高考數學一輪復習 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法課件 文.ppt

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第七章 不等式,§7.2 一元二次不等式及其解法,,,內容索引,,,,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎知識 自主學習,1.“三個二次”的關系,,知識梳理,1,?,?,,答案,2.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法,,{x|axb},口訣：大于取兩邊，小于取中間.,{x|x≠a},{x|xa},?,,,答案,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c0.( ) (2)不等式 ≤0的解集是[－1,2].( ) (3)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.( ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根，則不等式ax2＋bx＋c0的解集為R.( ) (5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.( ),√,×,√,×,×,思考辨析,,答案,返回,1.不等式x2－3x－100的解集是________________________.,解析 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5， 由y＝x2－3x－10的開口向上， 所以x2－3x－100的解集為(－∞，－2)∪(5，＋∞).,(－∞，－2)∪(5，＋∞),,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.設集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，則M∩N＝________. 解析 ∵M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}， ∴M∩N＝[0,4).,[0,4),,解析答案,1,2,3,4,5,解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即為x2－5x＋60，解集為(2,3).,(2,3),,解析答案,1,2,3,4,5,4.若關于x的不等式m(x－1)x2－x的解集為{x|1x2－x的解集為{x|1x2}. 所以1,2一定是m(x－1)＝x2－x的解，∴m＝2.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,5.若關于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一負根，則a的取值范圍為________. 解析 由題意可知，Δ0且x1x2＝a2－10，故－1a1.,(－1,1),,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,命題點1 不含參的不等式,例1 求不等式－2x2＋x＋30， 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，,,,題型一 一元二次不等式的求解,,解析答案,命題點2 含參不等式 例2 解關于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a1時，x2－(a＋1)x＋a0的解集為{x|1xa}， ②當a＝1時，x2－(a＋1)x＋a0的解集為?， ③當a1時，x2－(a＋1)x＋a0的解集為{x|ax1}.,,解析答案,將原不等式改為ax2－(a＋1)x＋10，求不等式的解集.,,解析答案,引申探究,思維升華,解 若a＝0，原不等式等價于－x＋11.,,解析答案,思維升華,,思維升華,思維升華,,含有參數的不等式的求解，往往需要對參數進行分類討論. (1)若二次項系數為常數，首先確定二次項系數是否為正數，再考慮分解因式，對參數進行分類討論，若不易分解因式，則可依據判別式符號進行分類討論； (2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數不為零的情形，以便確定解集的形式； (3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集.,求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集.,跟蹤訓練1,,解析答案,解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，,②a＝0時，x2＞0，解集為{x|x∈R且x≠0}；,,解析答案,綜上所述，當a＞0時，不等式的解集為,當a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；,命題點1 在R上恒成立,(－3,0),,,題型二 一元二次不等式恒成立問題,,解析答案,(2)設a為常數，?x∈R，ax2＋ax＋10，則a的取值范圍是________.,解析 ?x∈R，ax2＋ax＋10，,[0,4),,解析答案,命題點2 在給定區(qū)間上恒成立,例4 設函數f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范圍.,,解析答案,解 要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即,有以下兩種方法：,,解析答案,當m0時，g(x)在[1,3]上是增函數， 所以g(x)max＝g(3)?7m－60，,當m＝0時，－60恒成立； 當m0時，g(x)在[1,3]上是減函數， 所以g(x)max＝g(1)?m－60，所以m6，所以m0.,,解析答案,命題點3 給定參數范圍的恒成立問題,例5 對任意的k∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，則x的取值范圍是___________ . 解析 x2＋(k－4)x＋4－2k0恒成立， 即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)0， 在k∈[－1,1]時恒成立.,{x|x3},解之得x3.,,解析答案,思維升華,思維升華,,(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉化為求二次函數的最值或用分離參數法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數.,(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為__________.,解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4， 所以x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數x恒成立， 只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.,[－1,4],跟蹤訓練2,,解析答案,(2)已知函數f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，則實數m的取值范圍是________.,解析 作出二次函數f(x)的草圖，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，,,解析答案,(1)設該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數關系式y＝f(x)，并寫出定義域；,例6 某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件.若售價降低x成(1成＝10%)，售出商品數量就增加 x成.