高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時變化率——導數(shù)（二）課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.1.2 瞬時變化率——導數(shù)(二),第 1章 1.1 導數(shù)的概念,1.理解曲線的切線的含義. 2.理解導數(shù)的幾何意義. 3.會求曲線在某點處的切線方程. 4.理解導函數(shù)的定義，會用定義法求簡單函數(shù)的導函數(shù).,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 曲線的切線 如圖所示，當點Pn沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的 . (1)曲線y＝f(x)在某點處的切線與該點的位置有關(guān)； (2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點， 可以有多個，甚至可以有無窮多個. 思考 有同學認為曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的 切線l與曲線y＝f(x)只有一個交點，你認為正確嗎？ 答案 不正確.曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線l與 曲線y＝f(x)的交點個數(shù)不一定只有一個，如圖所示.,,答案,切線,,知識點二 導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的 . 思考 (1)曲線的割線與切線有什么關(guān)系？ 答案 曲線的切線是由割線繞一點轉(zhuǎn)動，當割線與曲線的另一交點無限接近這一點時趨于的直線.曲線的切線并不一定與曲線有一個交點. (2)曲線在某點處的切線與在該點處的導數(shù)有何關(guān)系？ 答案 函數(shù)f(x)在x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)f(x)表示的曲線必有切線，且在該點處的導數(shù)就是該切線的斜率. 函數(shù)f(x)表示的曲線在點(x0，f(x0))處有切線，但函數(shù)f(x)在該點處不一定可導，如f(x)＝ 在x＝0處有切線，但不可導.,斜率,答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 求曲線的切線方程 1.求曲線在某點處的切線方程 例1 求曲線y＝f(x)＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程. 解 因為點(1,3)在曲線上，且f(x)在x＝1處可導，,＝(Δx)2＋3Δx＋2， 當Δx→0時，(Δx)2＋3Δx＋2→2，故f′(1)＝2. 故所求切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若求曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線方程，其切線只有一條，點P(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，且是切點，其切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).,,解析答案,跟蹤訓練1 (1)曲線f(x)＝ x3－x2＋5在x＝1處切線的傾斜角為______.,解析 設(shè)切線的傾斜角為α，,由導數(shù)幾何意義得tan α＝－1.,,解析答案,(2)曲線y＝f(x)＝x3在點P處切線斜率為3，則點P的坐標為_______________.,∴點P的坐標是(1,1)或(－1，－1).,(－1，－1)或(1,1),,解析答案,2.求曲線過某點的切線方程 例2 求過點(－1，－2)且與曲線y＝2x－x3相切的直線方程.,反思與感悟,,＝2－3x2－3xΔx－(Δx)2，,當Δx→0時，其值趨近于2－3x2.,又∵切線過點(－1，－2)，,解析答案,反思與感悟,,當切點為(0,0)時，切線斜率為2，切線方程為y＝2x；,即19x＋4y＋27＝0. 綜上可知，過點(－1，－2)且與曲線相切的直線方程為y＝2x或19x＋4y＋27＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若題中所給點(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點坐標，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.,,解析答案,跟蹤訓練2 求過點P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.,,當Δx→0時，其值趨近于2x. 設(shè)所求切線的切點為A(x0，y0). ∵點A在曲線y＝x2上，,又∵A是切點，∴過點A的切線的斜率,,解析答案,∵所求切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點，,解得x0＝1或x0＝5.,從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25). 當切點為(1,1)時，切線的斜率為k1＝2x0＝2； 當切點為(5,25)時，切線的斜率為k2＝2x0＝10. ∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.,,解析答案,題型二 求導函數(shù),解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x),反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數(shù)f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1). 解 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－1－(x2－1) ＝2Δxx＋(Δx)2，,故當Δx→0時，其值趨近于2x. 得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.,,解析答案,題型三 導數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值. 解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，,由題意知f′(x)最小值是－12，,反思與感悟,,反思與感悟,與導數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學知識解題.,,解析答案,跟蹤訓練4 (1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，則k1，k2，k3之間的大小關(guān)系為__________.(請用“＞”連接),解析 結(jié)合導數(shù)的幾何意義知， k1就是曲線在點A處切線的斜率， k2則為在點B處切線的斜率， 而k3則為割線AB的斜率， 由圖易知它們的大小關(guān)系.,k1＞k3＞k2,,解析答案,故交點坐標為(1,1).,曲線y＝x2在點(1,1)處切線方程為l2：2x－y－1＝0.,,易錯易混,因?qū)Α霸谀滁c處”“過某點”分不清致誤,例5 已知曲線y＝f(x)＝x3上一點Q(1,1)，求過點Q的切線方程.,解析答案,返回,防范措施,,錯解 因y′＝3x2，f′(1)＝3. 錯因分析 上述求解過程中，忽略了當點Q不是切點這一情形，導致漏解. 正解 當Q(1,1)為切點時，可求得切線方程為y＝3x－2.,所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，,綜上，所求切線的方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.,故切線方程為3x－y－2＝0.,防范措施,,防范措施,解題前，養(yǎng)成認真審題的習慣，其次，弄清“在某點處的切線”與“過某點的切線”，點Q(1,1)盡管在所給曲線上，但它可能是切點，也可能不是切點.,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.下列說法中正確的有_____. ①和曲線只有一個公共點的直線是曲線的切線； ②和曲線有兩個公共點的直線一定不是曲線的切線； ③曲線的切線與曲線不可能有無數(shù)個公共點； ④曲線的切線與曲線有可能有無數(shù)個公共點.,④,,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點A(2,8)，則點A處的切線斜率為____.,當Δx→0時，其值趨近于8.即k＝8.,8,,1,2,3,4,5,3.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0， 則a＝___，b＝___.,解析答案,解析 由題意，知k＝y(tǒng)′|x＝0＝1，∴a＝1. 又(0，b)在切線上，∴b＝1.,1,1,,解析答案,1,2,3,4,5,故當Δx→0時，其值趨近于x，∴y′|x＝1＝1.,45,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為_____.,＝2Δx＋4x0＋4， 當Δx→0時，其值趨近于4＋4x0. 令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).,(3,30),,課堂小結(jié),,返回,1.導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即 →f′(x0)，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度. 2.“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值，不是變數(shù)，“導函數(shù)”是一個函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個函數(shù)值. 3.利用導數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上.如果已知點在曲線上，則以該點為切點的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點不在切線上，則設(shè)出切點(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點.,