2019-2020年高中數學 第一章 統計 1.7 相關性教案 北師大版必修3.doc

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2019-2020年高中數學 第一章 統計 1.7 相關性教案 北師大版必修3 教學分析　　　　　 變量之間的關系是人們感興趣的問題．教科書通過身高與體重的關系，引導學生考察變量之間的關系，在教師的引導下，可使學生認識到在現實世界中存在不能用函數模型描述的變量關系，從而體會研究變量之間的相關關系的重要性． 三維目標　　　　　 1．通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據認識變量間的相關關系． 2．明確事物間的相互聯系．認識現實生活中變量間除了存在確定的關系外，仍存在大量的非確定性的相關關系，并利用散點圖直觀體會這種相關關系． 重點難點　　　　　 教學重點：通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據直觀認識變量間的相關關系；利用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性關系；根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程． 教學難點：變量之間相關關系的理解；作散點圖和理解兩個變量的正相關和負相關． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.在學校里，老師對學生經常這樣說：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題．”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著一種相關關系．這種說法有沒有根據呢？ 請同學們如實填寫下表(在空格中打“√” )： 好 中 差 你的數學成績 你的物理成績 學生討論：我們可以發(fā)現自己的數學成績和物理成績存在某種關系(似乎就是數學好的，物理也好；數學差的，物理也差，但又不全對．).物理成績和數學成績是兩個變量，從經驗看，由于物理學習要用到比較多的數學知識和數學方法．數學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的，但決非唯一因素，還有其他因素，如是否喜歡物理，用在物理學習上的時間等．(總結：不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少．但這兩個變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系．如何通過數學成績的結果對物理成績進行合理估計有非常重要的現實意義．)為很好地說明上述問題，我們開始學習變量之間的相關關系和兩個變量的線性相關．(教師板書課題) 思路2.某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經統計發(fā)現了一個有趣的現象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒的出生率低，于是，他就得出一個結論：天鵝能夠帶來孩子．你認為這樣得到的結論可靠嗎？如何證明這個結論的可靠性？教師點出課題． 推進新課　　　　　 1．糧食產量與施肥量有關系嗎？“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平也越高．教師的水平與學生的水平有什么關系？你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關關系的成語嗎？ 2．兩個變量間的相關關系是什么？有幾種？ 3．如何判斷兩個變量間的相關關系？ 討論結果： 1．糧食產量與施肥量有關系，一般是在標準范圍內，施肥越多，糧食產量越高；教師的水平與學生的水平是相關的；能舉出，如水滴石穿，三人行必有我?guī)煹龋? 我們還可以舉出現實生活中存在的許多相關關系的問題．例如： 商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系．商品銷售收入與廣告支出經費有著密切的聯系，但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關，還與商品質量、居民收入等因素有關． 糧食產量與施肥量之間的關系．在一定范圍內，施肥量越大，糧食產量就越高．但是，施肥量并不是決定糧食產量的唯一因素．因為糧食產量還要受到土壤質量、降雨量、田間管理水平等因素的影響． 人體內的脂肪含量與年齡之間的關系．在一定年齡段內，隨著年齡的增長，人體內的脂肪含量會增加，但人體內的脂肪含量還與飲食習慣、體育鍛煉等有關，可能還與個人的先天體質有關． 應當說，對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關關系，我們都可以根據自己的生活、學習經驗作出相應的判斷，因為“經驗當中有規(guī)律”．但是，不管你的經驗多么豐富，如果只憑經驗辦事，還是很容易出錯的．因此，在分析兩個變量之間的相關關系時，我們需要一些有說服力的方法． 在尋找變量之間相關關系的過程中，統計同樣發(fā)揮著非常重要的作用．