2019-2020年高考數(shù)學 第九篇 第8講 曲線與方程限時訓練 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學 第九篇 第8講 曲線與方程限時訓練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 動點P(x,y)滿足5=|3x+4y-11|,則點P的軌跡是 ( ). A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線 解析 設定點F(1,2),定直線l:3x+4y-11=0,則|PF|=,點P到直線l的距離d=. 由已知得=1,但注意到點F(1,2)恰在直線l上,所以點P的軌跡是直線.選D. 答案 D 2.(xx榆林模擬)若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為 ( ). A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 依題意,點P到直線x=-2的距離等于它到點(2,0)的距離,故點P的軌跡是拋物線. 答案 D 3.(xx臨川模擬)設圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內一定點,Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為 ( ). A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析 M為AQ垂直平分線上一點,則|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的軌跡為橢圓,∴a=,c=1,則b2=a2-c2=, ∴橢圓的標準方程為+=1. 答案 D 4.(xx煙臺月考)已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是( ). A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析 由題意知,M為PQ中點,設Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0. 答案 D 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(xx泰州月考)在△ABC中,A為動點,B、C為定點,B,C(a>0),且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動點A的軌跡方程是________. 解析 由正弦定理,得-=, ∴|AB|-|AC|=|BC|,且為雙曲線右支. 答案 -=1(x>0且y≠0) 6. 如圖,點F(a,0)(a>0),點P在y軸上運動,M在x軸上運動,N為動點,且=0,+=0,則點N的軌跡方程為________. 解析 由題意,知PM⊥PF且P為線段MN的中點,連接FN,延長FP至點Q使P恰為QF之中點;連接QM,QN,則四邊形FNQM為菱形,且點Q恒在直線l:x=-a上,故點N的軌跡是以點F為焦點,直線l為準線的拋物線,其方程為:y2=4ax. 答案 y2=4ax 三、解答題(共25分) 7.(12分)已知長為1+的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=,求點P的軌跡C的方程. 解 設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=, 又=(x-x0,y),=(-x,y0-y), 所以x-x0=-x,y=(y0-y), 得x0=x,y0=(1+)y. 因為|AB|=1+,即x+y=(1+)2, 所以2+[(1+)y]2=(1+)2, 化簡得+y2=1. ∴點P的軌跡方程為+y2=1. 8.(13分)設橢圓方程為x2+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O為坐標原點,點P滿足=(+),點N的坐標為,當直線l繞點M旋轉時,求: (1)動點P的軌跡方程; (2)||的最大值,最小值. 解 (1)直線l過定點M(0,1),當其斜率存在時設為k,則l的方程為y=kx+1. 設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知,A、B的坐標滿足方程組消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0. 則Δ=4k2+12(4+k2)>0. ∴x1+x2=-,x1x2=. P(x,y)是AB的中點, 則由 消去k得4x2+y2-y=0. 當斜率k不存在時,AB的中點是坐標原點,也滿足這個方程,故P點的軌跡方程為4x2+y2-y=0. (2)由(1)知4x2+2=,∴-≤x≤ 而|NP|2=2+2=2+ =-32+, ∴當x=-時,||取得最大值, 當x=時,||取得最小值. B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(xx全國)正方形ABCD的邊長為1,點E在邊AB上,點F在邊BC上,AE=BF=.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動,每當碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角.當點P第一次碰到E時,P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 ( ). A.16 B.14 C.12 D.10 解析 當E、F分別為AB、BC中點時,顯然碰撞的結果為4,當E、F分別為AB的三等分點時,可得結果為6(如圖1所示).可以猜想本題碰撞的結果應為27=14(如圖2所示).故選B. 答案 B 2.(xx沈陽二模)在平行四邊形ABCD中,∠BAD=60,AD=2AB,若P是平面ABCD內一點,且滿足:x+y+=0(x,y∈R).則當點P在以A為圓心,||為半徑的圓上時,實數(shù)x,y應滿足關系式為 ( ). A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1 C.x2+4y2-2xy=1 D.x2+4y2+2xy=1 解析 如圖,以A為原點建立平面直角坐標系,設AD=2.據(jù)題意,得AB=1,∠ABD=90,BD=.∴B、D的坐標分別為(1,0)、(1,),∴=(1,0),=(1,).設點P的坐標為(m,n),即=(m,n),則由x+y+=0,得:=x+y,∴ 據(jù)題意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=1. 答案 D 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M在AB上,且AM=AB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標系xAy中,動點P的軌跡方程是________. 解析 過P作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連接PH、PM,可證PH⊥A1D1,設P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化簡得y2=x-. 答案 y2=x- 4.(xx南京模擬)P是橢圓+=1上的任意一點,F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是________. 解析 由=+,又+==2 =-2,設Q(x,y),則=-=-(x,y)=-,-,即P點坐標為-,-.又P在橢圓上,則有+=1,即+=1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 5.(12分)(xx鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:+=1(a>0,b>0)經(jīng)過點A,且點F(0,-1)為其一個焦點. (1)求橢圓E的方程; (2)設隨圓E與y軸的兩個交點為A1,A2,不在y軸上的動點P在直線y=b2上運動,直線PA1,PA2分別與橢圓E交于點M,N,證明:直線MN通過一個定點,且△FMN的周長為定值. 解 (1)根據(jù)題意可得可解得 ∴橢圓E的方程為+=1. (2)由(1)知A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)為直線y=4上一點(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PA1方程為y=x+2,直線PA2方程為y=x-2,點M(x1,y1),A1(0,2)的坐標滿足方程組可得 點N(x2,y2),A2(0,-2)的坐標滿足方程組可得由于橢圓關于y軸對稱,當動點P在直線y=4上運動時,直線MN通過的定點必在y軸上,當x0=1時,直線MN的方程為y+1=,令x=0,得y=1可猜測定點的坐標為(0,1),并記這個定點為B.則直線BM的斜率kBM===,直線BN的斜率kBN===,∴kBM=kBN,即M,B,N三點共線,故直線MN通過一個定點B(0,1), 又∵F(0,-1),B(0,1)是橢圓E的焦點, ∴△FMN周長為|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8,為定值. 6.(13分)(xx玉林模擬)已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b). (1)求點Q(x,y)的軌跡C的方程; (2)設曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N,又點A(0,-1),當|AM|=|AN|時,求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)由題意得a+b=(x+,y),a-b=(x-,y),∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)(a-b)=0, 即(x+)(x-)+yy=0. 化簡得+y2=1,∴Q點的軌跡C的方程為+y2=1. (2)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直線與橢圓有兩個不同的交點, ∴Δ>0,即m2<3k2+1. ① (i)當k≠0時,設弦MN的中點為P(xP,yP),xM、xN分別為點M、N的橫坐標,則xP==-, 從而yP=kxP+m=,kAP==-, 又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. 則-=-,即2m=3k2+1, ② 將②代入①得2m>m2,解得0- 配套講稿:
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