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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.1抽樣方法名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修
三點(diǎn)剖析
一、總體與樣本
總體是指考察對(duì)象的全體;其中每一個(gè)考察對(duì)象是個(gè)體;從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本;樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.樣本的抽取要具有隨機(jī)性.
例如:某學(xué)校高一年級(jí)為了了解全年級(jí)1 200名學(xué)生的體重,從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量分析.在這個(gè)問題中總體是指“某學(xué)校高一年級(jí)全年級(jí)1 200名學(xué)生的體重”,而樣本則是指“從中抽取的100名學(xué)生的體重”,樣本容量則是100.
統(tǒng)計(jì)的基本思想方法就是用樣本估計(jì)總體,即當(dāng)總體容量很大或檢測(cè)過程具有一定的破壞性時(shí),不去直接研究總體,而是從總體中抽取一個(gè)樣本,根據(jù)樣本的情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.如為了檢測(cè)一批小麥良種的發(fā)芽率,我們可以從中隨機(jī)地選出100粒進(jìn)行試驗(yàn).通過這100粒小麥的發(fā)芽率來估計(jì)這批小麥的發(fā)芽率.
二、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
1.定義
一般地,從個(gè)體數(shù)為N的總體中不重復(fù)地取出n(n
39,將它去掉;繼續(xù)向右讀,得到16,將它取出;繼續(xù)下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,隨后的兩位數(shù)字號(hào)碼是12,由于它在前面已經(jīng)取出,將它去掉,再繼續(xù)下去,得到34.至此,10個(gè)樣本已經(jīng)取滿,于是,所要抽取的樣本號(hào)碼是:16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.
(6)使用隨機(jī)數(shù)表法的注意事項(xiàng):
利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí),數(shù)表中的數(shù)字可以兩兩連在一起,也可以三三連在一起,這就要視總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)而言.如果總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)不多于100個(gè),我們一般用兩位數(shù)表,即將數(shù)表中的數(shù)碼兩兩連在一起,如01,23,99,…;如果總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)多于100個(gè)而不多于1 000個(gè),我們一般用三位數(shù),就是將數(shù)碼三三連在一起,如012,567,999,…;….除此之外,當(dāng)選定開始讀數(shù)的數(shù)后,讀數(shù)的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等.如在上一個(gè)實(shí)例中,當(dāng)選定數(shù)碼5后,我們也可以向左讀取數(shù)碼,這樣得到樣本號(hào)碼分別是:01,06,12,25,33,21,04,24,31,17.
(7)隨機(jī)數(shù)表法的適用范圍:適用于總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較少時(shí)抽取樣本的抽樣方法.當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)較多時(shí),利用隨機(jī)數(shù)表選數(shù)將變得比較麻煩.
三、系統(tǒng)抽樣
1.定義
當(dāng)總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多時(shí),采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣顯得較為費(fèi)事.這時(shí),可將總體平均分成幾部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體,得到所需要的樣本,這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣.
例如,為了了解參加某種知識(shí)競(jìng)賽的1 000名學(xué)生的成績(jī),打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本.假定這1 000名學(xué)生的編號(hào)是1,2,…,1 000,由于50∶1 000=1∶20,我們將總體分成50部分,其中每一部分包括20個(gè)個(gè)體,例如第1部分的編號(hào)是1,2,…,20.然后在第1部分利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼,比如它是18,那么可以從第18號(hào)起,按事先確定的規(guī)則,如每隔20個(gè)抽取一個(gè)號(hào)碼,這樣得到一個(gè)容量為50的樣本:
18,38,58,…,978,998.
上例中,由于總體中的個(gè)體數(shù)1 000恰好是50的倍數(shù),可以被樣本容量50整除,可以用它們的比值作為進(jìn)行系統(tǒng)抽樣的間隔.如果不能整除,比如總體中的個(gè)體為1 003,樣本容量仍為50,這時(shí)可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除3個(gè)個(gè)體(抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法均可),使剩下的個(gè)體數(shù)1 000能被樣本容量50整除,然后再按系統(tǒng)抽樣方法往下進(jìn)行.
