高考數(shù)學 6.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件.ppt
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第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標系中,平面內所有的點被直線Ax+By+C=0分成三類: ①滿足Ax+By+C__0的點; ②滿足Ax+By+C__0的點; ③滿足Ax+By+C__0的點.,=,,,(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法: 直線l:Ax+By+C=0把坐標平面內不在直線l上的點分為兩部分,當點在 直線l的同一側時,點的坐標使式子Ax+By+C的值具有_____的符號,當 點在直線l的兩側時,點的坐標使Ax+By+C的值具有_____的符號.,相同,相反,(3)線性規(guī)劃中的基本概念:,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點定域: ①直線定界:不等式中無等號時直線畫成虛線,有等號時直線畫成實線; ②特殊點定域:若直線不過原點,特殊點常選原點;若直線過原點,則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.,(2)利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域: 對于Ax+By+C0或Ax+By+C0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的上方; ②當B(Ax+By+C)0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的下方. (3)最優(yōu)解和可行解的關系: 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一,有時唯一,有時有多個.,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:特殊點法,平移法. (2)數(shù)學思想:數(shù)形結合思想. (3)記憶口訣:線定界,點定域,一畫二移三求.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.( ) (2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域.( ) (3)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.( ) (4)目標函數(shù)z=ax+by(b≠0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.( ),【解析】(1)錯誤,不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域不一定在直線Ax+By+C=0的上方,因為(Ax+By+C)·B0不一定成立. (2)錯誤,當二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部分時,就無法表示平面上的一個區(qū)域. (3)正確,當線性目標函數(shù)轉化成的直線和某個邊界重合時,最優(yōu)解無窮多.,(4)錯誤,目標函數(shù)z=ax+by(b≠0)中, 是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P86T3改編)不等式組 表示的平面區(qū)域是( ),【解析】選C.x-3y+60表示直線x-3y+6=0左上方部分,x-y+2≥0表示直線x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示部分.,(2)(必修5P93習題3.3A組T2改編)已知x,y滿足 則z=-3x+y的最大值為 . 【解析】由題意畫出平面區(qū)域為:,當直線-3x+y=0經過點A時,z取得最大值. 由 可得 即點A(1,3). 所以zmax=-3x+y=-3×1+3=0. 答案:0,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標全國卷Ⅱ)設x,y滿足約束條件 則z=2x-y的最大值為( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【解析】選B.畫出可行域,可知可行域為三角形,經比較斜率,可知目標函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(5,2)處,取得最大值z=8.故選B.,(2)(2014·天津高考)設變量x,y滿足約束條件 則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選B.作出可行域如圖,結合圖象可知,當目標函數(shù)通過點(1,1)時,z取得最小值3.,(3)(2014·湖南高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最小值為-6,則k= . 【解析】如圖,畫出可行域,l0:2x+y=0,當l0:2x+y=0運動到過點A(k,k)時,目標函數(shù)取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2. 答案:-2,考點1 平面區(qū)域面積的問題 【典例1】(1)(2015·北京模擬)在平面直角坐標系xOy中,不等式組 表示圖形的面積等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2015·揚州模擬)已知不等式組 表示的平面區(qū)域 為D,若直線y=kx+1將區(qū)域D分成面積相等的兩部分,則實數(shù)k的值是 .,【解題提示】(1)作出不等式組對應的平面區(qū)域,根據(jù)平面區(qū)域的圖形即可計算對應的面積. (2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,直線y=kx+1過定點(0,1),利用面積相等確定直線經過的區(qū)域邊界上的點,然后代入求k值.,【規(guī)范解答】(1)選B.