2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修5 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系； 2. 了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項； 3. 對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P28 ~ P30 ，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：函數(shù)，當(dāng)x依次取1，2，3，…時，其函數(shù)值有什么特點？ 復(fù)習(xí)2：函數(shù)y=7x+9，當(dāng)x依次取1，2，3，…時，其函數(shù)值有什么特點？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：數(shù)列的概念 ⒈ 數(shù)列的定義： 的一列數(shù)叫做數(shù)列. ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的 都叫做這個數(shù)列的項. 反思： ⑴ 如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們是相同的數(shù)列？ ⑵ 同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？ 3. 數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第 項. 4. 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用 來表示，那么 就叫做這個數(shù)列的通項公式. 反思： ⑴所有數(shù)列都能寫出其通項公式？ ⑵一個數(shù)列的通項公式是唯一？ ⑶數(shù)列與函數(shù)有關(guān)系嗎？如果有關(guān)，是什么關(guān)系？ 5．?dāng)?shù)列的分類： 1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分 數(shù)列和 數(shù)列； 2）根據(jù)數(shù)列中項的大小變化情況分為 數(shù)列， 數(shù)列， 數(shù)列和 數(shù)列. ※ 典型例題 例1寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： ⑴ 1，－，，－； ⑵ 1， 0， 1， 0. 變式：寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： ⑴ ，，，； ⑵ 1， －1， 1， －1； 小結(jié)：要由數(shù)列的若干項寫出數(shù)列的一個通項公式，只需觀察分析數(shù)列中的項的構(gòu)成規(guī)律，將項表示為項數(shù)的函數(shù)關(guān)系. 例2已知數(shù)列2，，2，…的通項公式為，求這個數(shù)列的第四項和第五項. 變式：已知數(shù)列，，，，，…，則5是它的第 項. 小結(jié)：已知數(shù)列的通項公式，只要將數(shù)列中的項代入通項公式，就可以求出項數(shù)和項. ※ 動手試試 練1. 寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： ⑴ 1， ，， ； ⑵ 1，，，2 . 練2. 寫出數(shù)列的第20項，第n＋1項. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式； 2. 會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項. ※ 知識拓展 數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集的特殊函數(shù). 思考：設(shè)＝1＋＋＋…＋（n）那么等于（ ） A. B. C. D. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 下列說法正確的是（ ）. A. 數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個數(shù) B. 1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列 C. 1，1，1，1…不是數(shù)列 D. 兩個數(shù)列的每一項相同，則數(shù)列相同 2. 下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列中的一項（ ）. A. 380 B. 392 C. 321 D. 232 3. 在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)： 3，8，15， ，35，48. 4.數(shù)列的第4項是 . 5. 寫出數(shù)列，，，的一個通項公式 . 課后作業(yè) 1. 寫出數(shù)列｛｝的前5項. 2. （1）寫出數(shù)列，，，的一個通項公式為 . （2）已知數(shù)列，，，，，… 那么3是這個數(shù)列的第 項. 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(2) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2. 會由遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，并掌握求簡單數(shù)列的通項公式的方法. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P31 ~ P34 ，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的通項公式？ 復(fù)習(xí)2：數(shù)列如何分類？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：數(shù)列的表示方法 問題：觀察鋼管堆放示意圖，尋找每層的鋼管數(shù)與層數(shù)n之間有何關(guān)系？ 1. 通項公式法： 試試：上圖中每層的鋼管數(shù)與層數(shù)n之間關(guān)系的一個通項公式是 . 2. 圖象法： 數(shù)列的圖形是 ，因為橫坐標(biāo)為 數(shù)，所以這些點都在y軸的 側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的 ．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢． 3. 遞推公式法： 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. 試試：上圖中相鄰兩層的鋼管數(shù)與之間關(guān)系的一個遞推公式是 . 