2.系統(tǒng)抽樣的步驟
(1)采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào).
(2)將整個(gè)的編號(hào)按一定的間隔分段(樣本容量是幾,就分成幾部分),要確定分段的間隔.當(dāng)(N為總體中的個(gè)體數(shù),n為樣本容量)是整數(shù)時(shí),k= ;當(dāng)不是整數(shù)時(shí),通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體個(gè)數(shù)N`能被n整除,這時(shí)k= .
(3)在第1段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法確定起始號(hào)m.
(4)將編號(hào)為m,m+k,m+2k,…,m+(n-1)k的個(gè)體抽出.
3.系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系
系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于:將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時(shí),采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.
4.系統(tǒng)抽樣的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)
系統(tǒng)抽樣的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便易行;當(dāng)對(duì)總體結(jié)構(gòu)有一定了解時(shí),充分利用已有信息對(duì)總體中的個(gè)體進(jìn)行排隊(duì)再抽樣,可提高抽樣的效率;當(dāng)總體中的個(gè)體存在一種自然編號(hào)時(shí),便于施行系統(tǒng)抽樣法.系統(tǒng)抽樣的缺點(diǎn)是在不了解樣本總體的情況下,所抽出的樣本可能有一定的偏差.
四、分層抽樣
1.定義
一般地,當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),為了使樣本更客觀地反映總體的情況,通常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分層次比較分明的幾部分,然后按照各部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣,這樣的抽樣方法就叫分層抽樣.其中所分成的各部分稱為層.
例如,一個(gè)單位的職工有500人,其中不到35歲的有125人,35歲到49歲之間的有280人,50歲以上的有95人.為了了解這個(gè)單位職工與身體狀況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本.總體是由差異明顯的幾部分組成的.不同年齡的職工的身體狀況差異比較大,不能在這500人中隨機(jī)地抽取100人,也不宜在這三個(gè)年齡段的職工中平均抽取樣本.這時(shí),前面所學(xué)的兩種抽樣方法都不適用,因?yàn)檫@兩種抽樣方法都不能準(zhǔn)確地反映客觀實(shí)際,這就需要一個(gè)更有效的抽樣方法——分層抽樣.
具體的操作過程是:(1)確定各年齡段被抽的人數(shù).由于樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)的比為100∶500=1∶5,所以在各年齡段抽取的個(gè)體數(shù)依次為,,,即25,56,19.
(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽出各年齡段作為樣本的職工.
分層抽樣的特點(diǎn)是:分層抽樣時(shí),每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相等的.由于分層抽樣充分利用了已知信息,使樣本具有較好的代表性,而且在各層抽樣時(shí),可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法,因此分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用.
2.分層抽樣的步驟
(1)將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)(分層的標(biāo)準(zhǔn)由題意來確定)分層;
(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體的比;
(3)按各層中個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量;
(4)在每一層進(jìn)行抽樣,抽樣時(shí)根據(jù)各層中個(gè)體的個(gè)數(shù)選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒?個(gè)體數(shù)較少時(shí)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,當(dāng)個(gè)體數(shù)較多時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣.
3.三種抽樣方法的特點(diǎn)與適用范圍
分層抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣的聯(lián)系:將總體分成幾層,分層抽取樣本時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣關(guān)系密切,對(duì)抽取樣本來說,可謂異曲同工.無論采取哪一種抽樣方法,必須保證在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等.為了對(duì)三種抽樣方法進(jìn)行比較,加深對(duì)三者的理解,以達(dá)到在抽樣實(shí)踐中正確地對(duì)它們進(jìn)行選擇的功效,教材又將三種抽樣方法的特點(diǎn)和適用范圍進(jìn)行了歸納,現(xiàn)列表如下:
類 別
特 點(diǎn)
相互聯(lián)系
適用范圍
共同點(diǎn)
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
從總體中逐個(gè)抽取
總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較少
抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等
系統(tǒng)抽樣
將總體均分為幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取
在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多
分層抽樣
將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽取
各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣
總體由差異明顯的幾部分組成
抓住三種抽樣方法的本質(zhì)特征是正確應(yīng)用這三種抽樣方法的前提.
