2019-2020年高考數學 9 函數與方程知識點復習.doc

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2019-2020年高考數學 9 函數與方程知識點復習 一、知識要點 1.零點的概念 （1）定義 使函數的實數的值叫的零點. （2）幾何意義及代數意義 的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根. 2.零點的性質 （1）函數的圖象穿過零點時，函數值變號； （2）相鄰兩零點之間的函數值同號. 3.零點存在性的判斷（零點定理） （1）在區(qū)間上的連續(xù)函數滿足，則至少存在一個實數，使得，即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調，則在上存在唯一實數，使得. 4.求方程的實根（或判斷實根個數）的方法 （1）代數法：解方程； （2）數形結合法：求曲線與軸的交點； （3）輔助函數法：求曲線與的交點個數，轉化為求函數的零點個數. 5.用“二分法”求零點的近似值 （1）給定區(qū)間及精確度，驗證； （2）求區(qū)間的中點，計算； （3）驗證與的符號： ①若，則為零點； ②若，則零點，令； ③若，則零點，令； ④判斷是否成立，若成立，則任取中的一個數為零點，否則，重復②至④的步驟. 二、考點演練 題型一：確定零點所在的區(qū)間 1.設函數與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 2.已知函數，當時，函數的零點，則________. 題型二：確定區(qū)間上零點的個數 3.若函數的兩個極值點為，且，則關于的方程的不同實根個數為________. 4.已知定義在R上的偶函數滿足，且當時，，則方程的實數解的個數為________. 題型三：利用零點確定參數的值或取值范圍 5.設方程的根為，方程的根為，則的值為______. 6.已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是________. 7.設是定義在R上的偶函數，對于，都有，且當時，，若在區(qū)間內關于的方程恰有7個不同的實數根，則的取值范圍是________. 題型四：零點的綜合應用 8.設函數. （1）設，證明：在區(qū)間內存在唯一零點； （2）設，若對于，有，求的取值范圍； （3）在（1）的條件下，設是在內的零點，判斷數列的增減性. 9.設函數是自然對數的底數，. （1）求的單調區(qū)間及最大值； （2）討論關于的方程根的個數. 9.函數與方程 一、知識要點 1.零點的概念 （1）定義 使函數的實數的值叫的零點. （2）幾何意義及代數意義 的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根. 2.零點的性質 （1）函數的圖象穿過零點時，函數值變號； （2）相鄰兩零點之間的函數值同號. 3.零點存在性的判斷（零點定理） （1）在區(qū)間上的連續(xù)函數滿足，則至少存在一個實數，使得，即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調，則在上存在唯一實數，使得. 4.求方程的實根（或判斷實根個數）的方法 （1）代數法：解方程； （2）數形結合法：求曲線與軸的交點； （3）輔助函數法：求曲線與的交點個數，轉化為求函數的零點個數. 5.用“二分法”求零點的近似值 （1）給定區(qū)間及精確度，驗證； （2）求區(qū)間的中點，計算； （3）驗證與的符號： ①若，則為零點； ②若，則零點，令； ③若，則零點，令； ④判斷是否成立，若成立，則任取中的一個數為零點，否則，重復②至④的步驟. 二、考點演練 題型一：確定零點所在的區(qū)間 1.設函數與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【解析】令. 則；； .所以，所以所在的區(qū)間是.選B. 2.已知函數，當時，函數的零點，則________. 【解析】令，則 ，，所以的零點，則. 題型二：確定區(qū)間上零點的個數 3.若函數的兩個極值點為，且，則關于的方程的不同實根個數為________. 【解析】，因為是的兩個極值點，所以是的兩根，于是方程的解為 . 不妨令，因為，所以同圖象知有兩解，只有一解，所以共有3個實數解. 4.已知定義在R上的偶函數滿足，且當時，，則方程的實數解的個數為________. 【解析】方程的實數解的個數即為函數與的圖象的交點個數. 由已知得是周期為2的周期函數，其圖象如圖所示，當時，，所以共有9個交點，即方程有9個實數解. 題型三：利用零點確定參數的值或取值范圍 5.設方程的根為，方程的根為，則的值為______. 【解析】即為與的圖象的交點M的橫坐標；即與的圖象的交點N的橫坐標.因為與的圖象關于直線對稱，直線也關于對稱，所以兩個交點關于對稱，于是與的交點P即為MN的中點，所以. 6.已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是________. 【解析】在上存在點，其關于軸的對稱點在的圖象上， 所以， 即. 等價于函數在存在零點. 因為，所以在遞增，當時，，要使在存在零點，只需， 即，所以. 7.設是定義在R上的偶函數，對于，都有，且當時，，若在區(qū)間內關于的方程恰有7個不同的實數根，則的取值范圍是________. 【解析】方程在有7個實數根，即為與的圖象有7個交點，由已知得是周期為2的周期函數，由圖象得，解之得. 題型四：零點的綜合應用 8.設函數. （1）設，證明：在區(qū)間內存在唯一零點； （2）設，若對于，有，求的取值范圍； （3）在（1）的條件下，設是在內的零點，判斷數列的增減性. 【解析】（1）當時，. . 又因為當時，， ， . （2）當時，. 對任意 上的最大值與最小值之差. 據此分類討論如下： .. . .. . .. . 綜上得. （3）證法一：設是在內的唯一零點. . 則 . 又由（1）知在上遞增，所以. 所以數列是遞增數列. 9.設函數是自然對數的底數，. （1）求的單調區(qū)間及最大值； （2）討論關于的方程根的個數. 【解析】（1）. 令，則. 當時，，單調遞增； 當時，，單調遞減. 于是函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.最大值為. （2）令，. ①當時. ，則， 則. 因為，所以，因此在(1,＋∞)上單調遞增. ②當時. ，則. 則. 因為，， 所以. 又，所以，即，因此g(x)在(0,1)上單調遞減. 綜合①②可知，當時，. 當，即時，沒有零點， 方程根的個數為0； 當，即時，有唯一零點，方程根的個數為1； 當，即時，有兩個零點，方程根的個數為2. 綜上，當時，方程根的個數為0； 當時，方程根的個數為1； 當時，方程根的個數為2.