高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列課件 湘教版.ppt
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第五章 數(shù) 列,5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示 5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.4 數(shù)列求和 5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用 5.6 數(shù)列綜合性問(wèn)題,,,,5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示,1.數(shù)列的概念 按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,一般用 表示.,一定順序,,2.數(shù)列的分類(lèi),有限,無(wú)限,,,=,正整數(shù)集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…,n}),函數(shù)值,解析法,圖象法,列表法,序號(hào)n,,,由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng),1.由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住以下幾方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相鄰項(xiàng)的變化特征; (3)拆項(xiàng)后的特征; (4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.,2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法,它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想,由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗(yàn),對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-1)n或(-1)n+1來(lái)調(diào)整. 3.觀察、分析問(wèn)題的特點(diǎn)是最重要的,觀察要有目的,觀察出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律,利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決.,,由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式,【變式訓(xùn)練】2.已知下面數(shù)列{an}的遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和Sn,求{an}的通項(xiàng)公式: (1)Sn=3n+b; (2)a1=1,an+1=3an+2,求an.,【解析】(1) a1=S1=3+b, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式.當(dāng)b≠-1時(shí),a1不適合此等式. ∴當(dāng)b=-1時(shí),an=23n-1; 當(dāng)b≠-1時(shí),an= 3+b,n=1, 23n-1,n≥2.,,,數(shù)列的性質(zhì)研究,,,,1.數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示 數(shù)列中的數(shù)是有序的,要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同;數(shù)列的簡(jiǎn)單表示要類(lèi)比函數(shù)的表示方法來(lái)理解.數(shù)列{an}可以看成是以正整數(shù)集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…,n})為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.,2.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式 據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)符號(hào)特征和絕對(duì)值特征,并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.,通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出,本節(jié)主要考查數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、求通項(xiàng)公式、an與Sn的關(guān)系.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí),通常將其變形成等差數(shù)列、等比數(shù)列或與函數(shù)的周期性等有關(guān)的問(wèn)題.,(2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為 .,,【規(guī)范解答】由題意及等差數(shù)列的性質(zhì), 知a1+a10=0,a1+a15= . 兩式相減,得a15-a10= =5d,所以d= ,a1=-3. 所以nSn=n[na1+ d]= . 令f(x)= ,x>0, 則f′(x)= x(3x-20),由函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)f(x)在x= 時(shí)取得最小值,檢驗(yàn)n=6時(shí),6S6=-48,而n=7時(shí),7S7=-49,故nSn的最小值為-49.,【閱后報(bào)告】本題求出的nSn的表達(dá)式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的三次函數(shù),因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解.,3.(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)數(shù)列{an}滿足an+1= ,a8=2,則a1= . 【解析】由題易知a8= =2,得a7= ; a7= = ,得a6=-1; a6= =-1,得a5=2, 于是可知數(shù)列{an}具有周期性,且周期為3,所以a1=a7= . 【答案】,,課 時(shí) 作 業(yè),5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,2,同一個(gè)常數(shù),公差,,A,,,,2.在等差數(shù)列{an}中,已知a4=7,a3+a6=16,an=31,則n為( ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】由已知可得a4+a5=7+a5=a3+a6=16,得a5=16-7=9,故公差d=a5-a4=9-7=2,同時(shí)解得a1=1,由1+(n-1)2=31,解得n=16. 【答案】D,3.(2014荊州高三調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項(xiàng),且S10=60,則S20=( ) A.80 B.160 C.320 D.640,4.(2014武漢高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是 . 【解析】a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n=20. 【答案】20,,等差數(shù)列的判斷與證明,,,,,等差數(shù)列的基本運(yùn)算,,等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,【變式訓(xùn)練】3.