問題探究
問題1:吸煙有害健康.你知道嗎?被動(dòng)吸煙(在吸煙的環(huán)境中被動(dòng)地吸入煙氣)也大大危害著人類的健康.為此,聯(lián)合國(guó)規(guī)定每年的5月31日為世界無煙日.讓我們行動(dòng)起來,在無煙的環(huán)境中健康地成長(zhǎng)和生活.
請(qǐng)你想一想,如果讓你統(tǒng)計(jì)你們地區(qū)居民的吸煙狀況,你會(huì)采用什么方法,注意什么問題?
探究:由于不論是哪一個(gè)地區(qū),人口都很多,我們不可能對(duì)每個(gè)對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查,只能從其中抽取一部分來進(jìn)行調(diào)查.這就涉及到了抽樣方法的選取.我們學(xué)的抽樣方法有三種:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.這三種抽樣方法有著各自的特點(diǎn)和適用范圍.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)便易行,但它只適用于個(gè)體數(shù)較少的總體,當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多時(shí)我們常采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本.當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)我們宜采用分層抽樣的方法.由于不論是哪個(gè)地區(qū)吸煙的人群中年齡、性別、經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)和工作性質(zhì)都有著很大的區(qū)別,所以在抽取樣本時(shí)宜采用分層抽樣的方法(如可按年齡分層,也可以按性別分層).而在每層抽取樣本時(shí),再根據(jù)實(shí)際情況來選取是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣還是采用系統(tǒng)抽樣.
問題2:抽樣方法在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.你能說說都有哪些嗎?
探究:我們生活在一個(gè)數(shù)字化的時(shí)代,時(shí)時(shí)刻刻都在與數(shù)據(jù)打交道,如產(chǎn)品的合格率、農(nóng)作物的產(chǎn)量、商品銷售量、當(dāng)?shù)氐臍鉁亍⒕蜆I(yè)狀況、電視臺(tái)的收視率等.這些數(shù)據(jù)都是通過抽樣的方法得到的.常用的抽樣方法有三種:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣,這三種抽樣方法關(guān)系密切,對(duì)抽取樣本來說,可謂異曲同工.無論采取哪一種抽樣方法,必須保證在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相等的.而在實(shí)際操作時(shí),應(yīng)根據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)和個(gè)體的特點(diǎn)來選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒?
例如:要從高一(1)班40名學(xué)生中隨機(jī)抽選8人去參加一項(xiàng)活動(dòng),我們應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法.
但應(yīng)注意:由于總體的復(fù)雜性,在實(shí)際抽樣中,為了使樣本具有代表性,通常要同時(shí)使用幾種抽樣方法.
問題3:1936年,美國(guó)《文學(xué)文摘》雜志根據(jù)1 000萬戶電話用戶和從該雜志訂戶所收回的意見,斷言蘭登將以370∶161的優(yōu)勢(shì)在總統(tǒng)選舉中擊敗羅斯福.但結(jié)果是,羅斯福當(dāng)選了,《文學(xué)文摘》大丟面子.你知道原因何在嗎?
探究:在實(shí)際抽樣中,應(yīng)使樣本具有代表性,對(duì)于美國(guó)選民來說他們?cè)谀挲g、性別、經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)和工作性質(zhì)等方面都有著很大的區(qū)別.因此在抽樣調(diào)查時(shí),應(yīng)采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣,這樣才能使樣本具有一定代表性.在1936年使用電話或訂閱《文學(xué)文摘》雜志的人,在經(jīng)濟(jì)上都相對(duì)富裕,而收入不高的是大多數(shù)的選民,他們選擇了羅斯福.《文學(xué)文摘》的教訓(xùn)表明,抽樣抽查時(shí),既要關(guān)注樣本的大小,又要關(guān)注樣本的代表性.
精題精講
例1.某工廠有工人1 200人,為了調(diào)查某種情況打算抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本,問此樣本若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣將如何獲得?