4. 列表法： 試試：上圖中每層的鋼管數(shù)與層數(shù)n之間關(guān)系的用列表法如何表示？ 反思：所有數(shù)列都能有四種表示方法嗎？ ※ 典型例題 例1 設(shè)數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項. 變式：已知，，寫出前5項，并猜想通項公式. 小結(jié)：由遞推公式求數(shù)列的項，只要讓n依次取不同的值代入遞推公式就可求出數(shù)列的項. 例2 已知數(shù)列滿足，， 那么（ ）. A. xxxx B. xxxx C. xxxx D. 變式：已知數(shù)列滿足，，求. 小結(jié)：由遞推公式求數(shù)列的通項公式，適當(dāng)?shù)淖冃闻c化歸及歸納猜想都是常用方法. ※ 動手試試 練1. 已知數(shù)列滿足，，且（），求. 練2.（xx年湖南）已知數(shù)列滿足， （），則（ ） . A．0 B.－ C. D. 練3. 在數(shù)列中，，，通項公式是項數(shù)n的一次函數(shù). ⑴ 求數(shù)列的通項公式； ⑵ 88是否是數(shù)列中的項. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 數(shù)列的表示方法； 2. 數(shù)列的遞推公式. ※ 知識拓展 n刀最多能將比薩餅切成幾塊？ 意大利一家比薩餅店的員工喬治喜歡將比薩餅切成形狀各異的小塊，以便出售. 他發(fā)現(xiàn)一刀能將餅切成兩塊，兩刀最多能切成4塊，而三刀最多能切成7塊（如圖）.請你幫他算算看，四刀最多能將餅切成多少塊？n刀呢？ 解析：將比薩餅抽象成一個圓，每一刀的切痕看成圓的一條弦. 因為任意兩條弦最多只能有一個交點，所以第n刀最多與前n－1刀的切痕都各有一個不同的交點，因此第n刀的切痕最多被前n－1刀分成n段，而每一段則將相應(yīng)的一塊餅分成兩塊. 也就是說n刀切下去最多能使餅增加n塊. 記刀數(shù)為1時，餅的塊數(shù)最多為，……，刀數(shù)為n時，餅的塊數(shù)最多為，所以=. 由此可求得=1+. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 已知數(shù)列，則數(shù)列是（ ）. A. 遞增數(shù)列 B. 遞減數(shù)列 C. 擺動數(shù)列 D. 常數(shù)列 2. 數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是（ ）. A. 3 B. 13 C. 13 D. 12 3. 數(shù)列滿足，（n≥1），則該數(shù)列的通項（ ）. A. B. C. D. 4. 已知數(shù)列滿足，（n≥2），則 . 5. 已知數(shù)列滿足，（n≥2）， 則 . 課后作業(yè) 1. 數(shù)列中，＝0，＝＋(2n－1) (n∈N)，寫出前五項，并歸納出通項公式. 2. 數(shù)列滿足，，寫出前5項，并猜想通項公式. 2.2等差數(shù)列（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解等差數(shù)列的概念，了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列； 2. 探索并掌握等差數(shù)列的通項公式； 3. 正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列？ 復(fù)習(xí)2：數(shù)列有幾種表示方法？分別是哪幾種方法？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：等差數(shù)列的概念 問題1：請同學(xué)們仔細(xì)觀察，看看以下四個數(shù)列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它 一項的 等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中項：由三個數(shù)a，A， b組成的等差數(shù)列， 這時數(shù) 叫做數(shù) 和 的等差中項，用等式表示為A= 探究任務(wù)二：等差數(shù)列的通項公式 問題2：數(shù)列①、②、③、④的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？ 若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得： ，即： ， 即： ，即： …… 由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得： ∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項. ※ 典型例題 例1 ⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項； ⑵ －401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？ 變式：（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第10項. （2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 小結(jié)：要求出數(shù)列中的項，關(guān)鍵是求出通項公式；要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù). 例2 已知數(shù)列{}的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是多少？ 變式：已知數(shù)列的通項公式為，問這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 小結(jié)：要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n≥2）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù). ※ 動手試試 練1. 等差數(shù)列1，－3，－7，－11，…，求它的通項公式和第20項. 練2.在等差數(shù)列的首項是， 求數(shù)列的首項與公差. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等差數(shù)列定義： (n≥2)； 2. 等差數(shù)列通項公式： (n≥1). ※ 知識拓展 1. 等差數(shù)列通項公式為或. 分析等差數(shù)列的通項公式，可知其為一次函數(shù)，圖象上表現(xiàn)為直線上的一些間隔均勻的孤立點. 2. 若三個數(shù)成等差數(shù)列，且已知和時，可設(shè)這三個數(shù)為. 若四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)這四個數(shù)為. