高考數(shù)學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語 1.2 命題及其關系、充分條件與必要條件課件(理).ppt

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第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件,【知識梳理】 1.命題的定義 用語言、符號或式子表達的,可以_________的陳述句 叫做命題.其中_________的語句叫做真命題,_________ 的語句叫做假命題.,判斷真假,判斷為真,判斷為假,2.四種命題 (1)四種命題及其相互關系:,(2)互為逆否命題的真假判斷: 互為逆否的兩個命題同___或同___.,真,假,3.充分條件與必要條件的判斷,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,【特別提醒】 1.充分條件、必要條件與集合的關系,2.互為逆否命題關系的運用 p是q的充分不必要條件,等價于q是p的充分不必要條件.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P10練習T3(2)改編)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選B.若x=1,則(x-1)(x+2)=0顯然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,則x的值也可能為-2.,2.(選修2-1P8習題1.1A組T2(1)改編)命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為 .,【解析】“a,b都是奇數(shù)”的否定為“a,b不都是奇數(shù)”,“a+b是偶數(shù)”的否定為“a+b不是偶數(shù)”,故其逆否命題為“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)”. 答案:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù),感悟考題 試一試 3.(2015湖南高考)設A,B是兩個集合,則“A∩B=A”是“A?B”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選C.由題意得,A∩B=A?A?B,反之,A?B? A∩B=A,故為充要條件.,4.(2015浙江高考)設a,b是實數(shù),則“a+b0”是“ab0”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選D.當a=3,b=-1時,a+b0,但ab0,但a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要條件.,5.(2016焦作模擬)已知命題α:如果x3,那么x5; 命題β:如果x≥3,那么x≥5;命題γ:如果x≥5,那么 x≥3.關于這三個命題之間的關系.下列三種說法正確 的是 ( ) ①命題α是命題β的否命題,且命題γ是命題β的逆 命題;,②命題α是命題β的逆命題,且命題γ是命題β的否命題; ③命題β是命題α的否命題,且命題γ是命題α的逆否命題. A.①③ B.② C.②③ D.①②③,【解析】選A.本題考查命題的四種形式,逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換,否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定,逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得,故①正確,②錯誤,③正確.,考向一 四種命題及其關系 【典例1】(1)(2015山東高考)設m∈R,命題“若m0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有實根,則m0 B.若方程x2+x-m=0有實根,則m≤0 C.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m0 D.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0,(2)原命題為“若z1,z2互為共軛復數(shù),則|z1|=|z2|”,關于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是 ( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,【解題導引】(1)原命題的逆否命題書寫格式是否定結(jié)論當條件,否定條件當結(jié)論. (2)寫出逆命題,利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題等價來判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.“方程x2+x-m=0有實根”的否定是“方程x2+x-m=0沒有實根”;“m0”的否定是“m≤0”,故命題“若m0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是“若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0”.,(2)選B.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為假,如:z1=1+2i,z2=2+i,顯然|z1|=|z2|,但z1與z2顯然不共軛,所以它的否命題亦為假.,【母題變式】1.寫出本例題(1)的否命題. 【解析】原命題的否命題是“若m≤0,則方程x2+x-m=0沒有實根”.,2.若本例題(1)的條件變?yōu)?“若m≤0”,其他條件不變,試判斷其逆命題的真假.,【解析】條件改變后,其逆命題為:“若方程x2+x-m=0 有實根,則m≤0”. 因為若方程x2+x-m=0有實根,則Δ=1+4m≥0, 所以m≥- . 即當方程有實根時,m也可能大于0,故其逆命題為假.,【規(guī)律方法】 1.一些常見詞語及其否定,2.命題真假的判斷方法 (1)聯(lián)系已有的數(shù)學公式、定理、結(jié)論進行正面直接判斷. (2)利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題的等價關系進行判斷.,【變式訓練】給定下列命題: ①反比例函數(shù)y= (k0)的圖象是雙曲線且位于第二、 四象限; ②若x+y≠8,則x≠2或y≠6; ③“矩形的對角線相等”的逆命題;,④“若xy=0,則x,y中至少有一個為0”的否命題.其中真命題的序號是 .,【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知命題①正確;命題②的逆否命題是“若x=2且y=6,則x+y=8”,其顯然正確,所以命題②正確;“對角線相等的四邊形是矩形”顯然是假命題,即命題③不正確;因為“若xy=0,則x,y中至少有一個為0”的逆命題顯然正確,由互為逆否命題的等價性知④正確. 答案:①②④,【加固訓練】 1.命題“若α= ,則tanα=1”的逆否命題是( ) A.若α≠ ,則tanα≠1 B.若α= ,則tanα≠1 C.若tanα≠1,則α≠ D.若tanα≠1,則α=,【解析】選C.原命題的逆否命題是“若tanα≠1, 則α≠ ”.,2.(2016宜賓模擬)下面是關于公差d0的等差數(shù)列{an}的四個命題: p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列 是遞增數(shù)列;,p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為 ( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4,【解析】選D.由題意知p1顯然正確;p2是假命題,例如, 當an=n-4時,數(shù)列{nan}中第一、二、三項分別為-3, -4,-3,顯然它不是遞增數(shù)列;p3是假命題,例如,當an=n 時, =1,即 是常數(shù)列;對于p4:因為an+1+3(n+1)d -(an+3nd)=d+3d=4d0,所以p4是真命題.,考向二 充分條件、必要條件的判斷 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:用定義法判斷充分條件、必要條件 【典例2】(2015陜西高考)“sinα=cosα”是 “cos 2α=0”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題導引】結(jié)合二倍角的余弦公式進行判斷或先表示出角α,再判斷.,【規(guī)范解答】選A.