2019-2020年高中數(shù)學 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學案 新人教A版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學案 新人教A版必修3 預習課本P2~5,思考并完成以下問題 (1)利用加減消元法求解一般的二元一次方程組的步驟有哪些? (2)在數(shù)學中算法是如何定義的? (3)算法的特征是什么? (4)解決一類問題的算法是唯一的嗎?是不是任何一個算法都有明確的結果? 1.算法的概念 在數(shù)學中,算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟. 現(xiàn)在,算法通??梢跃幊捎嬎銠C程序,讓計算機執(zhí)行并解決問題. 2.算法的特征 (1)確定性:算法中每一步都是確定的,并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果. (2)有限性:一個算法的步驟是有限的,不能無限地進行下去,它能在有限步的操作后解決問題. (3)有序性:算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每個步驟只能有一個確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步. (4)不唯一性:解決一個問題可以有多種不同的算法. (5)普遍性:給出一個算法的程序步驟,它可以解決一類問題,并且能夠多次重復使用. 1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)求解一類問題的算法是唯一的( ) (2)算法必須在有限步驟操作之后解決問題( ) (3)算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結果( ) 解析:由算法具有有限性、確定性和不唯一性可知(1)錯,(2)、(3)對. 答案:(1) (2)√ (3)√ 2.下列敘述不能稱為算法的是( ) A.從北京到上海先乘汽車到飛機場,再乘飛機到上海 B.解方程4x+1=0的過程是先移項再把x的系數(shù)化成1 C.利用公式S=πr2計算半徑為2的圓的面積得π22 D.解方程x2-2x+1=0 解析:選D 選項A,B給出了解決問題的方法和步驟,是算法;選項C是利用公式計算,也屬于算法;選項D只提出問題沒有給出解決的方法,不是算法. 3.下面是某人出家門先打車去火車站,再坐火車去北京的一個算法,請補充完整. 第一步,出家門. 第二步,________________. 第三步,坐火車去北京. 答案:打車去火車站 算法概念的理解 [典例] 下列說法正確的是( ) A.算法就是某個問題的解題過程 B.算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結果 C.解決某一個具體問題算法不同,則結果不同 D.算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大,否則無法實施 [解析] 選項B正確,例如:判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù),結果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種;選項A,算法不能等同于解法;選項C,解決某一個具體問題算法不同,但結果應相同;選項D,算法可以為很多次,但不可以無限次. [答案] B 算法實際上是解決問題的一種程序性方法,它通常解決某一個或一類問題,用算法解決問題,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想. [活學活用] 有人對哥德巴赫猜想“任何大于4的偶數(shù)都能寫成兩個奇質數(shù)之和”設計了如下操作步驟: 第一步,檢驗6=3+3. 第二步,檢驗8=3+5. 第三步,檢驗10=5+5. …… 利用計算機一直進行下去! 請問:利用這種步驟能夠證明猜想的正確性嗎?這是一個算法嗎? 解:利用這種步驟不能證明猜想的正確性.此步驟不滿足算法的有限性,因此不是算法. 算法的設計 [典例] 寫出求1+2+3+4+5+6的一個算法. [解] 法一:第一步,計算1+2得到3. 第二步,將第一步中的運算結果3與3相加得到6. 第三步,將第二步中的運算結果6與4相加得到10. 第四步,將第三步中的運算結果10與5相加得到15. 第五步,將第四步中的運算結果15與6相加得到21. 法二:第一步,將原式變形為(1+6)+(2+5)+(3+4)=37. 第二步,計算37. 設計具體問題的算法的一般步驟 (1)分析問題,找出解決問題的一般數(shù)學方法; (2)借助有關變量或參數(shù)對算法加以表述; (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟; (4)用簡練的語言將這個步驟表示出來. [活學活用] 1.求1357911的值的一個算法如下,請補充完整. 第一步,求13得結果3. 第二步,將第一步所得結果3乘以5,得到結果15. 第三步,_________________________________________________________________. 第四步,再將第三步所得結果105乘以9,得到結果945. 第五步,再將第四步所得結果945乘以11,得到結果10 395,即為最后結果. 解析:依據(jù)算法功能可知,第三步應為“再將第二步所得結果15乘以7,得到結果105”. 答案:再將第二步所得結果15乘以7,得到結果105 2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個算法. 解:法一:第一步,移項得x2-2x=3.① 第二步,①式兩邊同時加1,并配方得(x-1)2=4.② 第三步,②式兩邊開方,得x-1=2.③ 第四步,解③式得x1=3,x2=-1. 法二:第一步,計算出一元二次方程的判別式的值,并判斷其符號.顯然Δ=(-2)2-41(-3)=16>0. 第二步,將a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x1,2=,得x1=3,x2=-1. [層級一 學業(yè)水平達標] 1.下列關于算法的說法中正確的個數(shù)有( ) ①求解某一類問題的算法是唯一的;②算法必須在有限步驟操作之后停止;③x2-x>2是一個算法;④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結果. