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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版
一.課標(biāo)要求:
1.通過實例,理解等比數(shù)列的概念;
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式;
3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。
二.命題走向
等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位,是高考出題的重點??陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用,對基本的運算要求比較高,解答題大多以數(shù)列知識為工具。
預(yù)測07年高考對本講的考察為:
(1)題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目;
(2)關(guān)于等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點;
(3)解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等,它將能靈活考察考生運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。
三.要點精講
1.等比數(shù)列定義
一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;公比通常用字母表示,即::數(shù)列對于數(shù)列(1)(2)(3)都是等比數(shù)列,它們的公比依次是2,5,。(注意:“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零)
2.等比數(shù)列通項公式為:。
說明:(1)由等比數(shù)列的通項公式可以知道:當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列;(2)等比數(shù)列的通項公式知:若為等比數(shù)列,則。
3.等比中項
如果在中間插入一個數(shù),使成等比數(shù)列,那么叫做的等比中項(兩個符號相同的非零實數(shù),都有兩個等比中項)。
4.等比數(shù)列前n項和公式
一般地,設(shè)等比數(shù)列的前n項和是,當(dāng)時, 或;當(dāng)q=1時,(錯位相減法)。
說明:(1)和各已知三個可求第四個;(2)注意求和公式中是,通項公式中是不要混淆;(3)應(yīng)用求和公式時,必要時應(yīng)討論的情況。
四.典例解析
題型1:等比數(shù)列的概念
例1.“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”;“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”;“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”;“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”,以上四個命題中,正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析:四個命題中只有最后一個是真命題。
命題1中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列;
命題2中可知an+1=an,an+1
an,即an+1>an,此時該數(shù)列為遞增數(shù)列;
命題3中,若a=b=0,c∈R,此時有,但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列,所以應(yīng)是必要而不充分條件,若將條件改為b=,則成為不必要也不充分條件。
點評:該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論,為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。
例2.命題1:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
命題2:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
命題3:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=na-n,則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;上述三個命題中,真命題有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
解析: 由命題1得,a1=a+b,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1。若{an}是等比數(shù)列,則=a,即=a,所以只有當(dāng)b=-1且a≠0時,此數(shù)列才是等比數(shù)列。
由命題2得,a1=a+b+c,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2na+b-a,若{an}是等差數(shù)列,則a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有當(dāng)c=0時,數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。
由命題3得,a1=a-1,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=a-1,顯然{an}是一個常數(shù)列,即公差為0的等差數(shù)列,因此只有當(dāng)a-1≠0;即a≠1時數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。
點評:等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系,上述三個命題均涉及到Sn與an的關(guān)系,它們是an=,正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列,都必須用上述關(guān)系式,尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題,選擇A。
題型2:等比數(shù)列的判定
例3.(xx全國理,20)(Ⅰ)已知數(shù)列{cn},其中cn=2n+3n,且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列,求常數(shù)p;(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列,cn=an+bn,證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列。
解析:(Ⅰ)解:因為{cn+1-pcn}是等比數(shù)列,
故有:(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),
將cn=2n+3n代入上式,得:
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)][2n+3n-p(2n-1+3n-1)],
即[(2-p)2n+(3-p)3n]2
=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],
整理得(2-p)(3-p)2n3n=0,解得p=2或p=3。
(Ⅱ)證明:設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q,p≠q,cn=an+bn。
為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1c3。
事實上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,
c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2),
由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不為零,
因此c22≠c1c3,故{cn}不是等比數(shù)列。
點評:本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì),推理和運算能力。
例4.(xx京春,21)如圖3—1,在邊長為l的等邊△ABC中,圓O1為△ABC的圖3—1
內(nèi)切圓,圓O2與圓O1外切,且與AB,BC相切,…,圓On+1與圓On外切,且與AB、BC相切,如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an(n∈N*),證明{an}是等比數(shù)列;
證明:記rn為圓On的半徑,則r1=tan30=。=sin30=,所以rn=rn-1(n≥2),于是a1=πr12=,故{an}成等比數(shù)列。
點評:該題考察實際問題的判定,需要對實際問題情景進(jìn)行分析,最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。
題型3:等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用
例5.一個等比數(shù)列有三項,如果把第二項加上4,那么所得的三項就成為等差數(shù)列,如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32,那么所得的三項又成為等比數(shù)列,求原來的等比數(shù)列。
解析:設(shè)所求的等比數(shù)列為a,aq,aq2;
則2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);
解得a=2,q=3或a=,q=-5;
故所求的等比數(shù)列為2,6,18或,-,。
點評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量,先求公比,后求其它量,這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法,其優(yōu)點是思路簡單、實用,缺點是有時計算較繁。
例6.(xx年陜西卷)已知正項數(shù)列,其前項和滿足且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項
解析:∵10Sn=an2+5an+6, ①
∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3。
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2)。
當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73,a1, a3,a15不成等比數(shù)列
∴a1≠3;
當(dāng)a1=2時,,a3=12, a15=72,有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3。
點評:該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系,最終求得結(jié)果。
題型4:等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用
例7.(1)(xx年遼寧卷)在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于( )