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 等差數(shù)列1，－1，－3，…，－89的項數(shù)是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 45 2. 數(shù)列的通項公式，則此數(shù)列是（ ）. A.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為5的等差數(shù)列 C.首項為2的等差數(shù)列 D.公差為n的等差數(shù)列 3. 等差數(shù)列的第1項是7，第7項是－1，則它的第5項是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則∠B＝ . 5. 等差數(shù)列的相鄰4項是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ . 課后作業(yè) 1. 在等差數(shù)列中， ⑴已知，d＝3，n＝10，求； ⑵已知，，d＝2，求n； ⑶已知，，求d； ⑷已知d＝－，，求. 2. 一個木制梯形架的上下底邊分別為33cm，75cm，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各分點，構(gòu)成梯形架的各級，試計算梯形架中間各級的寬度. 2.2等差數(shù)列（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式； 2. 靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P39 ~ P40，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：什么叫等差數(shù)列？ 復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列的通項公式是什么？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：等差數(shù)列的性質(zhì) 1. 在等差數(shù)列中，為公差， 與有何關(guān)系？ 2. 在等差數(shù)列中，為公差，若且，則，，，有何關(guān)系？ ※ 典型例題 例1 在等差數(shù)列中，已知，，求首項與公差. 變式：在等差數(shù)列中， 若，，求公差d及. 小結(jié)：在等差數(shù)列中，公差d可以由數(shù)列中任意兩項與通過公式求出. 例2 在等差數(shù)列中，，求和. 變式：在等差數(shù)列中，已知，且，求公差d. 小結(jié)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 ，可以使得計算簡化. ※ 動手試試 練1. 在等差數(shù)列中，， ，求的值. 練2. 已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少個相同項？ 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 注意：，左右兩邊項數(shù)一定要相同才能用上述性質(zhì). 2. 在等差數(shù)列中，公差. ※ 知識拓展 判別一個數(shù)列是否等差數(shù)列的三種方法，即： （1）； （2）； （3）. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 一個等差數(shù)列中，，，則（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49 2. 等差數(shù)列中，，則的值為（ ）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 64 3. 等差數(shù)列中，，是方程，則＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －5 4. 等差數(shù)列中，，，則公差d＝ . 5. 若48，a，b，c，－12是等差數(shù)列中連續(xù)五項，則a＝ ，b＝ ，c＝ . 課后作業(yè) 1. 若 ， ， 求. 2. 成等差數(shù)列的三個數(shù)和為9，三數(shù)的平方和為35，求這三個數(shù). 2.3 等差數(shù)列的前n項和(1) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路； 2. 會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關(guān)的問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P42 ~ P44，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：什么是等差數(shù)列？等差數(shù)列的通項公式是什么？ 復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列有哪些性質(zhì)？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究：等差數(shù)列的前n項和公式 問題： 1. 計算1+2+…+100=? 2. 如何求1+2+…+n=? 新知： 數(shù)列的前n項的和： 一般地，稱 為數(shù)列的前n項的和，用表示，即 反思： ① 如何求首項為，第n項為的等差數(shù)列的前n項的和? ② 如何求首項為，公差為d的等差數(shù)列的前n項的和? 試試：根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和. ⑴ ⑵. 小結(jié)： 1. 用，必須具備三個條件： . 2. 用，必須已知三個條件： . ※ 典型例題 例1 xx年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治》. 某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從xx年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，xx年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元. 為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元. 那么從xx年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 小結(jié)：解實際問題的注意： ① 從問題中提取有用的信息，構(gòu)建等差數(shù)列模型； ② 寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進(jìn)行求解. 例2 已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220. 