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2019-2020年高考數(shù)學 第三篇 第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算限時訓練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(xx全國)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為 ( )．
A. B. C. D．1
解析 y′＝－2e－2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形如圖所示，其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點A，y＝－2x＋2與x軸的交點B(1,0)．所以三角形面積S＝1＝，故選A.
答案 A
2．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導函數(shù)，且滿足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，則對任意正數(shù)a，b，若a>b，則必有 ( )．
A．af(b)
0)，F(xiàn)′(x)＝，由條件知F′(x)<0，∴函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上單調遞減，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，則f(2)的最小值為
( )．
A．12 B．12＋8a＋
C．8＋8a＋ D．16
解析 f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，則g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得00時，f′(x)>0，g′(x)>0則x<0時 ( )．
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析 依題意得，函數(shù)f′(x)、g′(x)分別是偶函數(shù)、奇函數(shù)，當x<0時，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．(xx新課標全國)曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為________．
解析 ∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x＝3ln x＋4，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，∴所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案 y＝4x－3
6．曲線y＝x3＋x－2在點P處的切線平行于直線y＝4x－1，則點P的坐標為________．
解析 依題意得y′＝3x2＋1，設點P(x0，y0)，則有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，將x0的值代入曲線方程得y0＝－4或y0＝0，從而點P的坐標是(1,0)或(－1，－4)．
答案 (1,0)或(－1，－4)
三、解答題(共25分)
7．(12分)求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)； (2)y＝ln (x＋)；
(3)y＝； (4)y＝2xsin(2x＋5)．
解 (1)y′＝n(2x＋1)n－1(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝＝.
(3)∵y＝＝1＋∴y′＝.
(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．
8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；
(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．
解 (1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一 設切點為(x0，y0)，
則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，
∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26.)
法二 設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，
則k＝＝
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．
(3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，
∴切線的斜率k＝4.
設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝1，
∴或
切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．設曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝( )．
A．2 B. C. D．－2
解析 y′＝＝，點(3,2)處切線斜率k＝－，∵切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，∴ a＝－2.
答案 D
2．已知函數(shù)f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導函數(shù)，它們在同一坐標系下的圖象如圖所示，設函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，則 ( )．
A．h(1)0時，2
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