方法一:由cos2α=0得 cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0, 得sinα=cosα或sinα=-cosα. 所以sinα=cosα?cos 2α=0, 即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要條件.,方法二:由sinα=cosα,得 即α- =kπ,k∈Z,α=kπ+ ,k∈Z. 而由cos 2α=0,得2α=kπ+ ,k∈Z,α= k∈Z. 所以sinα=cosα?cos2α=0,即“sinα=cosα” 是“cos2α=0”的充分不必要條件.,命題方向2:用集合法判斷充分條件、必要條件 【典例3】(2015安徽高考)設p:11,則p是q成立的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題導引】利用集合法結(jié)合充分、必要條件的定義及指數(shù)不等式的求解進行判斷. 【規(guī)范解答】選A.由2x20?x0,且{x|10}可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要條件.,命題方向3:用等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件 【典例4】(2016銀川模擬)給定兩個命題p,q.若p是q的必要而不充分條件,則p是q的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題導引】利用原命題與逆否命題等價進行判斷. 【規(guī)范解答】選A.因為p是q的必要不充分條件,則 q?p但p q,其逆否命題為p?q但q p,所以p是 q的充分不必要條件.,【技法感悟】 充要條件的三種判斷方法 (1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進行判斷. (2)集合法:根據(jù)p,q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷.,(3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件,即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件.,【題組通關】 1.(2016肇慶模擬)設條件p:a≥0;條件q:a2+a≥0,那么p是q的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件,【解析】選A.因為a2+a≥0, 所以a≥0,a≤-1, 可判斷:若p:a≥0;則條件q:a2+a≥0成立. 可判斷:p是q的充分不必要條件.,2.(2015湖北高考)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則 ( ) A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件,【解析】選A.若p:l1,l2是異面直線,由異面直線的定義知,l1,l2不相交,所以命題q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分條件,反過來,若q:l1,l2不相交,則l1,l2可能平行,也可能異面,所以不能推出l1,l2是異面直線,即p不是q的必要條件.,3.(2014全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處導數(shù)存在,若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點,則 ( ) A.p是q的充分必要條件 B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件,【解析】選C.因為若f′(x0)=0,則x=x0不一定是極值點,所以命題p不是q的充分條件; 因為若x=x0是極值點,則f′(x0)=0,所以命題p是q的必要條件.,4.(2014湖北高考)設U為全集,A,B是集合,則“存在 集合C使得A?C,B? C”是“A∩B=?”的 ( ) A.充分而不必要的條件 B.必要而不充分的條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件,【解析】選C.依題意,若A?C,則 C? A,當B? C時, 可得A∩B=?;若A∩B=?,不妨令C=A,顯然滿足A?C,B? C,故滿足條件的集合C是存在的.,考向三 充分條件、必要條件的應用 【典例5】(1)使不等式x2-3x3,(2)已知p:|4-x|≤6,q:x2-2x+1-m2 ≤0(m0),且p是q的必要而不充 分條件,則實數(shù)m的取值范圍是 .,【解題導引】(1)先解不等式,再由題意對比選取. (2)先求出p,q對應不等式的解集,再利用p,q間的關系列出關于m的不等式或不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.解不等式x2-3x0, 得1-m≤x≤1+m,,則q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m0}. 由p:|4-x|≤6, 解得-2≤x≤10, 則p:P={x|-2≤x≤10}. 因為p是q的充分而不必要條件,,則P Q,所以 即m≥9或m9.故m≥9. 答案:m≥9,【一題多解】解答本題,還有以下解法: 由q:x2-2x+1-m2≤0,m0, 得1-m≤x≤1+m, 則q:A={x|x1+m或x0}. 由p:|4-x|≤6, 得-2≤x≤10,,則p:B={x|x10或x9. 故m≥9.,【易錯警示】解答本例題(1)會出現(xiàn)以下錯誤: 題意理解不清,混淆了誰是誰的充分而不必要條件,而誤選C.,【規(guī)律方法】 1.與充分條件、必要條件有關的參數(shù)問題的求解方法 根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關系,并由此列出關于參數(shù)的不等式(組)求解,要注意區(qū)間端點值的檢驗.,2.充要條件的證明方法 在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時,其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個方面進行證明.這類試題一般有兩種設置格式.,(1)證明:A成立是B成立的充要條件,其中充分性是A?B,必要性是B?A. (2)證明:A成立的充要條件是B,此時的條件是B,故充分性是B?A,必要性是A?B. 易錯提醒:在對充分性與必要性分別進行證明的題中,需要分清命題的條件和結(jié)論.,【變式訓練】已知a+b≠0,證明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要條件是a+b=1. 【證明】先證充分性:若a+b=1,則b=1-a, 所以a2+b2-a-b+2ab=a2+(1-a)2-a-(1-a)+2a(1-a) =a2+1-2a+a2-a-1+a+2a-2a2=0. 即a2+b2-a-b+2ab=0,充分性得證,,再證必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0, 即(a+b)2-(a+b)=0, (a+b-1)(a+b)=0, 因為a+b≠0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,必要性得證, 綜上可得,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要條件是a+b=1.,【加固訓練】 1.函數(shù)f(x)= 有且只有一個零點的充分不必要條件是 ( ) A.a1,【解析】選A.因為函數(shù)f(x)過點(1,0),所以函數(shù)f(x) 有且只有一個零點?函數(shù)y=-2x+a(x≤0)沒有零點?函 數(shù)y=2x(x≤0)與直線y=a無公共點.由數(shù)形結(jié)合,可得 a≤0或a1.觀察選項,根據(jù)集合間關系{a|a1},故選A.,2.若“x21”是“x1得x1或x1或x-1}, 所以a≤-1,從而a的最大值為-1. 答案:-1,