思路解析
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分兩種:抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.盡管此題的總體中的個(gè)數(shù)不算少,但依題意其操作過程能保障每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)等可能.所以,可將這1 200個(gè)工人進(jìn)行編號(hào),利用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法來進(jìn)行抽樣.
解法一:首先,把該工廠的工人都編上號(hào)碼:0 001,0 002,0 003,…,1 200.如用抽簽法,則作1 200個(gè)形狀、大小相同的號(hào)簽(號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作),然后將這些號(hào)混合放在同一個(gè)箱子里,進(jìn)行均勻攪拌.抽簽時(shí),每次從中抽一個(gè)號(hào)簽,連續(xù)抽50次,就得到一個(gè)容量為50的樣本.
解法二:首先,把該工廠的工人都編上號(hào)碼:0 001,0 002,0 003,…,1 200.如用隨機(jī)數(shù)表法,則可在數(shù)表上隨機(jī)選定一個(gè)起始位置.假如起始位置是表中第5行第9列的數(shù)字從6開始向右連續(xù)取數(shù)字,以4個(gè)數(shù)為一組,碰到右邊線時(shí)向下錯(cuò)一行向左繼續(xù)取,所得數(shù)字如下:
6 438,5 482,4 622,3 162,4 309,9 006,1 844,3 253,2 383,0 130,3 046,1 943,6 248,3 469,0 253,7 887,3 239,7 371,2 845,3 445,9 493,4 977,2 261,8 442,….
所錄取的4位數(shù)字如果小于或等于1 200,則對(duì)應(yīng)此號(hào)的工人就是被抽取的個(gè)體;如果所取的4位數(shù)大于1 200而小于2 400,則減去1 200剩余數(shù)即是被抽取的號(hào)碼;如果所取的4位數(shù)大于2 400而小于3 600,則減去2 400剩余數(shù)即是被抽取的號(hào)碼…(出現(xiàn)重復(fù)數(shù)則去掉)可得下列數(shù)字:
0 438,0 682,1 022,0 762,0 709,0 606,0 644,0 853,1 183,0 130,0 646,0 743,0 248,1 069,0 253,0 687,0 839,0 171,0 445,1 045,1 093,0 177,1 061,0 042,…,一直取夠50人為止.
綠色通道
本題的解法體現(xiàn)了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的適用范圍和步驟.規(guī)范的、不帶主觀意向的隨機(jī)抽樣,才能保證公平性、客觀性、準(zhǔn)確性和可信性.而利用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣時(shí),數(shù)表中數(shù)字的位數(shù)要與編號(hào)的位數(shù)一致.
例2.某單位有在崗職工1 244人,為了調(diào)查工人上班時(shí),從離開家到來到單位的路上平均所用時(shí)間,決定從中抽取10%的工人調(diào)查這一情況.如何采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣?
思路解析
由于總體中個(gè)體數(shù)比較多,且抽取的樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)也比較多,如果此時(shí)再用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,則操作過程將比較麻煩.所以此時(shí)可以考慮系統(tǒng)抽樣.抽樣時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體,都必須等可能地入樣.本題中總體中個(gè)體數(shù)為1 244,而為了抽取一個(gè)容量為120的樣本,只有先剔除總體中的一部分個(gè)體才能實(shí)現(xiàn)“等距”入樣,且又具有等可能性.因此,解此題時(shí),應(yīng)選用系統(tǒng)抽樣法,且應(yīng)先剔除,再“分段”,后定起始位置.
解:首先,將在崗的工人1 244人,用隨機(jī)方式編號(hào)(如按出生年月順序),0 000,0 001,0 002,0 003,…,1 243.第二步,由題意知,應(yīng)取124人的樣本.因?yàn)椴皇钦麛?shù),所以應(yīng)從總體中剔除4個(gè)人,(剔除方法用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法)將余下的1 200人,按編號(hào)順序補(bǔ)齊0 000,0 001,0 002,0 003,…,1 239分成120段,每段10人,在第一段0 000,0 001,0 002,…,0 009這十個(gè)編號(hào)中隨機(jī)定一起始號(hào)為m,則編號(hào)m,m+10,m+20,…,m+11910為所取的樣本.