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B 依據(jù)算法的多樣性(不唯一性)知①錯誤;由算法的有限性,確定性知②④正確;因為x2-x>2僅僅是一個數(shù)學問題,不能表達一個算法,所以③是錯誤的;由于算法具有可執(zhí)行性,正確的有②④. 2.已知直角三角形兩直角邊長為a,b,求斜邊長c的一個算法分下列三步:( ) ①計算c=;②輸入直角三角形兩直角邊長a,b的值;③輸出斜邊長c的值.其中正確的順序是( ) A.①②③ B.②③① C.①③② D.②①③ 解析:選D 明確各步驟間的關系即可知D選項正確. 3.下列敘述中, ①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟; ②按順序進行下列運算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100; ③從青島乘火車到濟南,再從濟南乘飛機到廣州; ④3x>x+1; ⑤求所有能被3整除的正數(shù),即3,6,9,12,…. 能稱為算法的個數(shù)為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:選B 根據(jù)算法的含義和特征知:①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④,3x>x+1不是一個明確的步驟,不符合確定性;⑤的步驟是無窮的,與算法的有限性矛盾. 4.下列所給問題中,不能設計一個算法求解的是( ) A.用“二分法”求方程x2-3=0的近似解(精確度0.01) B.解方程組 C.求半徑為2的球的體積 D.求S=1+2+3+…的值 解析:選D 對于D,S=1+2+3+…,不知道需要多少步完成,所以不能設計一個算法求解. [層級二 應試能力達標] 1.一個廠家生產(chǎn)商品的數(shù)量按照每年比前一年都增加18%的比率遞增,若第一年的產(chǎn)量為a,“計算第n年的產(chǎn)量”的算法中用到的一個函數(shù)解析式是( ) A.y=an0.18 B.y=a(1+18%)n C.y=a(1+18%)n-1 D.y=n(1+18%)n 解析:選C 根據(jù)已知條件可以得出滿足題意的函數(shù)解析式為y=a(1+18%)n-1. 2.如下算法: 第一步,輸入x的值. 第二步,若x≥0,則y=x. 第三步,否則,y=x2. 第四步,輸出y的值. 若輸出的y值為9,則x的值是( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.-3或9 解析:選D 根據(jù)題意可知,此為分段函數(shù) y=的算法, 當x≥0時,x=9; 當x<0時,x2=9,所以x=-3. 綜上所述,x的值是-3或9. 3.對于算法: 第一步,輸入n. 第二步,判斷n是否等于2,若n=2,則n滿足條件;若n>2,則執(zhí)行第三步. 第三步,依次從2到(n-1)檢驗能不能整除n,若不能整除n,則執(zhí)行第四步;若能整除n,則結束算法. 第四步,輸出n. 滿足條件的n是( ) A.質數(shù) B.奇數(shù) C.偶數(shù) D.約數(shù) 解析:選A 此題首先要理解質數(shù),只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質數(shù).2是最小的質數(shù),這個算法通過對2到(n-1)一一驗證,看是否有其他約數(shù),來判斷其是否為質數(shù). 4.早上從起床到出門需要洗臉刷牙(5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽廣播(8 min)幾個過程.從下列選項中選出最好的一種算法( ) A.第一步,洗臉刷牙.第二步,刷水壺.第三步,燒水.第四步,泡面.第五步,吃飯.第六步,聽廣播 B.第一步,刷水壺.第二步,燒水同時洗臉刷牙.第三步,泡面.第四步,吃飯.第五步,聽廣播 C.第一步,刷水壺.第二步,燒水同時洗臉刷牙.第三步,泡面.第四步,吃飯同時聽廣播 D.第一步,吃飯同時聽廣播.第二步,泡面.第三步,燒水同時洗臉刷牙.第四步,刷水壺 解析:選C 因為A選項共用時間36 min,B選項共用時間31 min,C選項共用時間23 min,D選項的算法步驟不符合常理,故選C. 5.以下是解二元一次方程組的一個算法,請將該算法補充完整. 第一步,①②兩式相加得3x+9=0. ③ 第二步,由③式可得________. ④ 第三步,將④式代入①式,得y=0. 第四步,輸出方程組的解________. 解析:由3x+9=0,得x=-3,即④處應填x=-3;把x=-3代入2x-y+6=0,得y=0,即方程組的解為 答案:x=-3 6.已知一個學生的語文成績?yōu)?9,數(shù)學成績?yōu)?6,外語成績?yōu)?9,求他的總分和平均成績的一個算法為: 第一步,輸入A=89,B=96,C=99. 第二步,__________________________. 第三步,__________________________. 第四步,輸出計算的結果. 解析:應先計算總分D=A+B+C,然后再計算平均成績E=. 答案:計算總分D=A+B+C 計算平均成績E= 7.使用配方法解方程x2-4x+3=0的算法的步驟是________(填序號). ①配方得(x-2)2=1; ②移項得x2-4x=-3; ③解得x=1或x=3; ④開方得x-2=1. 解析:使用配方法的步驟應按移項、配方、開方、得解的順序進行. 答案:②①④③ 8.對任意三個整數(shù)a,b,c,寫出求最大數(shù)的算法. 解:算法如下: 第一步,令max=a. 第二步,比較max與b的大小,若b>max,則令max=b;否則,執(zhí)行第三步. 第三步,比較max與c的大小,若c>max,則令max=c;否則,執(zhí)行第四步. 第四步,max就是a,b,c中的最大數(shù). 9.已知直線l1:3x-y+12=0和直線l2:3x+2y-6=0,設計一個算法,求l1和l2及y軸所圍成的三角形的面積. 解:算法如下: 第一步,解方程組得l1,l2的交點為P(-2,6). 第二步,在方程3x-y+12=0中,令x=0,得y=12,從而得到l1與y軸的交點為A(0,12). 第三步,在方程3x+2y-6=0中,令x=0,得y=3,從而得到l2與y軸的交點為B(0,3). 第四步,求出△ABP的邊長AB=12-3=9. 第五步,求出△ABP的邊AB上的高h=2. 第六步,根據(jù)三角形的面積公式計算S=ABh=92=9. 第七步,輸出S.- 配套講稿:
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