在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). (1)證明數(shù)列 是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng); (3)若λan+ ≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.,【解析】(1)證明:將3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得 - =3(n≥2). 所以數(shù)列 為以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2,所以an=13n-2. (3)若λan+ ≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立, 即λ3n-2+3n+1≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立, 整理得λ≤[(3n+1)(3n-2)]/3(n-1).,【規(guī)范解答】(1)由題意得,a15a3=(2a2+2)2, 由a1=10,{an}為公差為d的等差數(shù)列得, d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4. 所以an=-n+11(n∈N*)或an=4n+6(n∈N*). (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐0,由(1)得d=-1,an=-n+11,,所以當(dāng)n≤11時(shí), |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+ n; 當(dāng)n≥12時(shí), |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n2- n+110. 綜上所述, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= - n2+ n,n≤11, n2- n+110,n≥12.,,【閱后報(bào)告】(1)不能盲目認(rèn)為|a1|,|a2|,…|an|是等差數(shù)列,要分段研究. (2)當(dāng)n≤11時(shí),是求Sn,而不是求S11. (3)討論n≤11和n≥12后,要有總結(jié)結(jié)論.,1.(2014遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列{ }為遞減數(shù)列,則( ) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 【解析】令 bn=2a1an,因?yàn)閿?shù)列{ }為遞減數(shù)列, 所以 1,所以a1d0. 【答案】D,2.(2014北京卷)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a90,a7+a100,a7+a10=a8+a90,a90,∴n=8時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大. 【答案】8,3.(2014湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 依題意得,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 當(dāng)d=0時(shí),an=2; 當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)4=4n-2. 從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.,,,,,課 時(shí) 作 業(yè),5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,第2項(xiàng),前一項(xiàng),同一個(gè),公比,q,,等比數(shù)列,ab,,,,,等比,3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3=( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數(shù)列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6),將S6=1/2S3代入得S9/S3=3/4. 【答案】C,,等比數(shù)列的判定與證明,(3)假設(shè)存在,則m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2, 因?yàn)閍n= ,所以 化簡(jiǎn),得3m+3n=23s. 因?yàn)?m+3n≥ =23s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立.又m,s,n互不相等,所以3m+3n=23s不成立,所以不存在滿足條件的m,n,s.,,等比數(shù)列的基本運(yùn)算,等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題,數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)所求問(wèn)題可迎刃而解.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式,并靈活運(yùn)用.在運(yùn)算過(guò)程中,還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.,【變式訓(xùn)練】2.已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)Tn=Sn- (n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 因?yàn)镾3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列, 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5, 即4a5=a3,于是q2=a5a3= . 又{an}不是遞減數(shù)列且a1= ,所以q=- . 故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an= n-1=(-1)n-1 . (2)由(1)得Sn=1- = 1+ ,n為奇數(shù), 1- ,n為偶數(shù).,,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn隨n的增大而減小,所以1Sn- ≥S2- = - =- . 綜上,對(duì)于n∈N*,總有- ≤Sn- ≤ . 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為 ,最小項(xiàng)的值為- .,,,,(2013湖北卷)已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)是否存在正整數(shù)m,使得 + +…+ ≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則由已知可得 a31q3=125,解得 a1= , |a1q-a1q2|=10, q=3 或 a1=-5, q=-1. 故an= 3n-1或an=-5(-1)n-1. (2)若an= 3n-1,則 = ,則 是首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列.,,,,從而 + +…+ = = 1. 若an=-5(-1)n-1,則 =- (-1)n-1, 故1an是首項(xiàng)為-15,公比為-1的等比數(shù)列, 從而 + +…+ = - ,n=2k-1(k∈N*), 0,n=2k(k∈N*), 故 + +…+ 1. 綜上,對(duì)任何正整數(shù)m,總有 + +…+ 1. 故不存在正整數(shù)m,使得 + +…+ ≥1成立.,,【閱后報(bào)告】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題,解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類(lèi)討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.,3.