因為上面提到的這種關系，并不像勻速直線運動中時間與路程的關系那樣是完全確定的，而是帶有不確定性．這就需要通過收集大量的數據(有時通過調查，有時通過實驗)，在對數據進行統計分析的基礎上，發(fā)現其中的規(guī)律，才能對它們之間的關系作出判斷． 2．相關關系的概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系，叫作相關關系．兩個變量之間的關系分兩類： ①確定性的函數關系，例如我們以前學習過的一次函數、二次函數等； ②帶有隨機性的變量間的相關關系，例如“身高者，體重也重”，我們就說身高與體重這兩個變量具有相關關系．相關關系是一種非確定性關系． 如商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系．(商品銷售收入還與商品質量、居民收入、生活環(huán)境等有關) 3．兩個變量間的相關關系的判斷：①作出散點圖．②根據散點圖中變量的對應點的離散程度，可以準確地判斷兩個變量是否具有相關關系． 例如：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據： 年齡 23 27 38 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析數據：大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加．我們可以作散點圖來進一步分析． 散點圖的概念：將各數據在平面直角坐標系中的對應點畫出來，得到表示兩個變量的一組數據的圖形，這樣的圖形叫作散點圖，如圖1. 圖1 通過散點圖我們可以看出，年齡越大，體內脂肪含量越高．圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關系，這個圖支持了我們從數據表中得出的結論． 如果所有的樣本點都落在某一函數曲線上，就用該函數來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數關系．如果所有的樣本點都落在某一函數曲線附近，變量之間就有相關關系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系． 正相關與負相關的概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，稱為正相關．如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，稱為負相關．(注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關關系) 思路1 例1 下列關系中，帶有相關關系的是________(填序號)． ①正方形的邊長與面積之間的關系 ②水稻產量與施肥量之間的關系 ③人的身高與年齡之間的關系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系 分析：兩變量之間的關系有兩種：函數關系與帶有隨機性的相關關系．①正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系．②水稻產量與施肥量之間的關系不是嚴格的函數關系，但是具有相關性，因而是相關關系．③人的身高與年齡之間的關系既不是函數關系，也不是相關關系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具備相關關系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系．因此填②④. 答案：②④ 例2 有關法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．吸煙是否一定會引起健康問題？有些人說：“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”，這種說法對嗎？ 解：從已經掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結果．我們可以找到長壽的吸煙者，也更容易發(fā)現由于吸煙而引發(fā)健康問題的患病者，所以吸煙不一定引起健康問題，但吸煙引起健康問題的可能性較大．因此“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”這種說法是不對的． 點評：在探究問題的過程中，如果能夠從兩個變量的觀察數據之間發(fā)現相關關系是極為有意義的，由此可以進一步研究二者之間是否蘊涵因果關系，從而發(fā)現引起這種相關關系的本質原因是什么．本題的意義在于引導學生重視對統計結果的解釋，從中發(fā)現進一步研究的問題． 思路2 例1 有時候，一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害．下表給出了不同類型的某種食品的數據．第二列表示此種食品所含熱量的百分比，第三列數據表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價： 品牌 所含熱量的百分比 口味記錄 A B C D E F G H I J 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出這些數據的散點圖． (2)關于兩個變量之間的關系，你能得出什么結論？ 