要求售價不能低于成本價.,所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定義域為x∈[0,2].,,,題型三 一元二次不等式的應用,,解析答案,(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍.,解 由題意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，,,解析答案,思維升華,思維升華,,求解不等式應用題的四個步驟 (1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系. (2)引進數學符號，將文字信息轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數學模型. (3)解不等式，得出數學結論，要注意數學模型中自變量的實際意義. (4)回歸實際問題，將數學結論還原為實際問題的結果.,某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量.,(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；,解 y＝[(1＋0.75x)×12－(1＋x)×10]×(1＋0.6x)×10 000 ＝－6 000x2＋2 000x＋20 000， 即y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0x1).,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？ 解 上年利潤為(12－10)×10 000＝20 000. ∴y－20 0000，即－6 000x2＋2 000x0，,,解析答案,返回,,思想與方法系列,,典例 (1)已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)c的解集為(m，m＋6)，則實數c的值為________.,思維點撥 考慮“三個二次”間的關系；,,思想與方法系列,14.轉化與化歸思想在不等式中的應用,,解析答案,思維點撥,∵f(x)的值域為[0，＋∞)，,解析 由題意知f(x)＝x2＋ax＋b,,解析答案,答案 9,思維點撥 將恒成立問題轉化為最值問題求解.,,溫馨提醒,解析答案,返回,思維點撥,即當x≥1時，a－(x2＋2x)＝g(x)恒成立. 而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調遞減， ∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a－3. ∴實數a的取值范圍是{a|a－3}. 答案 {a|a－3},,溫馨提醒,溫馨提醒,,(1)本題的解法充分體現了轉化與化歸思想：函數的值域和不等式的解集轉化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數，轉化為函數值域問題. (2)注意函數f(x)的值域為[0，＋∞)與f(x)≥0的區(qū)別.,,返回,,思想方法 感悟提高,1.“三個二次”的關系是解一元二次不等式的理論基礎，一般可把a0時的情形. 2.f(x)0的解集即為函數y＝f(x)的圖象在x軸上方的點的橫坐標的集合，充分利用數形結合思想. 3.簡單的分式不等式可以等價轉化，利用一元二次不等式解法進行求解.,方法與技巧,1.對于不等式ax2＋bx＋c0，求解時不要忘記討論a＝0時的情形. 2.當Δ0 (a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別. 3.含參數的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集為____________. 解析 由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0， 所以不等式的解集為{x|1≤x≤2}.,{x|1≤x≤2},,解析答案,解析 方法一 當x≤0時，x＋2≥x2， ∴－1≤x≤0；① 當x0時，－x＋2≥x2，∴0x≤1.② 由①②得原不等式的解集為{x|－1≤x≤1}. 方法二 作出函數y＝f(x)和函數y＝x2的圖象，如圖，由圖知f(x)≥x2的解集為[－1,1].,[－1,1],,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝?，則實數a的取值范圍是____________. 解析 由題意知a＝0時，滿足條件.,得0a≤4，所以0≤a≤4.,[0,4],,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.已知不等式x2－2x－30的解集是A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b＝________. 解析 由題意，A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}， A∩B＝{x|－1x2}， 則不等式x2＋ax＋b0的解集為{x|－1x2}. 由根與系數的關系可知，a＝－1，b＝－2， 所以a＋b＝－3.,－3,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.設a0，不等式－cax＋bc的解集是{x|－2x1}，則a∶b∶c＝________.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 ∵－c0，,∵不等式的解集為{x|－2x1}，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 2∶1∶3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則a的值為__________．,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解， 則x2－2ax＋a＝－1有兩個相等的實根，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,－2,解析 ∵f(x＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)－1.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，函數F(x)＝f(x)－x的兩個零點為m，n(m0的解集； 解 由題意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n). 當m＝－1，n＝2時，不等式F(x)0， 即a(x＋1)(x－2)0. 當a0時，不等式F(x)0的解集為{x|x2}； 當a0的解集為{x|－1x2}.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，,∴x－m0. ∴f(x)－m0，即f(x)m.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)0的解集是(－1,3)，則不等式f(－2x)3或－2x－1，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.若關于x的不等式x2－2ax－8a20)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.,解析 由x2－2ax－8a20， 所以不等式的解集為(－2a,4a)， 即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，,13.已知函數f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實數x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，當x∈[－1,1]時，f(x)0恒成立，則b的取值范圍是_____________. 解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)圖象的對稱軸為直線x＝1，,由f(x)的圖象可知f(x)在[－1,1]上為增函數. ∴x∈[－1,1]時，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， 令b2－b－20，解得b2.,b2,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a0，|a|≤1恒成立的x的取值范圍． 解 將原不等式整理為形式上是關于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋90. 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因為f(a)0在|a|≤1時恒成立，所以 (1)若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應舍去． (2)若x≠3，則由一次函數的單調性，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以x的取值范圍是{x|x4}．,返回,