高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件.ppt
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第五章 數(shù) 列,第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,,1.理解等差數(shù)列的概念. 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.,[要點梳理] 1.等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示. 2.等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是an=a1+(n-1)d.,,,,,,,,,,,4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am+_________,(n,m∈N+). (2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N+),則_______________.,(n-m)d,ak+al=am+,(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為___. (4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列. (5)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為___的等差數(shù)列.,2d,md,7.等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中,a10,d0,則Sn存在最___值. 質(zhì)疑探究:等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的推導(dǎo)分別用了什么方法? 提示:前者用的是疊加法,后者用的是倒序相加法.,大,小,[基礎(chǔ)自測] 1.給出下列命題: ①若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列. ②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. ③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的. ④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).,⑤等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù). 其中正確的命題是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤ [解析] ①錯誤.若這些常數(shù)都相等,則這個數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個數(shù)列就不是等差數(shù)列. ②正確.如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列.,③正確.當(dāng)d0時為遞增數(shù)列;d=0時為常數(shù)列;d0時為遞減數(shù)列. ④錯誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當(dāng)d≠0時,等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù),否則不是.,[答案] B,2.(2015·海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}中,a2=3,a3+a4=9,則a1a6的值為( ) A.14 B.18 C.2 D.27 [答案] A,3.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176 [答案] B,4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,則k=________.,[答案] 3,考向一 等差數(shù)列基本量的計算 例1 (1)(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2,,(2)(2015·石家莊市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,則n的值為( ) A.8 B.9 C.10 D.11 思路點撥 在等差數(shù)列{an}的an,Sn,a1,d,n的五個量中,知其三,求其二.,互動探究 本例(1)中,已知條件不變,則Sn=________.,[答案] -n2+11n,拓展提高 ①此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程(組),進而可求其它問題. ②結(jié)合性質(zhì)求解,可簡化計算. 活學(xué)活用1 (1)(2015·荊州市調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項,且S10=60,則S20=( ) A.80 B.160 C.320 D.640,[答案] C,(2)(2015·鄭州市質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前7項和等于前2項和,若a1=1,ak+a4=0,則k=________.,[答案] 6,思路點撥 由題設(shè)條件構(gòu)造(an+1-an)-(an-an-1)的值,并累加求和.,拓展提高 等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個常數(shù). (2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (3)通項公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.,(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法,而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,考向三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例3 (1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 (2)(2015·武漢市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項和為Sn,則使得Sn達到最大的n是( ) A.18 B.19 C.20 D.21,[解析] (1)由題意,得a1+2d+a1+4d=2a1+6d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.故 選B. (2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時,n=20.,(3),[答案] (1)B (2)C (3)D (4)5,拓展提高 利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略:,思想方法12 函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項和的最值中的應(yīng)用 典例 在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 審題視角 由a1=20及S10=S15可求得d,進而求得通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正,或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的方法求解.,,方法點睛 求等差數(shù)列前n項和的最值,常用的方法:①利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項;②利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;③將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.,即時突破 已知等差數(shù)列{an}的首項a1=20,公差d=-2,則前n項和Sn的最大值為________.,[答案] 110,[思維升華] 【方法與技巧】,1.等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)等差中項法:2an+1=an+an+2 (n∈N+)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.,2.方程思想和化歸思想:在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過建立方程(組)獲得解. 3.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時,可設(shè)三個數(shù)為(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a+d,a+3d等,可視具體情況而定.,【失誤與防范】,1.當(dāng)公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù),當(dāng)公差d=0時,an為常數(shù). 2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第二項起成等差數(shù)列.,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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