(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷) 已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an+1=3an+1. (1)證明 是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明 + +…+ < .,【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+ =3(an+ ). 又a1+ = ,所以an+ 是首項(xiàng)為 ,公比為3的等比數(shù)列,所以an+ = ,因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= . (2)證明:由(1)知 = . 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥23n-1, 所以 ≤ ,即 = ≤ . 于是 + +…+ ≤1+ +…+ = -13n32. 所以 + +…+ .,,課 時(shí) 作 業(yè),5.4 數(shù)列求和,,,【解析】∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1, ∴m=2,a=1. ∴f(x)=x2+x,f(n)=n2+n. ∴ ∴Sn= = 【答案】,,分組轉(zhuǎn)化求和,(2014湖州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記cn=(-1)nbn+an,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,等差數(shù)列{bn}的公差為d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, 故 3q=3+3d, q=1+d, 3q2=3+12d q2=1+4d q=3或1(舍去). 所以d=2,所以an=3n,bn=2n+1.,,,(2)由題意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+…+cn =(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=n+ ; 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(n-1)-(2n+1)+ . 所以Sn= ,n為偶數(shù), ,n為奇數(shù).,,,錯(cuò)位相減法求和,(2014武漢高三調(diào)研)已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn=a2n+3an+2,且a1,a2,a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記Tn=a1bn+a2bn-1+…+anb1,n∈N*,證明:3Tn+1=2bn+1-an+1(n∈N*).,,,,,裂項(xiàng)相消法求和,【閱后報(bào)告】(1)一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解. (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.,1.(2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為 的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an,2.(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根,則S6= . 【解析】因?yàn)閍1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根,且數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,所以a1=1,a3=4,q=2,所以S6=(1-26)/(1-2)=63. 【答案】63,【解析】(1)因?yàn)镾1=a1,S2=2a1+ 2=2a1+2, S4=4a1+ 2=4a1+12, 由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1. (2)由題意可知, bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1 .,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn=(1+ )-( + )+…+( + )-( + )=1- = . 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Tn=(1+ )-( + )+…-( + )+( + )=1+ = . 所以Tn= ,n為奇數(shù), ,n為偶數(shù).(或Tn= ),,,課 時(shí) 作 業(yè),5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用,1.數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,其解題的基本步驟,可用圖表示如下:,2.氣象學(xué)院用3.2萬(wàn)元買(mǎi)了一臺(tái)天文觀測(cè)儀,已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元(n∈N*),使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少)為止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天,【解析】由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元(n∈N*),可知每天的維修保養(yǎng)費(fèi)構(gòu)成以 =5為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列. 設(shè)一共使用了n天,則使用n天的平均耗資為 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值,此時(shí)n=800. 【答案】B,,,,4.(2014成都一模)現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿,自上而下每節(jié)的長(zhǎng)度依次構(gòu)成等差數(shù)列,最上面一節(jié)長(zhǎng)為10 cm,最下面的三節(jié)長(zhǎng)度之和為114 cm,第6節(jié)的長(zhǎng)度是首節(jié)與末節(jié)長(zhǎng)度的等比中項(xiàng),則n= .,【解析】設(shè)每節(jié)竹竿的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的數(shù)列為{an},公差為d(d>0). 由題意知a1=10,an+an-1+an-2=114,a26=a1an. 由an+an-1+an-2=114,得3an-1=114,解得an-1=38, ∴(a1+5d)2=a1(an-1+d),即(10+5d)2=10(38+d), 解得d=2,所以an-1=a1+(n-2)d=38, 即10+2(n-2)=38,解得n=16. 【答案】16,,等差數(shù)列模型的應(yīng)用,解等差數(shù)列應(yīng)用題,首先要認(rèn)真審題,深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景,理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系,把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問(wèn)題,使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化.