綠色通道
采用系統(tǒng)抽樣可以減少工作量,提高可操作性,減少人為的導(dǎo)向和誤差.當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)不能被所抽樣本中個(gè)體數(shù)整除時(shí),必須先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取幾個(gè)樣本,以使余下的總體中的個(gè)體數(shù)被樣本中的個(gè)體數(shù)整除.
利用隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本時(shí),總體中的個(gè)體數(shù)必須是樣本中個(gè)體的倍數(shù),否則必須先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取幾個(gè)樣本,使余下的總體中的個(gè)體數(shù)被樣本中的個(gè)體數(shù)整除.
例3.要從高一(1)班40名學(xué)生中隨機(jī)抽選8人去參加一項(xiàng)活動(dòng),分別用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽簽,并寫出過程.
思路解析
本題考查抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法的步驟應(yīng)用.先將40名學(xué)生編號(hào),然后按抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法的步驟進(jìn)行抽樣即可.
解:抽簽法:
將全班40名學(xué)生編號(hào),可編號(hào)為00,01,02,…,39,并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的小球上,然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子中,攪拌均勻.每次從中抽出一個(gè)號(hào)簽,連續(xù)抽取8次,便可得到一個(gè)容量為8的樣本,參加比賽的8人便產(chǎn)生了.當(dāng)然,也可以一次從中取出8個(gè)號(hào)簽.
隨機(jī)數(shù)表法:
第一步,先將這40名學(xué)生編號(hào),可以編為00,01,02,…,39.
第二步,在附錄1隨機(jī)數(shù)表中任選出一個(gè)數(shù)作為開始.例如從第8行第9列的數(shù)5開始.
第三步,從選定的數(shù)字5開始,向右讀下去,得到第一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼59,由于59>39,將它去掉;繼續(xù)向右讀,得到16,將它取出;繼續(xù)下去,又得到19,10,12,07,39,38,33.至此,8個(gè)樣本已經(jīng)取滿,于是,所要抽取的樣本號(hào)碼是:16,19,10,12,07,39,38,33.參加比賽的8人便產(chǎn)生了.
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簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少時(shí).在用抽簽法抽取樣本時(shí),為了體現(xiàn)抽簽的客觀性和公平性,在制作號(hào)簽時(shí),一定要注意使號(hào)簽的大小、形狀都相同.
利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣本時(shí),起始數(shù)字可以隨便選擇,在讀數(shù)時(shí),讀數(shù)的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等,只要具有一定的規(guī)律就可以.如果總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)不多于100個(gè),我們一般用兩位數(shù)表,即將數(shù)表中的數(shù)碼兩兩連在一起,如01,23,…,99.
例4.在1 000個(gè)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)的號(hào)碼(編號(hào)為000~999)中,在公證部門監(jiān)督下按照隨機(jī)抽取的方法確定后兩位為88的號(hào)碼為中獎(jiǎng)號(hào)碼,這是運(yùn)用哪種抽樣方法來確定中獎(jiǎng)號(hào)碼的?依次寫出這10個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼.
思路解析
由于總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多,且被抽取的號(hào)碼有一定的規(guī)律性,故不宜采用隨機(jī)抽樣,因?yàn)殡S機(jī)抽樣抽取的號(hào)碼具有隨機(jī)性,所以宜采用系統(tǒng)抽樣.
解:題中運(yùn)用了系統(tǒng)抽樣的方法來確定中獎(jiǎng)號(hào)碼,中獎(jiǎng)號(hào)碼依次為088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.
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若題目中出現(xiàn)判斷采用何種抽樣方法時(shí),可根據(jù)各抽樣方法的定義來判斷.利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本時(shí),如果規(guī)則已給出,則按題中給出的規(guī)則抽取樣本即可.