由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？ 變式：等差數(shù)列中，已知，，，求n. 小結(jié)：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關(guān)于的方程，已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量. ※ 動手試試 練1.一個凸多邊形內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120，公差為5，那么這個多邊形的邊數(shù)n為（ ）. A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等差數(shù)列前n項和公式的兩種形式； 2. 兩個公式適用條件，并能靈活運用； 3. 等差數(shù)列中的“知三求二”問題，即：已知等差數(shù)列之五個量中任意的三個，列方程組可以求出其余的兩個. ※ 知識拓展 1. 若數(shù)列的前n項的和（A，A、B是與n無關(guān)的常數(shù)），則數(shù)列是等差數(shù)列. 2. 已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，設(shè)也成等差數(shù)列，公差為. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 在等差數(shù)列中，，那么（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在50和350之間，所有末位數(shù)字是1的整數(shù)之和是（　?。? A．5880　　B．5684　　C．4877　　D．4566 3. 已知等差數(shù)列的前4項和為21，末4項和為67，前n項和為286，則項數(shù)n為（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 4. 在等差數(shù)列中，，，則 . 5. 在等差數(shù)列中，，，則 . 課后作業(yè) 1. 數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，公差為3，＝11，前和＝14，求和. 2. 在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)被3除余2? 這些數(shù)的和是多少？ 2.3 等差數(shù)列的前n項和(2) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式； 2. 了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題； 3. 會利用等差數(shù)列通項公式與前 n項和的公式研究的最大（?。┲? 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P45 ~ P46，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：等差數(shù)列{}中， ＝－15， 公差d＝3，求. 復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列{}中，已知，，求和. 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 問題：如果一個數(shù)列的前n項和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？ ※ 典型例題 例1已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式. 這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 變式：已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式. 小結(jié)：數(shù)列通項和前n項和關(guān)系為 =，由此可由求. 例2 已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值. 變式：等差數(shù)列{}中， ＝－15， 公差d＝3， 求數(shù)列{}的前n項和的最小值. 小結(jié)：等差數(shù)列前項和的最大（?。┲档那蠓? （1）利用: 當(dāng)>0，d<0，前n項和有最大值，可由≥0，且≤0，求得n的值；當(dāng)<0，d>0，前n項和有最小值，可由≤0，且≥0，求得n的值 （2）利用：由，利用二次函數(shù)配方法求得最大（?。┲禃rn的值. ※ 動手試試 練1. 已知，求數(shù)列的通項. 練2. 有兩個等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，求這個新數(shù)列的各項之和. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 數(shù)列通項和前n項和關(guān)系； 2. 等差數(shù)列前項和最大（?。┲档膬煞N求法. ※ 知識拓展 等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)如下： 1若項數(shù)為偶數(shù)2n，則 ；； 2若項數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則 ；；； . 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（ ）. A. B. C. D. 2. 等差數(shù)列{}中，已知，那么（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差數(shù)列{}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于100的正整數(shù)中共有 個數(shù)被7除余2，這些數(shù)的和為 . 5. 在等差數(shù)列中，公差d＝，， 則 . 課后作業(yè) 1. 在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項和為165，所有偶數(shù)項和為150，求n的值. 2. 等差數(shù)列{}，，，該數(shù)列前多少項的和最?。? 2.4等比數(shù)列（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)； 2. 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力； 3. 體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P48 ~ P51，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：等差數(shù)列的定義？ 