A. B. C. D.
(2)(xx年北京卷)設(shè),則等于( )
A. B. C. D.
(3)(1996全國文,21)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q;解析:(1)因數(shù)列為等比,則,因數(shù)列也是等比數(shù)列,
則
即,所以,故選擇答案C。
(2)D;
(3)解:若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。
因a1≠0,得S3+S6≠2S9,顯然q=1與題設(shè)矛盾,故q≠1。
由S3+S6=2S9,得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,從而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3≠1,故q3=-,所以q=-。
點評:對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式,對應(yīng)好首項和公比求出最終結(jié)果即可。
例8.(1)(xx江蘇,18)設(shè){an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分別求出{an}及{bn}的前10項的和S10及T10;
(2)(xx全國春季北京、安徽,20)在1與2之間插入n個正數(shù)a1,a2,a3……,an,使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個正數(shù)b1,b2,b3,……,bn,使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3……an,Bn=b1+b2+b3+……+bn.
(Ⅰ)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項;
(Ⅱ)當(dāng)n≥7時,比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論。
(3)(xx天津理,22)已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0,a2=3,
an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….
(Ⅰ)求a3;
(Ⅱ)證明an=an-2+2,n=3,4,5,…;
(Ⅲ)求{an}的通項公式及其前n項和Sn。
解析:(1)∵{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,
∴a2+a4=2a3,b2b4=b32.
已知a2+a4=b3,b2b4=a3,
∴b3=2a3,a3=b32.
得 b3=2b32.
∵b3≠0 ∴b3=,a3=.
由a1=1,a3=知{an}的公差為d=,
∴S10=10a1+.
由b1=1,b3=知{bn}的公比為q=或q=.
當(dāng)q=時,,
當(dāng)q=時,。
(2)(Ⅰ)設(shè)公比為q,公差為d,等比數(shù)列1,a1,a2,……,an,2,等差數(shù)列1,b1,b2,……,bn,2。
則A1=a1=1q A2=1q1q2 A3=1q1q21q3
又∵an+2=1qn+1=2得qn+1=2,
An=qq2…qn=q(n=1,2,3…)
又∵bn+2=1+(n+1)d=2 ∴(n+1)d=1
B1=b1=1+d B2=b2+b1=1+d+1+2d Bn=1+d+…+1+nd=n
(Ⅱ)An>Bn,當(dāng)n≥7時
證明:當(dāng)n=7時,23.5=8=An Bn=7,∴An>Bn
設(shè)當(dāng)n=k時,An>Bn,則當(dāng)n=k+1時,
又∵Ak+1= 且Ak>Bk ∴Ak+1>k
∴Ak+1-Bk+1>
又∵k=8,9,10… ∴Ak+1-Bk+1>0,綜上所述,An>Bn成立.
(3)(Ⅰ)解:由題設(shè)得a3a4=10,且a3、a4均為非負(fù)整數(shù),所以a3的可能的值為1,2,5,10.
若a3=1,則a4=10,a5=,與題設(shè)矛盾.
若a3=5,則a4=2,a5=,與題設(shè)矛盾.
若a3=10,則a4=1,a5=60,a6=,與題設(shè)矛盾.
所以a3=2.