例5.為了考察某校的教學(xué)水平,將抽查這個(gè)學(xué)校高三年級(jí)的部分學(xué)生的本學(xué)年考試成績(jī).為了全面地反映實(shí)際情況,采用以下三種方式進(jìn)行抽查(已知該校高三年級(jí)共有20個(gè)教學(xué)班,并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào),假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同):
①?gòu)娜昙?jí)20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班,再?gòu)脑摪嘀腥我獬槿?0人,考察他們的學(xué)習(xí)成績(jī);
②每個(gè)班抽取1人,共計(jì)20人,考察這20個(gè)學(xué)生的成績(jī);
③把學(xué)生按成績(jī)分成優(yōu)秀、良好、普通三個(gè)級(jí)別,從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察(已知:若按成績(jī)分,該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人).
根據(jù)上面的敘述,試回答下列問題:
(1)上面三種抽取方式中,其中總體、個(gè)體、樣本分別指的是什么?每一種抽取方式抽取的樣本中,其樣本容量分別是多少?
(2)上面三種抽取方式中各自采用何種抽取樣本的方法?
(3)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.
思路解析
本題目主要考查數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一些基本概念和基本方法.做這種題目時(shí),應(yīng)該注意敘述的完整性和條理性.
解:(1)這三種抽取方式中,其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績(jī);個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本年度的考試成績(jī).其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī),樣本容量為20;第二種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī),樣本容量為20;第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績(jī),樣本容量為100.
(2)上面三種抽取方式中,第一種方式采用的方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法;第二種方式采用的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法;第三種方式采用的方法是分層抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.
(3)第一種方式抽樣的步驟如下:
第一步:在這20個(gè)班中用抽簽法任意抽取一個(gè)班;
第二步:從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生,考查其考試成績(jī).
第二種方式抽樣的步驟如下:
第一步:在第一個(gè)班中,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法任意抽取某一個(gè)學(xué)生,記其學(xué)號(hào)為a;
第二步:在其余的19個(gè)班中,選取學(xué)號(hào)為a的學(xué)生,共計(jì)19人.
第三種方式抽樣的步驟如下:
第一步:分層.
因?yàn)槿舭闯煽?jī)分,其中優(yōu)秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,所以在抽取樣本時(shí),應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個(gè)層次.
第二步:確定各個(gè)層次抽取的人數(shù).
因?yàn)闃颖救萘颗c總體的個(gè)體數(shù)比為:100∶1000=1∶10,所以在每個(gè)層次抽取的個(gè)體數(shù)依次為,,,即15,60,25.
第三步:按層次分別抽取.
在優(yōu)秀生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取15人;
在良好生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取60人;
在普通生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取25人.
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弄清考察對(duì)象是明確總體、個(gè)體、樣本的關(guān)鍵,這里考察的對(duì)象指的是數(shù)據(jù).樣本中有多少個(gè)個(gè)體,樣本容量就是多少.
總體、個(gè)體、樣本的考察對(duì)象是同一的,所不同的是范圍的大小.樣本容量只是樣本中個(gè)體的數(shù)目,不能帶單位.被抽取出來的考生的考試成績(jī),只是總體的一個(gè)樣本,抽取樣本的目的,是為了用這個(gè)樣本所反映出來的情況去估計(jì)總體的情況.
判斷采用何種抽樣方法時(shí),應(yīng)充分理解三種抽樣方法的定義.
利用抽簽法時(shí)一定要體現(xiàn)抽簽的客觀性和公平性.
利用隨機(jī)數(shù)表法時(shí),要注意數(shù)字的組合.
采用系統(tǒng)抽樣法時(shí),確定起始號(hào)后,一定要按規(guī)則抽取其余的樣本.
采用分層抽樣法時(shí)應(yīng)先將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)分層;接著要計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體的比,以確定各層中應(yīng)抽取的樣本容量,最后在每一層進(jìn)行抽樣,抽樣時(shí)根據(jù)各層中個(gè)體的個(gè)數(shù)選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒?個(gè)體數(shù)較少用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,當(dāng)個(gè)體個(gè)數(shù)較多時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣.
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