高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例課件 理.ppt

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第 8 講,解三角形應(yīng)用舉例,1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形,度量問題．,2．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與,測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．,1．解三角形的常見類型及解法,在三角形的 6 個(gè)元素中要已知三個(gè)(除三個(gè)角外)才能求解，,常見類型及其解法如下表所示：,（續(xù)表）,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型,測(cè)量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航,海問題、物理問題等． 3．實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角：,與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾 角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下 方叫俯角[如圖 3-8-1(1)]．,圖 3-8-1,(2)方向角：,相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東 30，北偏西 45等． (3)方位角：,指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 B 點(diǎn)的,方位角為α[如圖 3-8-1(2)]．,(4)坡度：,坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．,1．在某次測(cè)量中，在 A 處測(cè)得同一方向的點(diǎn) B 的仰角為,),D,60，點(diǎn) C 的俯角為 70，則∠BAC＝( A．10 B．50 C．120 D．130,2．如圖 3-8-2，某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸 邊選取兩點(diǎn) A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn) C，測(cè)得∠CAB＝75,∠CBA,＝45，且 AB＝200 m．則 A，C 兩點(diǎn)的距離為( 圖 3-8-2,),A,圖 D12,答案：D,4．一船向正北航行，看見正西方向有相距 10 海里的兩個(gè) 燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔 在船的南偏西 60，另一燈塔在船的南偏西 75,則這艘船的速,圖 D13,度是(,),C,考點(diǎn) 1,測(cè)量距離問題,例 1：(2014 年四川)如圖 3-8-3，從氣球 A 上測(cè)得正前方的 河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30,此時(shí)氣球的高是 60 m，,則河流的寬度 BC＝(,),圖 3-8-3,答案：C,【規(guī)律方法】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在,有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.,(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué),模型的解.,【互動(dòng)探究】 1.在相距2 km 的A，B 兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)C，若∠CAB＝75，,∠CBA＝60，則 A，C 兩點(diǎn)之間的距離為__________km.,考點(diǎn)2,測(cè)量高度問題,例 2：(2014 年新課標(biāo)Ⅰ)如圖3-8-4,為測(cè)量山高 MN,選擇點(diǎn) A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角 為∠MAN＝60,點(diǎn)C的仰角為∠CAB＝45,以及∠MAC＝75; 從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m,則山高M(jìn)N＝___m. 圖 3-8-4,答案：150,【規(guī)律方法】(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念. (2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個(gè)三角,形內(nèi)運(yùn)用正弦、余弦定理.,【互動(dòng)探究】 2．為測(cè)量某塔 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20 m 的樓 頂 D 處測(cè)得塔頂 A 的仰角為 30，測(cè)得塔基 B 的俯角為 45，,那么塔 AB 的高度是(,),答案：A,考點(diǎn) 3,測(cè)量角度問題,例 3：如圖 3-8-5，漁船甲位于島嶼 A 的南偏西 60方向的 B 處，且與島嶼 A 相距 12 海里，漁船乙 以 10 海里/時(shí)的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正 北方向航行．若漁船甲同時(shí)從 B 處出發(fā) 沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用 2 小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度；,(2)求 sinα的值．,圖 3-8-5,,解：(1)依題意，得∠BAC＝120，AB＝12，AC＝102＝ 20(海里)，∠BCA＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC ＝122＋202－21220cos120＝784.,解得 BC＝28.故漁船甲的速度為,BC 2,＝14(海里/時(shí))．,答：漁船甲的速度為 14 海里/時(shí)．,【規(guī)律方法】關(guān)于角度的問題同樣需要在三角形中進(jìn)行， 同時(shí)要理解實(shí)際問題中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、 方位角、坡度等.,(2)在△ABC 中，AB＝12，∠BAC＝120，BC＝28, ∠BCA＝α，,【互動(dòng)探究】 3．兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站北偏東 40，燈塔B在觀察站南偏東 60，則燈塔A在,燈塔 B 的(,),B,A．北偏東 10 B．北偏西 10 C．南偏東 10 D．南偏西 10,●難點(diǎn)突破●,⊙三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用,例題：(2014 年新課標(biāo)Ⅱ)四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補(bǔ)，,AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.,(1)求角 C 和 BD；,(2)求四邊形 ABCD 的面積．,BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcosC＝13－12cosC， ① BD2＝AB2＋DA2－2ABDAcosA＝5＋4cosC. ②,解：(1)由題設(shè)及余弦定理，得,【規(guī)律方法】本題與某年北京高考題幾乎完全相同，請(qǐng)思 考已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的邊長分別為 AB＝2，BC＝6，CD ＝DA＝4，求四邊形 ABCD 的面積． 解：如圖 3-8-6，連接 BD，則有四邊形 ABCD 的面積,由余弦定理， 在ABD 中，,BD2＝AB2＋AD2－2ABADcosA,＝22＋42－224cosA＝20－16cosA.,在CDB 中，BD2＝CB2＋CD2－2CBCDcosC,＝62＋42－264cosC＝52－48cosC. ∴20－16cosA＝52－48cosC.,