解：(1)作出的散點圖如圖2. 圖2 (2)這兩個變量之間基本成正相關關系，即食品所含熱量越高，口味越好． 例2 一般說來，一個人的身高越高，他的手就越大，相應地，他的右手一拃長就越長，因此，人的身高與右手一拃長之間存在著一定的關系．為了對這個問題進行調查，我們收集了北京市某中學xx年高三年級96名學生的身高與右手一拃長的數據如下表． 性別 身高/cm 右手一拃長/cm 性別 身高/cm 右手一拃長/cm 女 152 18.5 女 153 16.0 女 156 16.0 女 157 20.0 女 158 17.3 女 159 20.0 女 160 15.0 女 160 16.0 女 160 17.5 女 160 17.5 女 160 19.0 女 160 19.0 女 160 19.0 女 160 19.5 女 161 16.1 女 161 18.0 女 162 18.2 女 162 18.5 女 163 20.0 女 163 21.5 女 164 17.0 女 164 18.5 女 164 19.0 女 164 20.0 女 165 15.0 女 165 16.0 女 165 17.5 女 165 19.5 女 166 19.0 女 167 19.0 女 167 19.0 女 168 16.0 女 168 19.0 女 168 19.5 女 170 21.0 女 170 21.0 女 170 21.0 女 171 19.0 女 171 20.0 女 171 21.5 女 172 18.5 女 173 18.0 女 173 22.0 男 162 19.0 男 164 19.0 男 165 21.0 男 168 18.0 男 168 19.0 男 169 17.0 男 169 20.0 男 170 20.0 男 170 21.0 男 170 21.5 男 170 22.0 男 171 21.5 男 171 21.5 男 171 22.3 男 172 21.5 男 172 23.0 男 173 20.0 男 173 20.0 男 173 20.0 男 173 20.0 男 173 21.0 男 174 22.0 男 174 22.0 男 175 16.0 男 175 20.0 男 175 21.0 男 175 21.2 男 175 22.0 男 176 16.0 男 176 19.0 男 176 20.0 男 176 22.0 男 176 22.0 男 177 21.0 男 178 21.0 男 178 21.0 男 178 22.5 男 178 24.0 男 179 21.5 男 179 21.5 男 179 23.0 男 180 22.5 男 181 21.1 男 181 21.5 男 181 23.0 男 182 18.5 男 182 21.5 男 182 24.0 男 183 21.2 男 185 25.0 男 186 22.0 男 191 21.0 男 191 23.0 (1)根據上表中的數據，制成散點圖．你能從散點圖中發(fā)現身高與右手一拃長之間的近似關系嗎？ (2)如果近似成線性關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關系． (3)如果一個學生的身高是188 cm，你能估計他的右手一拃大概有多長嗎？ 解：根據上表中的數據，制成的散點圖如圖3. 圖3 從散點圖上可以發(fā)現，身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一直線，也就是說，它們之間是線性相關的．那么，怎樣確定這條直線呢？ 同學1：選擇能反映直線變化的兩個點，例如(153,16)，(191,23)兩點確定一條直線． 同學2：在圖中放上一根細繩，使得上面和下面點的個數相同或基本相同． 同學3：多取幾組點對，確定幾條直線方程．再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術平均值，作為所求直線的斜率、截距． 同學4：從左端點開始，取兩條直線，如圖4.再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線． 圖4 同學5：先求出相同身高同學右手一拃長的平均值，畫出散點圖，如圖5，再畫出近似的直線，使得在直線兩側的點數盡可能一樣多． 圖5 同學6：先將所有的點分成兩部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的；然后，每部分的點求一個“平均點”——身高的平均數作為平均身高，右手一拃長的平均數作為平均右手一拃長，即(164,19)，(177,21)；最后，將這兩點連接成一條直線． 同學7：先將所有的點按橫坐標從小到大的順序進行排列，盡可能地平均分成三等份；每部分的點按照同學3的方法求一個“平均點”，最小的點為(161.3,18.2)，中間的點為(170.5，20.1)，最大的點為(179.2,21.3)．如圖6.求出這三個點的“平均點”為(170.3,19.9)．再用直尺連接最大點與最小點，然后平行地推，畫出過點(170.3,19.9)的直線． 圖6 同學8：取一條直線，使得在它附近的點比較多． 