2019-2020年高中數(shù)學《導數(shù)在實際生活中的應用》教案3 蘇教版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學《導數(shù)在實際生活中的應用》教案3 蘇教版選修2-2 教學目的: 1. 進一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法; ⒉初步會解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題 教學重點:解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題. 教學難點:解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題. 授課類型:新授課 課時安排:1課時 教 具:多媒體、實物投影儀 教學過程: 一、復習引入: 1.極大值: 一般地,設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f(x)<f(x0),就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,記作y極大值=f(x0),x0是極大值點 2.極小值:一般地,設函數(shù)f(x)在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f(x)>f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足,且在的兩側的導數(shù)異號,則是的極值點,是極值,并且如果在兩側滿足“左正右負”,則是的極大值點,是極大值;如果在兩側滿足“左負右正”,則是的極小值點,是極小值 5. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點,順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左右不改變符號即都為正或都為負,那么f(x)在這個根處無極值 6.函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值.⑴在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值. ⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不止一個,也可能沒有一個 7.利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:⑴求在內(nèi)的極值;⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值 二、講解范例: _ x _ x _ 60 _ 60 x x 例1在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底的邊長是多少時,箱底的容積最大?最大容積是多少? 解法一:設箱底邊長為xcm,則箱高cm,得箱子容積 . 令 =0,解得 x=0(舍去),x=40, 并求得 V(40)=16 000 由題意可知,當x過?。ń咏?)或過大(接近60)時,箱子容積很小,因此,16 000是最大值 答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16 000cm3 解法二:設箱高為xcm,則箱底長為(60-2x)cm,則得箱子容積 .(后面同解法一,略) 由題意可知,當x過小或過大時箱子容積很小,所以最大值出現(xiàn)在極值點處. 事實上,可導函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點,從圖象角度理解即只有一個波峰,是單峰的,因而這個極值點就是最值點,不必考慮端點的函數(shù)值 例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底與半徑應怎樣選取,才能使所用的材料最??? 解:設圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h,得,則 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得,R=,從而h====2 即 h=2R 因為S(R)只有一個極值,所以它是最小值 答:當罐的高與底直徑相等時,所用材料最省 變式:當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的高與底面半徑應怎樣選取,才能使所用材料最??? 提示:S=2+h= V(R)=R= )=0 . 例3在經(jīng)濟學中,生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同,記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤函數(shù),記為P(x)。 (1)、如果C(x)=,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時,邊際最低?(邊際成本:生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) (2)、如果C(x)=50x+10000,產(chǎn)品的單價P=100-0.01x,那么怎樣定價,可使利潤最大? 變式:已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為.求產(chǎn)量q為何值時,利潤L最大? 分析:利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式,再用導數(shù)求最大利潤. 解:收入, 利潤 令,即,求得唯一的極值點 答:產(chǎn)量為84時,利潤L最大 三、課堂練習: 1.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是___________. 2.函數(shù)f(x)=sin2x-x在[-,]上的最大值為_____;最小值為_______. 3.將正數(shù)a分成兩部分,使其立方和為最小,這兩部分應分成______和___. 4.使內(nèi)接橢圓=1的矩形面積最大,矩形的長為_____,寬為_____. 5.在半徑為R的圓內(nèi),作內(nèi)接等腰三角形,當?shù)走吷细邽開__時,它的面積最大 答案:1. -15 2. - 3. 4.a b 5.R 四、小結 : ⑴解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題,需要分析問題中各個變量之間的關系,找出適當?shù)暮瘮?shù)關系式,并確定函數(shù)的定義區(qū)間;所得結果要符合問題的實際意義. ⑵根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時,如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點,那么這個極值就是所求最值,不必再與端點值比較. ⑶相當多有關最值的實際問題用導數(shù)方法解決較簡單 五、課后作業(yè): 1.有一邊長分別為8與5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起作成一個無蓋小盒,要使紙盒的容積最大,問剪去的小正方形的邊長應為多少? 解:(1)正方形邊長為x,則V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0- 配套講稿:
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