然后用等差數(shù)列知識(shí)求解,這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力,也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力.,祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái),在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園,臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù).某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費(fèi) 12萬(wàn)美元,以后每年增加4萬(wàn)美元,每年銷(xiāo)售蔬菜收入50萬(wàn)美元,設(shè)f(n)表示前n年的純收入.(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額),(1)從第幾年開(kāi)始該臺(tái)商獲利? (2)若干年后,該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目, 有兩種處理方案:①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬(wàn)美元出售該廠;②純利潤(rùn)總和最大時(shí),以16萬(wàn)美元出售該廠,問(wèn)哪種方案最合算?,【解析】由題意知,每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,則f(n)=50n- -72=-2n2+40n-72. (1)獲取純利潤(rùn)就是要求f(n)0, 故有-2n2+40n-720,解得2n18. 又n∈N*,可知從第三年開(kāi)始獲利. (2)①平均利潤(rùn)為 =40- ≤16,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).,故此方案獲利-262+406-72+48=144(萬(wàn)美元),此時(shí) n=6. ②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128, 當(dāng)n=10時(shí),f(n)max=128. 故此方案共獲利128+16=144(萬(wàn)美元). 比較兩種方案,第①種方案只需6年,第②種方案需要10年,故選擇第①種方案更合算.,,等比數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍,并且每年年底固定給股東們分紅500萬(wàn)元.該企業(yè)2011年年底分紅后的資金為1 000萬(wàn)元. (1)求該企業(yè)2015年年底分紅后的資金; (2)求該企業(yè)從哪一年開(kāi)始年底分紅后的資金超過(guò)32 500萬(wàn)元.,【解析】設(shè)an為(2011+n)年年底分紅后的資金,其中n∈N*, 則a1=21 000-500=1 500, a2=21 500-500=2 500,…,an=2an-1-500(n≥2). ∴an-500=2(an-1-500)(n≥2), 即數(shù)列{an-500}是首項(xiàng)為a1-500=1 000,公比為2的等比數(shù)列. ∴an-500=1 0002n-1, ∴an=1 0002n-1+500.,(1)a4=1 00024-1+500=8 500, ∴該企業(yè)2015年年底分紅后的資金為8 500萬(wàn)元. (2)由an32 500,即2n-132,得n6, ∴該企業(yè)從2018年開(kāi)始年底分紅后的資金超過(guò)32 500萬(wàn)元.,,遞推數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)為加大對(duì)新產(chǎn)品的推銷(xiāo)力度,決定從今年起每年投入100萬(wàn)元進(jìn)行廣告宣傳,以增加新產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入.已知今年的銷(xiāo)售收入為250萬(wàn)元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,預(yù)測(cè)第n年與第n-1年銷(xiāo)售收入an與an-1(單位:萬(wàn)元)滿足關(guān)系式:an=an-1+ -100. (1)設(shè)今年為第1年,求第n年的銷(xiāo)售收入an; (2)依上述預(yù)測(cè),該企業(yè)前幾年的銷(xiāo)售收入總和Sn最大.,【解析】(1)由題意可知an-an-1= -100(n≥2), an-1-an-2= -100, … a3-a2= -100, a2-a1= -100, a1=250= . 以上各式相加得,an=500 -100(n-1) =500 -100(n-1)=500- -100(n-1).,(2)要求銷(xiāo)售收入總和Sn的最大值,即求年銷(xiāo)售收入大于零的所有年銷(xiāo)售收入的和. ∵an=500- -100(n-1), ∴要使an≥0,即500- -100(n-1)≥0, 也就是 + ≤1. 令bn= + , 則bn-bn-1= + - - = - , 顯然,當(dāng)n≥3時(shí),bnbn-1,而b51,∴a50,a60. ∴該企業(yè)前5年的銷(xiāo)售收入總和最大.,(2012湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始,每年年底上繳資金d萬(wàn)元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元.,(1)用d表示a1,a2,并寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系式; (2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為 4 000萬(wàn)元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).,【閱后報(bào)告】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵是列出相關(guān)信息,合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型,判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型;求解時(shí),要明確目標(biāo),即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題,所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題,然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果,放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn),最終得出結(jié)論.,,,,,課 時(shí) 作 業(yè),5.6 數(shù)列綜合性問(wèn)題,1.(2014濟(jì)南模擬)數(shù)列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于 ( ) A.76 B.78 C.80 D.82,【解析】由已知an+1+(-1)nan=2n-1, 得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1, 得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1). 取n=1,5,9及n=2,6,10,結(jié)果相加可得 S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78. 【答案】B,2.在如圖所示的表格中,如果每格填上一個(gè)數(shù)后,每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,那么x+y+z的值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4,,等差、等比數(shù)列的綜合,1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn),特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn). 