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2019-2020年高中數(shù)學 2、1-5-1曲邊梯形的面積同步檢測 新人教版選修2-2
一、選擇題
1．和式(yi＋1)可表示為( )
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案] C
[解析] (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故選C.
2．在求由x＝a，x＝b(a
0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 在[0，t]上等間隔插入(n－1)個分點，把區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度均為，故第i－1個區(qū)間為，故選D.
5．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] s＝
＝＝.
6．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是( )
A.]
B.]
C.
D.n]
[答案] B
[解析] 將區(qū)間[0,2]進行n等分每個區(qū)間長度為，故應選B.
二、填空題
7．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為________、________.
[答案] 3.92 5.52
8．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為________．
[答案] 55
三、解答題
9．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積．
[分析] 按分割，近似代替，求和，取極限四個步驟進行．
[解析] 將區(qū)間[0,2]分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為.
第i個小區(qū)間的面積ΔSi＝f，
∴Sn＝
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝
＝.
S＝Sn＝ ＝，
∴所求曲邊梯形面積為.
[點評] 注意求平方和時，用到數(shù)列中的一個求和公式.12＋22＋…＋n2＝.不要忘記對Sn求極限．
10．汽車以速度v做勻速直線運動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時間行駛的路程是多少？
[分析] 汽車行駛路程類似曲邊梯形面積，根據(jù)曲邊梯形面積思想，求和后再求極限值．
[解析] 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為.
∴Δsi＝f.
sn＝
＝
＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.
∴這段時間行駛的路程為km.
11．求物體自由落體的下落距離：已知自由落體的運動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．
[分析] →→→→
[解析] (1)分割：將時間區(qū)間[0，t]分成n等份．
把時間[0，t]分成n個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，
每個小區(qū)間所表示的時間段Δt＝－t＝，在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每個小區(qū)間上以勻速運動的路程近似代替變速運動的路程．
在上任取一時刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i個小區(qū)間上的速度，因此在每個小區(qū)間上自由落體Δt＝內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為Δsi≈g(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si
＝
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取極限：s＝ gt2＝gt2.
12．求由直線x＝1、x＝2、y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S.
[解析] (1)分割
在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間：
，，…，，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為
Δx＝－＝.
分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小區(qū)邊梯形面積的和為S＝Si.
(2)近似代替
記f(x)＝.當n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它等于f()．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲邊梯形的面積和Sn＝Si≈Si′
＝＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.從而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取極限
分別將區(qū)間[1,2]等分成8,16,20，…等份時，Sn越來越趨向于S，從而有S＝Sn＝.
∴由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S為.
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