高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修2-2.ppt
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1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分,第 1章 1.5 定積分,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程,了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.4.能用定積分的定義求簡單的定積分.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形:由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).,,答案,y=f(x),(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 ,對每個(gè) “以直代曲”,即用矩形的面積近似 代替 的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的 ,對這些近似值 ,就得到曲邊梯形面積的 (如圖②所示). (3)求曲邊梯形面積的步驟:① ,② ,③ ,④ . 2.求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程 如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng),速度函數(shù)v=v(t),那么也可以采用 ,____ , , 的方法,求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.,,答案,小曲邊梯形,小曲邊梯形,小曲邊梯形,近似值,求和,近似值,分割,以直代曲,作和,逼近,分割,以直,代曲,作和,逼近,,思考 (1)如何計(jì)算下列兩圖形的面積?,答案,答案 ①直接利用梯形面積公式求解. ②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,,(2)求曲邊梯形面積時(shí),對曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”,怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差? 答案 為了減小近似代替的誤差,需要先分割再分別對每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”,而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多,得到的面積的誤差越小.,答案,,知識(shí)點(diǎn)二 定積分的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間長度為Δx(Δx= ),在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為x1,x2,…,xi,…,xn,作和Sn=f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xi)Δx+…+f(xn)Δx,如果當(dāng)Δx→0(亦即n→+∞)時(shí),Sn→S(常數(shù)),那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作S= .其中a與b分別叫做 與 ,區(qū)間[a,b]叫做 ,函數(shù)f(x)叫做 ,x叫做 ,f(x)dx叫做 .,答案,積分下限,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,,思考 (1)如何理解定積分? 答案 定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值),它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限,而與積分變量用什么字母表示無關(guān),,答案,,答案,答案 ①分割:將區(qū)間[a,b]n等分,記第i個(gè)小區(qū)間為[xi-1,xi],區(qū)間長度Δx=xi-xi-1;,③逼近.,,知識(shí)點(diǎn)三 定積分的幾何意義與性質(zhì) 1.定積分的幾何意義 由直線x=a,x=b(ab),x軸及一條曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S,則有: (1)在區(qū)間[a,b]上,若f(x)≥0, 則S= ,如圖(1)所示, 即 . (2)在區(qū)間[a,b]上,若f(x)≤0, 則S= ,如圖(2)所示, 即 .,答案,,答案,即 (SA,SB表示所在區(qū)域的面積).,,答案,返回,思考 設(shè)v=v(t)在時(shí)間區(qū)間[t1,t2]上連續(xù)且恒有v(t)≥0,定積分 的意義是什么? 答案 定積分 表示做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)經(jīng)過的路程,這就是定積分 的物理意義.,,,,,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 對定積分的理解 例1 用定積分的定義求曲線y=x3+1與x=0,x=1及y=0所圍成的曲邊梯形的面積.,,過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線,從而得到n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記為ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.,解析答案,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,對圖形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積,但這僅是近似值,分割得越細(xì),近似程度就會(huì)越高,這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 求由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x(x-1)圍成的圖形的面積.,,解析答案,解 (1)分割: 將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,,過各分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.,,(2)以直代曲: 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計(jì)算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn),,解析答案,,解析答案,(3)作和: 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值, 所以n個(gè)小矩形面積的和,就是曲邊梯形面積S的近似值.,(4)逼近: 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多,即Δx愈小時(shí),和式①的值就愈接近曲邊梯形的面積S, 因此,當(dāng)n→+∞,即Δx→0時(shí),和式①的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,,解析答案,題型二 求汽車行駛的路程 例2 汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為s=vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t的速度為v(t)=t2+2(v的單位:km/h,t的單位:h),那么它在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位:km)是多少?,反思與感悟,,解 將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,,反思與感悟,,反思與感悟,利用類比轉(zhuǎn)化的思想,把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時(shí)間—速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積,再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 一物體自200 m高空自由落下,求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g=9.8 m/s2).,解 自由落體的下落速度為v(t)=gt.,以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,,解析答案,題型三 由定積分的幾何意義求定積分 例3 利用定積分的幾何意義,求:,以3為半徑的上半圓,如圖(1)所示.,,解析答案,解 在坐標(biāo)平面上,f(x)=2x+1為一條直線.,反思與感悟 利用定積分的幾何意義求定積分,關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象,以及積分區(qū)間,正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積,求不規(guī)則圖形的面積常用分割法,注意分割點(diǎn)的選取.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 利用定積分的幾何意義計(jì)算.,解 如圖①所示,定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,解 如圖②所示,定積分為圖中陰影部分面積,,,例4 如圖所示,f(x)在區(qū)間[a,b]上,則陰影部分的 面積S為 .,易錯(cuò)易混,因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤,解析答案,返回,防范措施,,錯(cuò)解 錯(cuò)填①或②或③. 錯(cuò)因分析 錯(cuò)誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,防范措施,若在[a,c]上,f(x)≤0,在[c,b]上,f(x)≥0,,,返回,,定積分的幾何意義是在x軸上半部計(jì)算的面積取正值,在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值.,防范措施,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,解析答案,1.把區(qū)間[1,3]n等分,所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為 .,,①與f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與ξi的取法無關(guān); ②與f(x)有關(guān),與區(qū)間[a,b]以及ξi的取法無關(guān); ③與f(x)以及ξi的取法有關(guān),與區(qū)間[a,b]無關(guān); ④與f(x)、積分區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關(guān).,①,答案,1,2,3,4,,3.求由曲線y= x2與直線x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形面積時(shí),把區(qū)間5等分,則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是 .,解析答案,1.02,1,2,3,4,,4.根據(jù)定積分的幾何意義,用不等號(hào)連接下列式子:,答案,,,1,2,3,4,,課堂小結(jié),1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟: (1)分割:n等分區(qū)間[a,b]; (2)以直代曲:取點(diǎn)ξi∈[xi-1,xi];,(4)逼近.“以直代曲”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形,為了計(jì)算方便,可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn),如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn)).,,返回,3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分;對于一些特殊函數(shù),也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算.,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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