2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修2-2 教學(xué)建議 1.教材分析 數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法,僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.本節(jié)通過類比多米諾骨牌游戲,得出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟,然后通過兩個(gè)例題介紹數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 重點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用. 難點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)及在歸納推理中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系. 2.主要問題及教學(xué)建議 (1)關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法所證結(jié)論的正確性. 建議教師就歸納推理的幾種情形介紹一下. 不完全歸納:只考察了部分對(duì)象,結(jié)論不一定正確. 完全歸納(枚舉法):考察了問題所涉及的所有對(duì)象,結(jié)論一定正確. 數(shù)學(xué)歸納法:通過有限個(gè)步驟的推理,證明了n取無限多個(gè)正整數(shù)時(shí)的情形,本質(zhì)上相當(dāng)于完全歸納,結(jié)論是正確的. (2)對(duì)于假設(shè)的使用. 建議教師通過具體例子,說明證明過程中不用假設(shè)也能證出某些題目,但不是數(shù)學(xué)歸納法證明,也就不必再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行. 備選習(xí)題 1.證明:如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么(1+x)n>1+nx. 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=(1+x)2=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤≠0,所以不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即(1+x)k>1+kx. 那么當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x), 因?yàn)閤>-1,所以(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x) =1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由(1)(2)及數(shù)學(xué)歸納法可知所證不等式成立. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明62n-1+1(n∈N*)能被7整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),62-1+1=7,能被7整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),62k-1+1能被7整除. 那么當(dāng)n=k+1時(shí),62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35. ∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),62(k+1)-1+1能被7整除. 由(1)(2)知命題成立. 3.試比較2n與n2(n≥5,n∈N*)的大小. 解:當(dāng)n=5時(shí),25>52,即2n>n2. 當(dāng)n=6時(shí),26>62,即2n>n2;…… 猜想:當(dāng)n≥5,n∈N*時(shí),2n>n2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立: (1)當(dāng)n=5時(shí),猜想成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5,k∈N*)時(shí)猜想成立,即2k>k2,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=22k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即當(dāng)n=k+1也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知當(dāng)n≥5時(shí),2n>n2對(duì)任何n∈N*都成立(n≥5).