復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列的通項公式 ， 等差數(shù)列的性質(zhì)有： 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 觀察：①1，2，4，8，16，… ②1，，，，，… ③1，20，，，，… 思考以上四個數(shù)列有什么共同特征？ 新知： 1. 等比數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 項起， 一項與它的 一項的 等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示（q≠0），即：= （q≠0） 2. 等比數(shù)列的通項公式： ； ； ； … … ∴ 等式成立的條件 3. 等比數(shù)列中任意兩項與的關(guān)系是： ※ 典型例題 例1 （1） 一個等比數(shù)列的第9項是，公比是－，求它的第1項； （2）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項. 小結(jié)：關(guān)于等比數(shù)列的問題首先應(yīng)想到它的通項公式. 例2 已知數(shù)列{}中，lg ，試用定義證明數(shù)列{}是等比數(shù)列. 小結(jié)：要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對于任意正整數(shù)n，是一個不為0的常數(shù)就行了. ※ 動手試試 練1. 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84％. 這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)? 練2. 一個各項均正的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，則公比（ ）. A. B. C. D. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等比數(shù)列定義； 2. 等比數(shù)列的通項公式和任意兩項與的關(guān)系. ※ 知識拓展 在等比數(shù)列中， ⑴ 當(dāng)，q >1時，數(shù)列是遞增數(shù)列； ⑵ 當(dāng)，，數(shù)列是遞增數(shù)列； ⑶ 當(dāng)，時，數(shù)列是遞減數(shù)列； ⑷ 當(dāng)，q >1時，數(shù)列是遞減數(shù)列； ⑸ 當(dāng)時，數(shù)列是擺動數(shù)列； ⑹ 當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 在為等比數(shù)列，，，則（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 2. 等比數(shù)列的首項為，末項為，公比為，這個數(shù)列的項數(shù)n＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知數(shù)列a，a（1－a），，…是等比數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）. A. a≠1 B. a≠0且a≠1 C. a≠0 D. a≠0或a≠1 4. 設(shè)，，，成等比數(shù)列，公比為2，則＝ . 5. 在等比數(shù)列中，，則公比q＝ . 課后作業(yè) 在等比數(shù)列中， ⑴ ，q＝－3，求； ⑵ ，，求和q； ⑶ ，，求； ⑷ ，求. 2.4等比數(shù)列（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式；深刻理解等比中項概念； 2. 熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P51 ~ P54，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：等比數(shù)列的通項公式 = . 公比q滿足的條件是 復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列有何性質(zhì)？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 問題1：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則 新知1：等比中項定義 如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G稱為a與b的等比中項. 即G= （a，b同號）. 試試：數(shù)4和6的等比中項是 . 問題2： 1.在等比數(shù)列{}中，是否成立呢？ 2.是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？ 3.是否成立？你又能得到什么結(jié)論？ 新知2：等比數(shù)列的性質(zhì) 在等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則. 試試：在等比數(shù)列，已知，那么 . ※ 典型例題 例1已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格，從中你能得出什么結(jié)論?證明你的結(jié)論. 例 自選1 自選2 是否等比 是 變式：項數(shù)相同等比數(shù)列{}與{}，數(shù)列{}也一定是等比數(shù)列嗎？證明你的結(jié)論. 小結(jié)：兩個等比數(shù)列的積和商仍然是等比數(shù)列. 例2在等比數(shù)列{}中，已知，且，公比為整數(shù)，求. 變式：在等比數(shù)列{}中，已知，則 . ※ 動手試試 練1. 一個直角三角形三邊成等比數(shù)列，則（ ）. A. 三邊之比為3：4：5 B. 三邊之比為1：：3 C. 較小銳角的正弦為 D. 較大銳角的正弦為 練2. 在7和56之間插入、，使7、、、56成等比數(shù)列，若插入、，使7、、、56成等差數(shù)列，求＋＋＋的值. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等比中項定義； 2. 等比數(shù)列的性質(zhì). ※ 知識拓展 公比為q的等比數(shù)列具有如下基本性質(zhì)： 1. 數(shù)列，，，，等，也為等比數(shù)列，公比分別為. 若數(shù)列為等比數(shù)列，則，也等比. 2. 若，則. 當(dāng)m=1時，便得到等比數(shù)列的通項公式. 3. 若，，則. 4. 若各項為正，c>0，則是一個以為首項，為公差的等差數(shù)列. 若是以d為公差的等差數(shù)列，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列. 