] 兩向量平行或兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況，兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．錯解就忽視了這一點(diǎn)．,