在這里需要強調的是，身高和右手一拃長之間沒有函數關系．我們得到的直線方程，只是對其變化趨勢的一個近似描述．對一個給定身高的人，人們可以用這個方程來估計這個人的右手一拃長，這是十分有意義的． 一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數據如下： 零件數x/個 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)畫出散點圖； (2)關于加工零件的個數與加工時間，你能得出什么結論？ 答案：(1)畫出的散點圖如圖7. 圖7 (2)加工零件的個數與所花費的時間呈正線性相關關系． 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據： 房屋面積/m2 115 110 80 135 105 銷售價格/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數據對應的散點圖； (2)指出是正相關還是負相關； (3)關于銷售價格y和房屋的面積x，你能得出什么結論？ 解：(1)數據對應的散點圖如圖8所示． 圖8 (2)因為散點圖中的點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內，所以是正相關． (3)關于銷售價格y和房屋的面積x，房屋的面積越大，價格越高，它們呈正線性相關關系． 通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系． 習題1—7　1,2. 本節(jié)課學習了變量之間的相關關系和兩個變量的線性相關的部分內容，通過身邊的具體實例說明了兩個變量的相關關系，并學會了利用散點圖及其分布來說明兩個變量的相關關系的種類，為下一節(jié)課作了鋪墊，思路1和思路2的例題對知識進行了鞏固和加強，另外，本節(jié)課通過選取一些學生特別關心的身邊事例，對學生進行思想情操教育、意志教育和增強學生的自信心，促使學生養(yǎng)成良好的學習態(tài)度和學習方法． 數學家關肇直 關肇直(1919.2.13—1982.11.12)，中國科學院院士，中國數學家，生于北京．原籍廣東省南?？h．父親關葆麟早年留學德國，回國后任鐵道工程師多年，于1932年去世；母親陸紹馨，是北平女子師范大學的畢業(yè)生，曾從教于北京師范大學．關葆麟去世后，母親以微薄的收入艱難地撫育關肇直及其弟妹多人．全國解放后，關肇直盡心親侍慈母，直至其母親1967年去世．關肇直于1959年1月與劉翠娥結婚，他們有兩個女兒．劉翠娥系中國科學院工程物理研究所研究人員． 關肇直于1927年進入北京培華中學附屬小學學習.1931年進入英國人辦的崇德中學學習．學校對英文要求十分嚴格，加上關肇直自小就由父母習以英文、德文，為日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基礎.1936年高中畢業(yè)后考入清華大學土木工程系，后于1938年轉入燕京大學數學系學習．畢業(yè)后在燕京大學(后遷成都)任教．參加成都教授聯誼會，擔任學生進步組織的導師，積極支持抗日救國學生運動.1946年春，從成都返回北平(北京)，不久從燕京大學轉到北京大學數學系任教.1947年通過考試成為國民政府派遣的中法交換生赴法國留學．名義上去瑞士學哲學，實際上去了巴黎大學龐加萊研究所研究數學，導師是著名數學家、 一般拓樸與泛函分析的創(chuàng)始人弗雷歇(M.R.Frechetl)，1948年參加革命團體“中國科學工作者協會”，是該會旅法分會的創(chuàng)辦人之一.1949年10月，新中國誕生，他毅然決定放棄獲得博士學位的機會．于12月回到祖國，滿腔熱情地參加了新中國的建設．他立即參加了組建中國科學院的工作．他和其他同志一起，協助郭沫若院長籌劃建院事宜，確定科學院的方向、任務、體制等，組建科學院圖書館，擔任圖書管理處處長，編譯局處長.1952年參加籌建中國科學院數學研究所的工作，并在數學研究所從事數學研究，歷任副研究員、研究員、研究室主任、副所長、學術委員會副主任．他還是中國科學院聲學研究所學術委員會委員及原子能研究所學術委員會委員．從1952年起，兼任北京師范大學、北京大學、中國人民大學和中國科技大學等校教授以及華南工學院名譽教授；并兼任過中國科學院成都分院學術顧問、該院數理科學研究室主任、中國科學院武漢數學物理研究所顧問、研究員．他還是國家科委數學學科組副組長、自動化學科組成員；曾擔任北京數學會理事長，中國數學會秘書長，國際自動控制聯合會理論委員會成員及《中國科學》《科學通報》《數學學報》和《系統科學與數學》等雜志的編委或主編等職.1980年，他與其他科學家一起創(chuàng)建中國科學院系統科學研究所，擔任研究所所長．他還擔任中國自動化學會副理事長、中國系統工程學會理事長.1980年當選為中國科學院數理學部委員．關肇直長期從事泛函分析、數學物理、現代控制理論等領域的研究，成績卓著，為我國的社會主義現代化建設作出了重大貢獻，1978年獲全國科學大會獎，1980年獲國防科委、國工辦科研獎十幾項，1982年獲國家自然科學二等獎；關肇直參與主持的項目“‘尖兵一號’返回型衛(wèi)星和‘東方紅一號’”獲1985年國家科技進步特等獎，他本人獲“科技進步”獎章． (設計者：安天林)