當(dāng)一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列時，這個數(shù)列是非零的常數(shù)列. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 在為等比數(shù)列中，，，那么（ ）. A. 4 B. 4 C. 2 D. 8 2. 若－9，a1，a2，－1四個實數(shù)成等差數(shù)列，－9，b1，b2，b3，－1五個實數(shù)成等比數(shù)列，則b2(a2－a1)＝（ ）. A．8 B．－8 C．8 D． 3. 若正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>1時，，，（ ） A.依次成等差數(shù)列 B.各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列 C.依次成等比數(shù)列 D.各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列 4. 在兩數(shù)1，16之間插入三個數(shù)，使它們成為等比數(shù)列，則中間數(shù)等于 . 5. 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，， 則log3+ log3+…+ log3 . 課后作業(yè) 1. 在為等比數(shù)列中，，，求的值. 2. 已知等差數(shù)列的公差d≠0，且，，成等比數(shù)列，求. 2.5等比數(shù)列的前n項和(1) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握等比數(shù)列的前n項和公式； 2. 能用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P55 ~ P56，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列前n項和？等差數(shù)列的數(shù)列前n項和公式是什么？ 復(fù)習(xí)2：已知等比數(shù)列中，，，求. 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)： 等比數(shù)列的前n項和 故事：“國王對國際象棋的發(fā)明者的獎勵” 新知：等比數(shù)列的前n項和公式 設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是，公比為q≠0， 公式的推導(dǎo)方法一： 則 當(dāng)時， ① 或 ② 當(dāng)q=1時， 公式的推導(dǎo)方法二： 由等比數(shù)列的定義，， 有， 即 . ∴ （結(jié)論同上） 公式的推導(dǎo)方法三： ＝ ＝＝. ∴ （結(jié)論同上） 試試：求等比數(shù)列，，，…的前8項的和. ※ 典型例題 例1已知a1=27，a9=，q<0，求這個等比數(shù)列前5項的和. 變式：，. 求此等比數(shù)列的前5項和. 例2某商場今年銷售計算機5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(結(jié)果保留到個位)? ※ 動手試試 練1. 等比數(shù)列中， 練2. 一個球從100m高出處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，共經(jīng)過的路程是多少？（精確到1m） 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等比數(shù)列的前n項和公式； 2. 等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法； 3. “知三求二”問題，即：已知等比數(shù)列之五個量中任意的三個，列方程組可以求出其余的兩個. ※ 知識拓展 1. 若，，則構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比為. 2. 若三個數(shù)成等比數(shù)列，且已知積時，可設(shè)這三個數(shù)為. 若四個同符號的數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)這四個數(shù)為. 3. 證明等比數(shù)列的方法有： （1）定義法：；（2）中項法：. 4. 數(shù)列的前n項和構(gòu)成一個新的數(shù)列，可用遞推公式表示. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 數(shù)列1，，，，…，，…的前n項和為（ ）. A. B. C. D. 以上都不對 2. 等比數(shù)列中，已知，，則（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為2，且，那么（ ）. A. B. C. 1 D. 4. 等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，若，則它的前5項和為 . 5. 等比數(shù)列的前n項和，則a＝ . 課后作業(yè) 1. 等比數(shù)列中，已知 2. 在等比數(shù)列中，，求. 2.5等比數(shù)列的前n項和(2) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式； 2. 會用公式解決有關(guān)等比數(shù)列的中知道三個數(shù)求另外兩個數(shù)的一些簡單問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P57 ~ P62，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：等比數(shù)列的前n項和公式. 當(dāng)時， ＝ 當(dāng)q=1時， 復(fù)習(xí)2：等比數(shù)列的通項公式. = . 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：等比數(shù)列的前n項和與通項關(guān)系 問題：等比數(shù)列的前n項和 ， （n≥2）， ∴ ， 當(dāng)n＝1時， . 反思： 等比數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系是什么？ ※ 典型例題 例1 數(shù)列的前n項和（a≠0，a≠1），試證明數(shù)列是等比數(shù)列. 變式：已知數(shù)列的前n項和，且， ，設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列. 例2 等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別是，，，求證：，，也成等比. 變式：在等比數(shù)列中，已知，求. ※ 動手試試 練1. 等比數(shù)列中，，，求. 練2. 求數(shù)列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n項和Sn. