高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)的四則運算課件 蘇教版選修2-2.ppt

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3.2 復(fù)數(shù)的四則運算,第 3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入,1.掌握兩個復(fù)數(shù)相加減的法則，會正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運算. 2.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念及其簡單的性質(zhì). 3.掌握兩個復(fù)數(shù)相乘除的法則，能熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)乘方的運算.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算 1.復(fù)數(shù)的加減法法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di， 則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac)＋(bd)i， 即兩個復(fù)數(shù)相加(減)，只需要把它們的實部與實部、虛部與虛部分別相加(減). 2.復(fù)數(shù)的加法的運算律 依復(fù)數(shù)加法法則，容易驗證：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律. 即對于任意的復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).,,思考 (1)兩個復(fù)數(shù)的和是個什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？ 答案 是復(fù)數(shù)，唯一確定. (2)若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2＞0，能否認(rèn)為z1＞z2? 答案 不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.,答案,知識點二 復(fù)數(shù)的乘法 1.復(fù)數(shù)的乘法法則 (a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2 ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.復(fù)數(shù)乘法的運算律 對任意的z1，z2，z3∈C，有 (1)z1z2＝z2z1； (2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.,3.復(fù)數(shù)的乘方 設(shè)z1，z2∈C，m，n∈N*，則 (1)zmzn＝zm＋n； (2)(zm)n＝zmn； (3)(z1z2)n＝ . 其中，應(yīng)注意特別的重要結(jié)論： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 思考 寫出下列各題的計算結(jié)果. (1)(ab)2＝___________； (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝________； (3)(3a＋2b)(－a－3b)＝________________.,,答案,a22ab＋b2,9a2－4b2,－3a2－11ab－6b2,,思考 判斷. (1)兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.( ) (2)若z1，z2∈C，且 ＝0，則z1＝z2＝0.( ) (3)兩個共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù).( ) (4)在復(fù)平面內(nèi)，兩個共軛復(fù)數(shù)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱.( ),答案,,,√,√,知識點四 復(fù)數(shù)的除法 利用共軛復(fù)數(shù)的乘積為實數(shù)這一性質(zhì)，對分母實數(shù)化，即得復(fù)數(shù)除法法則：,其中c＋di≠0. 這一公式不必背記，只需理解其分母實數(shù)化的思想方法就可以了.,,思考 寫出下列各題的計算結(jié)果.,－i,i,－i,答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 復(fù)數(shù)加減法的運算 例1 計算： (1)(3＋4i)－(4＋3i)； 解 原式＝(3－4)＋(4－3)i＝－1＋i. (2)(5－6i)＋(－1＋2i)－(3－4i). 解 原式＝(5－6i)＋(－1＋2i)＋(－3＋4i) ＝(5－1－3)＋(－6＋2＋4)i ＝1＋0i ＝1.,反思與感悟,,反思與感悟,當(dāng)多個復(fù)數(shù)進(jìn)行加減時，既可以直接按加減法的法則進(jìn)行運算，也可以先化減為加，然后分別求其實部、虛部的代數(shù)和.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 計算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i). 解 方法一 原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i. 方法二 (1－2i)－(2－3i)＝－1＋i， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…， (2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i. 將上列1 006個式子累加可得 原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.,,解析答案,題型二 復(fù)數(shù)乘除法的運算 例2 計算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. 反思與感悟 (1)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等. (2)像3＋4i和3－4i這樣的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，其形態(tài)特征為a＋bi和a－bi，其數(shù)值特征為(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 計算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； 解 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i； (2)(3＋4i)(3－4i)； 解 (3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2. 解 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.,,解析答案,例3 計算：(1)(1＋2i)(3－4i)；,反思與感悟,,反思與感悟,復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分母實數(shù)化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時乘以i).,,解析答案,,解析答案,題型三 共軛復(fù)數(shù)及應(yīng)用,所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，即3a－bi＝6－i.,故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.,反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,即(z＋1)(z＋1－3i)＝0， ∴z＝－1或z＝－1＋3i.,復(fù)數(shù)的運算在復(fù)數(shù)開平方運算和分解因式中有廣泛應(yīng)用，下面通過具體的實例加以說明. 1.求復(fù)數(shù)的平方根 復(fù)數(shù)z＝a＋bi開平方，只要令其平方根為x＋yi，利用平方根的定義，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求出未知量，從而得到復(fù)數(shù)z的平方根.,知識拓展,復(fù)數(shù)運算的應(yīng)用,,解析答案,例5 求8－6i的平方根. 解 設(shè)8－6i的平方根為x＋yi(x，y∈R)， 則(x＋yi)2＝8－6i， 即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i，,則8－6i的平方根為3－i或－3＋i.,2.分解因式 由于a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，則很多在實數(shù)集內(nèi)不能分解的因式在復(fù)數(shù)集內(nèi)可分解因式. 例6 分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2； 解 x2＋2xy＋y2＋z2＝(x＋y)2＋z2 ＝(x＋y＋zi)(x＋y－zi)； (2)x4－81. 解 x4－81＝(x2＋9)(x2－9) ＝(x＋3i)(x－3i)(x＋3)(x－3).,,解析答案,返回,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.若復(fù)數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝______. 解析 據(jù)題意，得z＝3－i－(i－3)＝6－2i.,6－2i,,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝_______.,解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)為純虛數(shù)，,－1,,1,2,3,4,5,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,∴虛部為1.,1,,解析答案,1,2,3,4,5,＝－1＋10＋i＋i＝9＋2i.,,課堂小結(jié),,返回,1.做復(fù)數(shù)的除法，通常先將除法轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的分式形式，然后將分式的分母實數(shù)化. 2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi與其共軛復(fù)數(shù)有如下常用的性質(zhì)：,