2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3《數(shù)學(xué)歸納法》第1課時教案 新人教A版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3《數(shù)學(xué)歸納法》第1課時教案 新人教A版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo) 1.了解歸納法的意義,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能以遞推思想作指導(dǎo),理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟. 3.抽象思維和概括能力進一步得到提高. 二、教學(xué)重點與難點 重點:借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想,掌握它的基本步驟,運用它證明一些與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 難點:1、學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實質(zhì),具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用,不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明; 2、運用數(shù)學(xué)歸納法時,在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。 三、教學(xué)過程 (一)創(chuàng)設(shè)情景 對于數(shù)列{an},已知, (n=1,2,…), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確需要證明。 一般來說,與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n比較小時可以逐個驗證,但當(dāng)n較大時,驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數(shù)時逐一驗證是不可能的。因此,我們需要尋求一種方法:通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數(shù)都成立。 (二)研探新知 1、了解多米諾骨牌游戲。 可以看出,只要滿足以下兩條件,所有多米諾骨牌就都能倒下: (1)第一塊骨牌倒下; (2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 思考:你認為條件(2)的作用是什么? 可以看出,條件(2)事實上給出了一個遞推關(guān)系: 當(dāng)?shù)趉塊倒下時,相鄰的第k+1塊也倒下。 這樣,要使所有的骨牌全部倒下,只要保證(1)(2)成立。 2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。 思考:你認為證明數(shù)列的通過公式是 這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎? 分析: 多米諾骨牌游戲原理 通項公式的證明方法 (1)第一塊骨牌倒下。 (1)當(dāng)n=1時a1=1,猜想成立 (2)若第k塊倒下時,則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當(dāng)n=k時猜想成立,即 ,則當(dāng)n=k+1時猜想也成立,即 。 根據(jù)(1)和 (2),可知不論有多少塊骨牌,都能全部倒下。 根據(jù)(1)和(2),可知對任意的正整數(shù)n,猜想都成立。 3、數(shù)學(xué)歸納法的原理 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k()時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 注意:(1)這兩步步驟缺一不可。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時,難點和關(guān)鍵都在第二步,而在這一步主要在于合理運用歸納假設(shè),結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識,證明“當(dāng)n=k+1時命題成立”。 (3)數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題,但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學(xué)歸納法證明,學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。 4、例題講解 例1 課本P94 例2 課本P94 例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2。 證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,就是1+3+5+…+(2k-1)=k2, 那么 1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。 即當(dāng)n=k+1時等式也成立。 根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N *都成立。 (三)課堂練習(xí): 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+…+n=。 2、課本P95練習(xí)1、2。 (四)小結(jié) : 數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟。 (五)布置作業(yè):- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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