2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2.1《復(fù)數(shù)的運(yùn)算-復(fù)數(shù)的加法與減法》教案（1） 新人教版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2.1《復(fù)數(shù)的運(yùn)算-復(fù)數(shù)的加法與減法》教案（1） 新人教版選修2-2 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：掌握復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及意義 過程與方法：理解并掌握實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律，了解復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義 情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念；畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量的對應(yīng)關(guān)系． 教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的運(yùn)算率，復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義。 教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀 。 教學(xué)設(shè)想：復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)是一一對應(yīng)關(guān)系這是因?yàn)閷τ谌魏我粋€復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，由復(fù)數(shù)相等的定義可知，可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)惟一確定. 教學(xué)過程： 學(xué)生探究過程： 1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即　; (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立 2. 與－1的關(guān)系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－ 3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*　 3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 4. 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實(shí)數(shù)0. 5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC. 6. 兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小　只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時才不能比較大小　 7. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸： 點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸 實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 對于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù) 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 這是因?yàn)?，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng). 這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法 8.若，，則 9. 若，，則， 兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差 10. 若，，則 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) 即　=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1) 講解新課： 一．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算 １．復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1. 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律. 4. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 證明：設(shè)z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］ =(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律 講解范例： 例1計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2計(jì)算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－xx+xxi)+(xx－xxi) 解法一：原式=(1－2+3－4+…－xx+xx)+(－2+3－4+5+…+xx－xxi)=(xx－1001)+(1001－xx)i=1002－1003i. 解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， …… (xx－xxi)+(－xx+xx)i=－1+i. 相加得(共有1001個式子)： 原式=1001(－1+i)+(xx－xxi) =(xx－1001)+(1001－xx)i=1002－1003i 二.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義 復(fù)數(shù)的加(減)法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加(減). １．復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量 2. 復(fù)數(shù)平面向量 3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義： 設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量為、，即、的坐標(biāo)形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應(yīng)的向量是， ∴= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i 4. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量就與復(fù)數(shù)z－z1的差(a－c)+(b－d)i對應(yīng)由于，所以，兩個復(fù)數(shù)的差z－z1與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng). 例3已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，求對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，z在平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？ 解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i， ∵z的實(shí)部a=－1＜0，虛部b=1＞0， ∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi). 點(diǎn)評：任何向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個向量的終點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.　即所表示的復(fù)數(shù)是zB－zA.　，而所表示的復(fù)數(shù)是zA－zB，故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯盡管向量的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長度有關(guān)，而與位置無關(guān) 例4　復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是一個正方形的三個頂點(diǎn)，求這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù). 分析一：利用，求點(diǎn)D的對應(yīng)復(fù)數(shù). 例2圖 解法一：設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2、z3所對應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C，正方形的第四個頂點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x，y∈R)，是： =(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; =(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. ∵，即(x－1)+(y－2)i=1－3i， ∴解得 故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i. 分析二：利用原點(diǎn)O正好是正方形ABCD的中心來解. 解法二：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以原點(diǎn)O為正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1. 故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i. 點(diǎn)評：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 鞏固練習(xí)： 1.已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+2i,則復(fù)數(shù)z=z2－z1在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于 A.第一象限 B.第二象限　　　C.第三象限 D.第四象限 2.在復(fù)平面上復(fù)數(shù)－3－2i,－4+5i,2+i所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C，則平行四邊形ABCD的對角線BD所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 A.5－9i B.－5－3i　　　C.7－11i D.－7+11i 3.已知復(fù)平面上△AOB的頂點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,其重心G所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,則以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長為 A.3 B.2 C.2 D. 4.復(fù)平面上三點(diǎn)A、B、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i,5+2i,則由A、B、C所構(gòu)成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形　　C.銳角三角形 D.鈍角三角形 5.一個實(shí)數(shù)與一個虛數(shù)的差（ ） A.不可能是純虛數(shù) B.可能是實(shí)數(shù) C.不可能是實(shí)數(shù) D.無法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù) 6.計(jì)算(－=____. 7.計(jì)算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 8.計(jì)算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(xx－xxi). 9.已知復(fù)數(shù)z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分別對應(yīng)向量、（O為原點(diǎn)），若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值. 解：對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2－z1，則 z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i ∵z2－z1是純虛數(shù) ∴ 解得a=－1. 10．已知復(fù)平面上正方形的三個頂點(diǎn)是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四個頂點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù). 解：設(shè)D（x,y),則 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵ ∴(x－1)+(y－2)i=1－3i ∴,解得 ∴D點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i。 答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.－2i 7.(y－x)+5(y－x)i 8.解：原式=(1－2+3－4+…+xx－xx）+(－2+3－4+…－xx+xx)i =－1001+1001i 課后作業(yè)：課本第112頁 習(xí)題3.2 1 , 2 , 3 教學(xué)反思： 如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小　只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時才不能比較大小　 復(fù)數(shù)的加法法則：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R). 復(fù)數(shù)的加法，可模仿多項(xiàng)式的加法法則計(jì)算，不必死記公式。 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)z1，z2分別對應(yīng)于向量、，那么，以O(shè)P1、OP2為兩邊作平行四邊形OP1SP2，對角線OS表示的向量就是z1+z2的和所對應(yīng)的向量 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差z－z1與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng). 來源：