2019-2020年高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì) 板塊六 回歸分析完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì) 板塊六 回歸分析完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 一．隨機(jī)抽樣 1．隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法： ⑴簡單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣． 抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號后抽簽的方法． ②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表．表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同． 隨機(jī)數(shù)表法是對樣本進(jìn)行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的方法． 簡單隨機(jī)抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法． ⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法． 抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為的總體中抽取容量為的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設(shè)，先對總體進(jìn)行編號，號碼從到，再從數(shù)字到中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為起始數(shù)，然后順次抽取第個(gè)數(shù)，這樣就得到容量為的樣本．如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣． 系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣． ⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣． 分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛． 2．簡單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)： ⑴簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的． ⑵簡單隨機(jī)樣本數(shù)小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)． ⑶簡單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的． ⑷簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣． ⑸簡單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為． 3．系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)恰好是樣本容量的整數(shù)倍時(shí)，??； 若不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除．因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會相等，因而整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會仍然相等，為． 二．頻率直方圖 列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟： ①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差； ②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)； ③決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組； ④列頻率分布直方圖：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率． ⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖， 知小長方形的面積＝組距＝頻率． 頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義． 總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律． 三．莖葉圖 制作莖葉圖的步驟： ①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分； ②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線； ③將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應(yīng)莖處同行列出． 四．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差． 數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述． 極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度； 樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根． 一般地，設(shè)樣本的元素為樣本的平均數(shù)為， 定義樣本方差為， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 簡化公式：． 五．獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．兩個(gè)變量之間的關(guān)系； 常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的．當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系． 2．散點(diǎn)圖：將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點(diǎn)圖． 散點(diǎn)圖形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個(gè)變量的關(guān)系． 3．如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域． 反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域． 散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系． 4．統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件與獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有，用字母表示此式，即，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè)． 5．（讀作“卡方”）統(tǒng)計(jì)量： 統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為，用它的大小可以用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)．如果的值較大，就拒絕，即認(rèn)為與是有關(guān)的． 統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：、；當(dāng)時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，認(rèn)為事件與是無關(guān)的． 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的． 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：；列出聯(lián)表；計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；查對臨界值表，作出判斷． 2．幾個(gè)臨界值：． 聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)： 如果對于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張的表，如下： 狀態(tài) 狀態(tài) 合計(jì) 狀態(tài) 狀態(tài) 如果有調(diào)查得來的四個(gè)數(shù)據(jù)，并希望根據(jù)這樣的個(gè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)上述的兩種狀態(tài)與是否有關(guān)，就稱之為聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)． 六．回歸分析 1．回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性． 回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 2．最小二乘法： 記回歸直線方程為：，稱為變量對變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)． 是為了區(qū)分的實(shí)際值，當(dāng)取值時(shí)，變量的相應(yīng)觀察值為，而直線上對應(yīng)于的縱坐標(biāo)是． 設(shè)的一組觀察值為，，且回歸直線方程為， 當(dāng)取值時(shí)，的相應(yīng)觀察值為，差刻畫了實(shí)際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差． 我們希望這個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn)． 記，回歸直線就是所有直線中取最小值的那條． 這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法． 用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式： ，，其中上方加“”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù)． 3．線性回歸模型：將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型． 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較??； ③由于測量工具等原因，存在觀測誤差． 4．