《數(shù)學歸納法》課件.ppt

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數(shù)學歸納法,：由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法,結論一定可靠,結論不一定可靠,考察全體對象,得到一般結論的推理方法,考察部分對象,得到一般結論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,,,,,歸納法,思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？,優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結論有時是不正確的,解:,猜想數(shù)列的通項公式為,驗證:同理得,啊,有完沒完啊?,正整數(shù)無數(shù)個!,（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正確的嗎？,,情境二,二、引導探究，尋求解決方法,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下,條件（2）事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下,請同學們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件,,(二)師生互助,多米諾骨牌游戲原理,（1）當n=1時，猜想成立,根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。,通項公式為 的證明方法,三、類比問題，師生合作探究,,（一）類比歸納,當一個命題滿足上述（1）、（2） 兩個條件時，我們能把證明無限問題 用有限證明解決嗎?,,（二）理解升華,一般的，證明一個與正整數(shù)有關的命題，可按下列步驟進行：,（1） 【歸納奠基】證明當n取第一個值n0(n0 ∈N* ) 時命題成立; （2） 【歸納遞推】假設當n=k(k∈N* ,k≥ n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立. 從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法。,,（四）提煉概念,四、例題研討，學生實踐應用,,（一）典例析剖,,,,,,,（二）變式精煉,,,,用數(shù)學歸納法證明,,1＋3＋5＋‥＋（2n－1） ＝,用數(shù)學歸納法證明,n2,即當n=k+1時等式也成立。,根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何 都成立。,證明：,1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］,那么當n=k+1時,（2）假設當n＝k時，等式成立，即,（1）當n=1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立。,,,（假設）,（利用假設）,注意：遞推基礎不可少， 歸納假設要用到， 結論寫明莫忘掉。,（湊結論）,,,（三）能力提升,,,,用數(shù)學歸納法證明,證明：,（1）當n=1時，,左邊=12=1,等式成立,(2)假設當n=k時等式成立,即,那么,當n=k+1時,即當n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,湊出目標,,用到歸納假設,,,,數(shù)學歸納法步驟，用框圖表示為：,歸納奠基,歸納遞推,注：兩個步驟,一個結論,缺一不可,,,思考1：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學用數(shù)學歸納法給出了如下的證明，請問該同學得到的結論正確嗎？,解:設n＝k時成立，即,這就是說，n＝k+1時也成立,2+4+6+…+2k＝k2+k+1,則當n=k+1時 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對任何n∈N*都成立,事實上，當n＝1時，左邊＝2，右邊＝3 左邊≠右邊，等式不成立,該同學在沒有證明當n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時尚早,證明：①當n=1時，左邊＝,右邊＝,②假設n=k時，等式成立，,那么n=k+1時,等式成立,這就是說，當n=k+1時，等式也成立,根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立,即,第二步的證明沒有在假設條件下進行，因此不符合數(shù)學歸納法的證明要求,因此，用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。,1.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n－3) 條時，第一步檢驗n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析：因為n≥3，所以，第一步應檢驗n＝3.,答案：C,2.用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)， 在驗證n＝1時，等式左端計算所得的項是 ( ) A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3,解析：因為當n＝1時，an＋1＝a2，所以驗證n＝1時， 等式左端計算所得的項是1＋a＋a2.,答案：C,3.利用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋ 1”時，左邊應增乘的因式是 ( ) A.2k＋1 B.2(2k＋1) C. D.,解析：當n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 則左邊應增乘的式子是 ＝2(2k＋1).,答案：B,4.用數(shù)學歸納法證明： ， 第一步應驗證左式是 ， 右式是 .,解析：令n＝1則左式為1－ ，右式為 .,答案：,5.記凸k邊形的內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和 f(k＋1)＝f(k)＋ .,解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.,答案：π,六、鞏固作業(yè)，分層布置,課本P96習題2.3 A組 1、2（必做） （選做題） 用數(shù)學歸納法證明,時，由n=k（k1）時不等式成立，推證n=k+1，左邊應增加的項數(shù)是（ ）項 A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,