不等式組對應的平面區(qū)域如圖,,對應的區(qū)域為正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0), 邊長AD= 則正方形的面積S= =2, 故選B.,(2)區(qū)域D如圖中的陰影部分所示,直線y=kx+1經過定點C(0,1),如果其把區(qū)域D劃分為面積相等的兩個部分,則直線y=kx+1只要經過AB的中點即可.,由方程組 解得A(1,0). 由方程組 解得B(2,3). 所以AB的中點坐標為 代入直線方程y=kx+1得, 解得 答案:,【互動探究】若把本例題(2)的條件改為 所表示的平面 區(qū)域被直線 分為面積相等的兩部分,則k的值是______.,【解析】由圖可知,平面區(qū)域為△ABC邊界 及內部, 恰過 將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分,故過 BC的中點 答案:,【規(guī)律方法】平面區(qū)域面積問題的解題思路 (1)求平面區(qū)域的面積: ①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題,從而再作出平面區(qū)域; ②對平面區(qū)域進行分析,若為三角形應確定底與高,若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解,若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個三角形分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題,也應作出平面圖形,利用數(shù)形結合的方法去求解.,【變式訓練】(2015·汕頭模擬)已知約束條件 表示面積為1的直角三角形區(qū)域,則實數(shù)k的值為( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,【解析】選A.先作出不等式組 對應的平面區(qū)域,如圖:,要使陰影部分為直角三角形, 當k=0時,此三角形的面積為 所以不成立, 所以k>0,則必有BC⊥AB, 因為x+y-4=0的斜率為-1, 所以直線kx-y=0的斜率為1,即k=1, 故選A.,【加固訓練】(2014·郴州模擬)已知點P(x,y)滿足 則點Q(x+y,y)構成的圖形的面積為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.設點Q(u,v),則x+y=u,y=v, 則點Q(u,v)滿足,在uOv平面內畫出點Q(u,v)所構成的平面區(qū)域如圖, 它是一個平行四邊形,一邊長為1,高為2, 故其面積為2×1=2.故選B.,考點2 簡單的線性規(guī)劃問題 知·考情 線性規(guī)劃問題以其獨特的表達形式成為不等式考查的重要內容,在線性規(guī)劃中,通過最優(yōu)解求最值或求參數(shù)的取值范圍問題是高考的熱點和重點,高考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:已知約束條件求目標函數(shù)的最值 【典例2】(2014·廣東高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解題提示】畫出可行域,標出邊界點,目標函數(shù)對應動直線的斜率為-2.,【規(guī)范解答】選B. 如圖,可行域是以 B(-1,-1),C(2,-1)為頂點的等腰直角三角形, 所以當動直線z=2x+y經過點C(2,-1)時取得最大值3,經過點B(-1,-1)時取得最小值-3,所以m-n=6.,命題角度2:已知目標函數(shù)的最值,求參數(shù)的取值或取值范圍 【典例3】(2014·北京高考)若x,y滿足 且z=y-x 的最小值為-4,則k的值為( ) A.2 B.-2 C. D. 【解題提示】作出可行域,向右下平移l0:y-x=0判斷最小值.,【規(guī)范解答】選D.如圖,作出可行域,向右下平移l0過點A時,z 取 最小值,此時 所以 解得,命題角度3:已知目標函數(shù)的最優(yōu)解的個數(shù)求參數(shù) 【典例4】(2014·安徽高考)x,y滿足約束條件 若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( ),【解題提示】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,要使z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則目標函數(shù)和其中一條直線平行,然后根據(jù)條件即可求出a的值. 【規(guī)范解答】選D.由線性約束條件可得其 圖象如圖所示,由圖象可知直線z=y-ax經 過AB或AC時取得最大值的最優(yōu)解不唯一, 此時a=2或-1.,【一題多解】解答本題,還有以下解法: 選D.畫出可行域,如規(guī)范解答中圖所示,可知點A(0,2),C(2,0), B(-2,-2),則z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2. 要使對應最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組, 只要z(A)=z(B)z(C)或z(A)=z(C)z(B)或z(B)=z(C)z(A), 解得a=-1或a=2.,悟·技法 1.利用可行域求線性目標函數(shù)最值的方法 首先利用約束條件作出可行域,根據(jù)目標函數(shù)找到最優(yōu)解時的點,解得點的坐標代入求解即可. 2.利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的方法 利用約束條件作出可行域,通過分析可行域及目標函數(shù)確定最優(yōu)解的點,再利用已知可解參數(shù)的值或范圍.,3.利用可行域求非線性目標函數(shù)最值的方法 畫出可行域,分析目標函數(shù)的幾何意義是斜率問題還是距離問題,依據(jù)幾何意義可求得最值.,通·一類 1.(2015·天津模擬)設變量x,y滿足約束條件 則目標函數(shù)z=x-2y的最大值為( ),【解析】選B.由約束條件 作出可行域如圖, 由z=x-2y,得 由圖可知,當直線 過可行域內 點A時直線在y軸上的截距最小,z最大. 聯(lián)立 解得 即A(1,0).所以目標函數(shù)z=x-2y的最大值為1-2×0=1. 