高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12-6 離散型隨機變量的均值與方差課件 新人教A版.ppt

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最新考綱 1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題．,第6講 離散型隨機變量的均值與方差,1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 (1)均值 稱E(X)＝______________________________為隨機變量X的均值或__________，它反映了離散型隨機變量取值的__________．,知 識 梳 理,x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝_________． (2)D(aX＋b)＝_______ (a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝_______． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝________．,平均偏離程度,標準差,aE(X)＋b,a2D(X),p(1－p),np(1－p),1．判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān)． ( ) (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定． ( ) (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越?。? ( ) (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事． ( ),診 斷 自 測,×,√,√,×,2．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為 ( ) A.5 B．6 C．7 D．8 解析 由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4. ∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7. 答案 C,3．(2014·陜西卷)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1，2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為 ( ) A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a 解析 將每個數(shù)據(jù)都加上a后均值也增加a，方差不變，故選A. 答案 A,A．5 B．8 C．10 D．16 答案 B,5．(人教A選修2－3P69B1改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為________．,考點一 離散型隨機變量的均值與方差 【例1】 (2013·浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量X為取出此2球所得分數(shù)之和，求X的分布列；,所以X的分布列為,(2)由題意知Y的分布列為,規(guī)律方法 (1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算．(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機變量X的均值為E(X)，則對應(yīng)隨機變量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．,【訓(xùn)練1】 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解 (1)X的分布列為,考點二 與二項分布有關(guān)的均值、方差,(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？,(2)法一 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)．,法二 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：,規(guī)律方法 求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．,【訓(xùn)練2】 (2014·遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)． 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此,P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.,分布列為 因為X～B(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.,考點三 均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 (2014·湖北卷)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；,(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？,(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機的情形． 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1， 對應(yīng)的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40X80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.,③安裝3臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機 2臺．,規(guī)律方法 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．,【訓(xùn)練3】 某投資公司在2015年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：,針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由． 解 若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元．則X1的分布列為,若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元， 則X2的分布列為：,所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)， 這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥． 綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資．,微型專題 概率的創(chuàng)新題型 近年來，概率統(tǒng)計已成為高考的重點、熱點．注意考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)，提取信息，解決實際問題的應(yīng)用能力．它可以與其他知識相互融合，形成一些背景、樣式新穎的題型．,【例4】 (2013·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生．,(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i＝1，2，3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)． 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分),乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 當(dāng)n＝2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率(用分數(shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；,(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 點撥 (1)運行程序框圖，分別數(shù)出輸出y的值為1，2，3的數(shù)的個數(shù)，即事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型公式求解． (2)利用已知條件中頻數(shù)統(tǒng)計表得出各小組頻數(shù)，利用頻率公式得頻率，再與(1)的結(jié)論比較，得出結(jié)論．,(2)當(dāng)n＝2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率如下：,比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．,故X的分布列為,點評 (1)本題將程序框圖，古典概型，獨立重復(fù)試驗及隨機變量分布列結(jié)合起來考查，具有一定的綜合性，同時形式也比較新穎．(2)本題注重考查學(xué)生的識圖，用圖能力，數(shù)據(jù)處理能力，分析問題解決問題的能力等基本能力.,[思想方法] 1．掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便： (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)， D(aX＋b)＝a2D(X)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．基本方法 (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；,(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標準差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． [易錯防范] 1．在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式． 2．對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．,