線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值： 利用最小二乘法可以得到的計(jì)算公式為 ，，其中， 由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 5．相關(guān)系數(shù)： 6．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： ⑴； ⑵越接近于1，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； ⑶越接近于0，的線性相關(guān)程度越弱． 可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)． 7．轉(zhuǎn)化思想： 根據(jù)專業(yè)知識或散點(diǎn)圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)． 8．一些備案 ①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸”這個(gè)詞英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Francils Galton提出來的．1889年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高．Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”．后來，人們把由一個(gè)變量的變化去推測另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析． ②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程： ， 把上式看成的二次函數(shù)，的系數(shù)， 因此當(dāng)時(shí)取最小值． 同理，把的展開式按的降冪排列，看成的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取最小值． 解得：，， 其中，是樣本平均數(shù)． 9． 對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟： ①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：變量不具有線性相關(guān)關(guān)系； ②如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）； ③計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)； ④作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 說明： ⑴對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為． ⑵這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系． ⑶這里的是對抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時(shí)即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋． 典例分析 題型一 線性相關(guān)及回歸 【例1】 已知變量與之間的相關(guān)系數(shù)是，查表得到相關(guān)系數(shù)臨界值，要使可靠性不低于，則變量與之間（ ） A．不具有線性相關(guān)關(guān)系 B．具有線性相關(guān)關(guān)系 C．線性相關(guān)關(guān)系還待進(jìn)一步確定 D．具有確定性關(guān)系 【例2】 當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明（ ） A現(xiàn)象之間完全無關(guān) B相關(guān)程度較小 C現(xiàn)象之間完全相關(guān) D無直線相關(guān)關(guān)系 【例3】 下列結(jié)論中，能表示變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是（ ） A． B． C． D． 【例4】 下列現(xiàn)象的相關(guān)密切程度最高的是（ ） A．某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關(guān)系數(shù) B．流通費(fèi)用水平與利潤率之間的相關(guān)關(guān)系為 C．商品銷售額與利潤率之間的相關(guān)系數(shù)為 D．商品銷售額與流通費(fèi)用水平的相關(guān)系數(shù)為 【例5】 在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（ ） ①若的值為6．635，我們有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。? ③若從統(tǒng)計(jì)量中求出有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤； ④以上三種說法都不正確． 【例6】 設(shè)兩個(gè)變量和之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是，關(guān)于的回歸直線的斜率是，縱截距是，那么必有（ ） A．與的符號相同 B．與的符號相同 C．與的相反 D．與的符號相反 【例7】 定義：點(diǎn)與直線的“縱向距離”為．已知三點(diǎn)，存在直線，使三點(diǎn)到直線的“縱向距離的平方和”最小． ⑴求直線的方程和的最小值； ⑵判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系． 【例8】 （xx寧夏海南卷理） 對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2． 由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷． A．變量與正相關(guān)，與正相關(guān) B．變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) C．變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) D．變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) 【例9】 為了考查兩個(gè)變量和之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了次和次的試驗(yàn)， 并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為，已知兩人得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量和的數(shù)據(jù)的平均值都對應(yīng)相等，那么下列說法正確的是（　　） A．直線和一定有交點(diǎn) B．直線一定平行于直線 C．直線一定與重合 D．以上都不對 【例10】 某地高校教育經(jīng)費(fèi)與高校學(xué)生人數(shù)連續(xù)6年的統(tǒng)計(jì)資料如下： 教育經(jīng)費(fèi)（萬元） 316 343 373 393 418 455 在校學(xué)生（萬人） 11 16 18 20 22 25 試求回歸直線方程，估計(jì)教育經(jīng)費(fèi)為500萬元時(shí)的在校學(xué)生數(shù)． 【例11】 一家庭問題研究機(jī)構(gòu)想知道是否夫妻所受的教育越高越不愿生孩子，現(xiàn)隨機(jī)抽樣了對夫妻，計(jì)算夫妻所受教育的總年數(shù)與孩子數(shù)，得結(jié)果如下 19 17 21 18 15 12 14 20 1 3 1 1 2 3 2 1 試求對回歸直線方程． 【例12】 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： ⑴畫出散點(diǎn)圖；⑵求回歸直線方程． 【例13】 某五星級大飯店的住屋率與每天每間客房的成本（元）如下： 100 75 65 55 50 xx 2500 2800 3200 4000 ⑴試求對回歸直線； ⑵若的表示不變，以小數(shù)表示（如表為），求新的回歸直線． 【例14】 某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料： 日 期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 晝夜溫差（） 就診人數(shù)（個(gè)） 該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． ⑴若選取的月與月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程； ⑵若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想? 【例15】 某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位在成本的資料如下： 產(chǎn)量（千件） 2 3 4 3 4 5 單位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68 試求： ⑴計(jì)算相關(guān)系數(shù)； ⑵對直線回歸方程； ⑶指出產(chǎn)量每增加件時(shí)，單位成本平均下降了多少元？ 【例16】 求回歸直線方程 以下是收集到的某城市的新房屋銷售價(jià)格與房屋的大小的數(shù)據(jù)： 房屋大?。ǎ? 銷售價(jià)格（萬元） ⑴畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； ⑵用最小二乘法求回歸直線方程； ⑶估計(jì)該城市一個(gè)平米的房屋銷售價(jià)格大約為多少？ ⑷寫一個(gè)程序，計(jì)算出和的值，再比較大?。? 【例17】 （07廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù) 3 4 5 6 3 4 ⑴請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； ⑵請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程； ⑶已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? （參考數(shù)值：） 【例18】 測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量，數(shù)據(jù)如下表： （周） 2 4 6 8 10 12 14 （） 由經(jīng)驗(yàn)知生長曲線為，試求對的回歸曲線方程． 【例19】 為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化的繁殖個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 繁殖個(gè)數(shù) 6 12 25 49 95 190 ⑴作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； ⑵求出y對x的回歸方程．