高考數(shù)學一輪復習 3-2 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 理.ppt

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第2講 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,考試要求 1.函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，A級要求；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)，B級要求；3.函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，A級要求；4.利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)，B級要求．,知 識 梳 理 1．函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系 函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則 (1)若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi) ． (2)若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi) ． (3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是 ．,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常數(shù)函數(shù),2．函數(shù)的極值與導數(shù),f′(x)0,f′(x)0,f′(x)0,f′(x)0,3. 函數(shù)的最值與導數(shù) (1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件 如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條 的曲線，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟 ①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的 ． ②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與 比較，其中最大的一個是最大值， 的一個是最小值．,連續(xù)不斷,極值,端點處的函數(shù)值f(a)，f(b),最小,診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號中打“√”或“×”) (1)f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充要條件． ( ) (2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大． ( ) (3)對可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件． ( ) (4)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值． ( ),×,√,×,√,2.(2015·北京海淀區(qū)模擬)函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 答案 (0,1),3．(蘇教版選修2－2P34T8(2)改編)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是________． 解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ∴f(x)在[－1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1]上是減函數(shù)． ∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2. 答案 2,4．如圖是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為________． 解析 由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其左右兩側導數(shù)符號左負右正． 答案 1,5．(2014·新課標全國Ⅱ卷改編)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________． 答案 [1，＋∞),考點一 利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【例1】 已知f(x)＝ln x－ax. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的范圍．,規(guī)律方法 (1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．,考點二 利用導數(shù)求函數(shù)的極值 【例2】 (2013·重慶卷)設f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)． (1)確定a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．,規(guī)律方法 利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟：(1)確定定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)①若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢驗f′(x)在方程根左右側值的符號，求出極值(當根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi))；②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況，從而求解．,【訓練2】 設函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)． (1)當a＝1，且函數(shù)圖象過(0,1)時，求函數(shù)的極小值； (2)若f(x)在R上無極值點，求a的取值范圍．,規(guī)律方法 (1)不含參數(shù)求f(x)在[a，b]上的最值時，只需把f(x)的極值與端點函數(shù)值進行比較．其中最大的是最大值，最小的是最小值．(2)含參數(shù)時，應注意討論f(x)在相應區(qū)間上的單調(diào)性，進而求最值．,【訓練3】 已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 解 (1)由題意知f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. 當x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下： 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．,(2)當k－1≤0，即k≤1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k； 當0＜k－1＜1，即1＜k＜2時， f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1； 當k－1≥1，即k≥2時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. 綜上，當k≤1時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)＝－k； 當1＜k＜2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1； 當k≥2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.,[思想方法] 1．最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系 (1)“最值”是整體概念，是比較整個定義域或區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性． (2)從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的，而極值不唯一． (3)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能一個也沒有．,2．求極值、最值時，要求步驟規(guī)范；含參數(shù)時，要按一定標準討論參數(shù)． 3．在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較．,[易錯防范] 1．注意定義域優(yōu)先的原則，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行． 2．求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論． 3．解題時要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.,