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=3,a3=a1+2,等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時等式成立,即ak=ak-2+2,由題設(shè)ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),因為ak=ak-2+2≠0,所以ak+1=ak-1+2,
也就是說,當(dāng)n=k+1時,等式ak+1=ak-1+2成立;
根據(jù)①和②,對于所有n≥3,有an+1=an-1+2。
(Ⅲ)解:由a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及a2k=a2(k-1)+2,a2=3得a2k-1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,…,即an=n+(-1)n,n=1,2,3,…。
所以Sn=
點評:本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項和等基礎(chǔ)知識,以及準(zhǔn)確表述,分析和解決問題的能力。
題型5:等比數(shù)列的性質(zhì)
例9.(1)(xx江蘇3)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前三項和為21,則a3+a4+a5=( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
(2)(xx上海,12)在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式 成立。
解析:(1)答案:C;解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。
(2)答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*);
解:在等差數(shù)列{an}中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,
所以a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,
又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1
∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n,
若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+a17-n,
相應(yīng)地等比數(shù)列{bn}中,則可得:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)。
點評:本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。
例10.(1)設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列,它的前n項和為80,前2n項和為6560,且前n項中數(shù)值最大的項為54,求此數(shù)列的首項和公比q。
(2)在和之間插入n個正數(shù),使這個數(shù)依次成等比數(shù)列,求所插入的n個數(shù)之積。
(3)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),項數(shù)是偶數(shù),它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍,且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍,問數(shù)列{lgan}的前多少項和最大?(lg2=0 3,lg3=0.4)
解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,依題意設(shè):a1>0,Sn=80 ,S2n=6560。
∵S2n≠2Sn ,∴q≠1;
從而 =80,且=6560。
兩式相除得1+qn=82 ,即qn=81。
∴a1=q-1>0 即q>1,從而等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,故前n項中數(shù)值最大的項為第n項。
∴a1qn-1=54,從而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54。
∴qn-1=81-54=27
∴q==3。
∴a1=q-1=2
故此數(shù)列的首為2,公比為3。
(2)解法1:設(shè)插入的n個數(shù)為,且公比為q,
則
。
解法2:設(shè)插入的n個數(shù)為,
。
(3)解法一 設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,m∈N*,
依題意有:,
化簡得,
設(shè)數(shù)列{lgan}前n項和為Sn,
則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1nq1+2+…+(n-1)
=nlga1+n(n-1)lgq=n(2lg2+lg3)-n(n-1)lg3
=(-)n2+(2lg2+lg3)n
可見,當(dāng)n=時,Sn最大,
而=5,故{lgan}的前5項和最大,
解法二 接前,,于是lgan=lg[108()n-1]=lg108+(n-1)lg,
∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項,以lg為公差的等差數(shù)列,
令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,
∴n≤=5.5,
由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項和最大。
點評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量,先求公比,后求其它量,這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法,其優(yōu)點是思路簡單、實用,缺點是有時計算較繁;第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì),與“首末項等距”的兩項積相等,這在解題中常用到。
題型6:等差、等比綜合問題
例11.(xx年廣東卷)已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9,無窮等比數(shù)列各項的和為。
(Ⅰ)求數(shù)列的首項和公比;
(Ⅱ)對給定的,設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項之和。
解析:(Ⅰ)依題意可知:,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以數(shù)列的的首項為,公差,,即數(shù)列的前10項之和為155。
點評:對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題,一定要區(qū)分開各自的公式,不要混淆。
五.思維總結(jié)
1.等比數(shù)列的知識要點(可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí))
(1)掌握等比數(shù)列定義=q(常數(shù))(nN),同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù),也可由anan+2=來判斷;
(2)等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn-1;
(3)對于G 是a、b 的等差中項,則G2=ab,G=;
(4)特別要注意等比數(shù)列前n 項和公式應(yīng)分為q=1與q≠1兩類,當(dāng)q=1時,Sn=na1,當(dāng)q≠1時,Sn=,Sn=。
2.等比數(shù)列的判定方法
①定義法:對于數(shù)列,若,則數(shù)列是等比數(shù)列;
②等比中項:對于數(shù)列,若,則數(shù)列是等比數(shù)列。
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
①等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果是等比數(shù)列的第項,是等差數(shù)列的第項,且,公比為,則有;
②對于等比數(shù)列,若,則,也就是:,如圖所示:。
③若數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項的和,,那么,,成等比數(shù)列。
如下圖所示:
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