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 等比數(shù)列的前n項和與通項關(guān)系； 2. 等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別是，，，則數(shù)列，，也成為等比數(shù)列. ※ 知識拓展 1. 等差數(shù)列中，； 2. 等比數(shù)列中，. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 等比數(shù)列中，，，則（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 24 2. 在等比數(shù)列中，，q＝2，使的最小n值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 3. 計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”.如(1101)表示二進(jìn)制的數(shù)， 將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的形式是，那么將二進(jìn)制數(shù)(11111111)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的形式是（ ）. A. B. C. D. 4. 在等比數(shù)列中，若，則公比q＝ . 5. 在等比數(shù)列中，，，， 則q＝ ，n＝ . 課后作業(yè) 1. 等比數(shù)列的前n項和，求通項. 2. 設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和； 第二章 數(shù)列（復(fù)習(xí)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關(guān)概念和公式； 2. 了解數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系； 3. 能通過前n項和公式求出數(shù)列的通項公式. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （復(fù)習(xí)教材P28 ～P69，找出疑惑之處） (1)數(shù)列的概念，通項公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點看數(shù)列． (2)等差、等比數(shù)列的定義． (3)等差、等比數(shù)列的通項公式． (4)等差中項、等比中項． (5)等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)方法． 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想． 2．等差、等比數(shù)列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法． 3． 求等比數(shù)列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想． 4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，拆項法，裂項法，累加法，等價轉(zhuǎn)化等． 5. 數(shù)列求和主要： （1）逆序相加； （2）錯位相消； （3）疊加、疊乘； （4）分組求和； （5）裂項相消，如. ※ 典型例題 例1在數(shù)列中，＝1，≥2時，、、－成等比數(shù)列. （1）求； （2）求數(shù)列的通項公式. 例2已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第二項，第五項，第十四項分別是等比數(shù)列{bn}的第二項，第三項，第四項． （1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列{cn}對任意正整數(shù)n，均有 ， 求c1＋c2＋c3＋…＋cxx的值． ※ 動手試試 練1. 等差數(shù)列的首項為公差為；等差數(shù)列的首項為公差為. 如果，且 求數(shù)列的通項公式. 練2. 如圖，作邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，求前個內(nèi)切圓的面積和. 練3. 一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去回了5個伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴，……，如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A. 55986 B. 46656 C. 216 D. 36 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 數(shù)列的有關(guān)概念和公式； 2. 熟練掌握有關(guān)概念和公式并能靈活運用，培養(yǎng)解決實際問題的能力. ※ 知識拓展 數(shù)列前n項和重要公式： ； 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 集合的元素個數(shù)是（ ）. A. 59 B. 31 C. 30 D. 29 2. 若在8和5832之間插入五個數(shù)，使其構(gòu)成一個等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的第五項是（　　）. A．648　　B．832　　C．1168　　D．1944 3. 設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和是12， 前三項的積是48，則它的首項是（ ）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知等差數(shù)列的前項和為，則使得最大的序號的值為 . 5. 在小于100的正整數(shù)中，被5除余1的數(shù)的個數(shù)有 個；這些數(shù)的和是 課后作業(yè) 1. 觀察下面的數(shù)陣， 容易看出， 第行最右邊的數(shù)是， 那么第20行最左邊的數(shù)是幾?第20行所有數(shù)的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … … 2. 選菜問題：學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會有20% 改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30% 改選A種菜. 用分別表示在第個星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù)，如果 求.