故選B.,2.(2015·杭州模擬)若x,y滿足約束條件 且z=kx+y取得最小值時的點有無數(shù)個,則k=( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2,【解析】選D.作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖(陰影部分). 由z=kx+y,得y=-kx+z, 若k=0,此時y=z,此時z只在B處取得最小值,不滿足條件.,若k0,則目標函數(shù)的斜率-k0.平移直線y=-kx+z, 由圖象可知當直線y=-kx+z和直線y=2x-2平行時,此時目標函數(shù)取得最小值時最優(yōu)解有無數(shù)多個,此時-k=2,即k=-2. 綜上,k=1或k=-2.故選D.,【解析】選D.作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖: w= 的幾何意義是區(qū)域內的點 P(x,y)到定點A(0,-1)之間的斜率,由圖象 可知當P位于點D(1,0)時, 直線AP的斜率最小,此時 的最小值為 故選D.,4.(2014·浙江高考)當實數(shù)x,y滿足 時,1≤ax+y≤4恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_______.,【解析】作出不等式組 所表示的區(qū)域,由1≤ax+y≤4,由圖可知, a≥0且在(1,0)點取得最小值,在(2,1)點取得最大值,所以a≥1, 2a+1≤4,故a的取值范圍為 答案:,考點3 線性規(guī)劃的實際應用 【典例5】某企業(yè)生產A,B兩種產品,生產每一噸產品所需的勞動力、煤和電如下表:,已知生產每噸A產品的利潤是7萬元,生產每噸B產品的利潤是12萬元,現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問該企業(yè)如何安排生產,才能獲得最大利潤? 【解題提示】題目的設問是“該企業(yè)如何安排生產,才能獲得最大利潤”,這個利潤是由兩種產品的利潤所決定的,因此A,B兩種產品的生產數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤,故可以設出A,B兩種產品的生產數(shù)量,列不等式組并建立目標函數(shù)求解.,【規(guī)范解答】設生產A,B兩種產品分別為x噸,y噸,利潤為z萬元, 依題意,得 目標函數(shù)為z=7x+12y. 作出可行域,如圖中陰影部分. 當直線7x+12y=0向右上方平行移動時,經過M時z取最大值.,解方程組 因此,點M的坐標為(20,24). 所以該企業(yè)生產A,B兩種產品分別為20噸和24噸時,才能獲得最大利潤.,【規(guī)律方法】解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟 (1)分析題意,設出未知量. (2)列出線性約束條件和目標函數(shù). (3)作出可行域并利用數(shù)形結合求解. (4)作答.,【變式訓練】農戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表 為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,則黃瓜和韭菜的種植面積分別是多少畝?,【解析】設種植黃瓜x畝,韭菜y畝, 由題意得 即 設總利潤為z,則z=x+0.9y. 作可行域如圖所示,,由 得A(30,20). 當目標函數(shù)線l向右平移,移至點A(30,20)處時,目標函數(shù)取得最大值,即當黃瓜種植30畝,韭菜種植20畝時,種植總利潤最大. 所以,黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時,一年的種植總利潤最大.,【加固訓練】(2015·江門模擬)甲、乙兩校計劃周末組織學生參加敬老活動,甲校每位同學往返車費是5元,每人可為3位老人服務,乙校每位同學往返車費是3元,每人可為5位老人服務,兩校都有學生參加,甲校參加活動的學生比乙校至少多1人,且兩校同學往返總車費不超過45元.如何安排甲、乙兩校參加活動的人數(shù),才能使受到服務的老人最多?受到服務的老人最多是多少?,【解析】設甲、乙兩校參加活動的人數(shù)分別為x,y, 受到服務的老人的人數(shù)為z=3x+5y, 依題意,x,y應滿足的約束條件為 可行域為圖中陰影部分中的整點,,畫直線l0:3x+5y=0,并向右上方平移l0到l,當l經過可行域的某點,這一點的坐標使目標函數(shù)取最大值. 解方程組 得 M(6,5)滿足約束條件, 因此,當x=6,y=5時,z取最大值, zmax=3×6+5×5=43. 答:甲、乙兩校參加活動的人數(shù)分別為6和5時,受到服務的老人最多,最多為43人.,自我糾錯15 求非線性目標函數(shù)最值問題 【典例】(2015·保定模擬)已知 則x2+y2的最大值為 ___,最小值為___.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:解題過程中誤將求可行域內的點到原點的距離的平方的最值認為是求三點A,B,C到原點的距離的平方的最值.,【規(guī)避策略】 1.準確作圖 在利用可行域求目標函數(shù)的最值時首先要利用約束條件作出可行域,一定要準確,特別是邊界一定要明確是否包含. 2.準確理解目標函數(shù)的幾何意義 在求非線性目標函數(shù)的最值時,一定要準確理解目標函數(shù)的幾何意義,利用其幾何意義結合可行域準確解題.,【自我矯正】不等式組 表示的平面區(qū)域為如圖所示 △ABC的內部(包括邊界),,令z=x2+y2,則z即為點(x,y)到原點的距離的平方. 由 得A點坐標(4,1), 此時z=x2+y2=42+12=17, 由 得B點坐標(-1,-6), 此時z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,,由 得C點坐標(-3,2), 此時z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原點處, 此時z=x2+y2=02+02=0, 所以當 時x2+y2取得最大值37, 當 時x2+y2取得最小值0. 答案:37 0,- 配套講稿:
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