2.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值.同時(shí)對(duì)于兩種數(shù)列的性質(zhì),要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解.,,數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用,【解析】(1)由題意得(1-a2)2=a1(a3+1), 即(1- a1)2=a1( a1+1),解得a1= ,∴an= . 設(shè){bn}的公差為d, 又 T1=λb2, 即 8=λ(8+d), T2=2λb3, 16+d=2λ(8+2d), 解得 λ= ,或 λ=1, d=8 d=0(舍去), ∴λ= .,,,,,(2)由(1)知Sn=1- , ∴ Sn= - ≥ , ① 又Tn=4n2+4n, = = , ∴ + +…+ = [(1- )+( - )+…+ ] = (1- ) , ② 由①②可知 + +…+ Sn.,,遞推數(shù)列,已知數(shù)列{an},{bn}滿足:a1=0,b1=2 013,且對(duì)任意的正整數(shù)n,an,an+1,bn和an+1,bn+1,bn均成等差數(shù)列. (1)求a2,b2的值; (2)證明:{an-bn}和{an+2bn}均成等比數(shù)列; (3)是否存在唯一的正整數(shù)c,使得ancbn恒成立?證明你的結(jié)論.,【解析】(1)a2= = ,b2= = . (2)證明:依題意,對(duì)任意的正整數(shù)n,有 an+1= , an+1= an+ bn, bn+1= bn+1= an+ bn, 因?yàn)?,n∈N*, 又a1-b1=-2 013≠0,所以{an-bn}是首項(xiàng)為-2 013,公比為1/4的等比數(shù)列;,因?yàn)? ,n∈N*, 又a1+2b1=4 026≠0, 所以{an+2bn}是首項(xiàng)為4 026,公比為1的等比數(shù)列. (3)由(2)得 an+2bn=4 026, an-bn=- , 解得 an=1 342- , bn=1 342+ ,n∈N*. 顯然,{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列,且an 1 342bn,n∈N*.,,,即存在正整數(shù)c=1 342,使得對(duì)任意的n∈N*,有an1 342. 而210=1 024,212=4 096,所以2n-2≥12,n≥7. 所以對(duì)任意的n∈N*,當(dāng)n≥7時(shí),1 341an1 342bn1 343, 所以正整數(shù)c=1 342也是唯一的. 綜上所述,存在唯一的正整數(shù)c=1 342,使得對(duì)任意的n∈N*,有ancbn恒成立.,,,1.數(shù)列綜合題的四種題型 (1)數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題 數(shù)列綜合題,包括數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、不等式知識(shí)的綜合,另外,數(shù)列知識(shí)在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何部分也有廣泛應(yīng)用. (2)數(shù)列的探索性問(wèn)題 探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),常在數(shù)列解答題中出現(xiàn),探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有較高的要求. (3)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 解決此類(lèi)問(wèn)題須從整體著眼考查所研究的問(wèn)題中的數(shù)列特征、結(jié)構(gòu)特征,以探求解題思路,從而優(yōu)化、簡(jiǎn)化解題過(guò)程的思想方法,在數(shù)列中,倘若抓住等差、等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì),整體代換可簡(jiǎn)化解答過(guò)程.,2.遞推數(shù)列問(wèn)題的一般處理方法 (1)利用化歸思想,將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列問(wèn)題化歸為等差或等比數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解決; (2)借助歸納思想,通過(guò)不完全歸納形成猜想后用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題; (3)依托函數(shù)思想,設(shè)法求出所給數(shù)列的通項(xiàng)公式后一般性解決問(wèn)題. 3.由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法 累加法、累乘法、疊代法、歸納法、換元法、待定系數(shù)法、特征方程法、不動(dòng)點(diǎn)法等.,由于數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列與自然數(shù)n的對(duì)應(yīng)、數(shù)列求和與不等式放縮的聯(lián)系以及“能力立意”命題的需求,使得具有一定難度和一定綜合性要求的數(shù)列試題常常光顧解答題中的后三題的位置,很多情況下甚至就是高考?jí)狠S題.這一類(lèi)綜合性問(wèn)題,往往會(huì)與數(shù)列的遞推公式相關(guān),用于全面考查數(shù)列的概念與性質(zhì),考查邏輯運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力,學(xué)會(huì)處理這類(lèi)問(wèn)題往往成為高考中奪取數(shù)學(xué)高分的關(guān)鍵.求解時(shí)除了可以直接由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì)外,一般不需要求通項(xiàng)公式,也能直接利用遞推關(guān)系來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì).,【閱后報(bào)告】 本題屬高難度試題,以解析幾何問(wèn)題為載體主要考查了數(shù)列的函數(shù)屬性,要求綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí),對(duì)考生的思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力提出了較高的要求.,【證明】(1)對(duì)每個(gè)n∈N*,當(dāng)x0時(shí),f′n(x)=1+ 0,故fn(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 由于f1(1)=0,當(dāng)n≥2時(shí),fn(1)= 0.故fn(1)≥0.又fn( )=-1+ + ≤ = 所以存在唯一的xn∈[ ,1]滿足fn(xn)=0.,(2)當(dāng)x0時(shí),fn+1(x)=fn(x)+ fn(x), 故fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由fn+1(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,xn+1xn, 故{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列.從而對(duì)任意n,p∈N*,xn+pxn. 對(duì)任意p∈N*,由于fn(xn)=-1+xn+ =0,①,fn+p(xn+p)=-1+xn+p+ =0, ② ①式減去②式并移項(xiàng),利用0xn+pxn≤1,得 xn-xn+p= 因此,對(duì)任意p∈N*,都有0xn-xn+p .,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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