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2019-2020年高中數(shù)學 第3章 1第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．函數(shù)y＝xlnx＋m的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(，＋∞) B．(0，e)
C．(0，) D．(，e)
[答案] A
[解析] 定義域為{x|x>0}，
由y′＝lnx＋1>0，得x>.
2．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函數(shù)
B．是減函數(shù)
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D．在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，2)
(2，＋∞)
f′(x)
－
＋
f(x)
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
4．函數(shù)f(x)＝(x＋3)e－x的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝(x＋3)e－x，
∴f ′(x)＝e－x－(x＋3)e－x＝e－x(－x－2)，
由f ′(x)>0得x<－2，∴選A．
5．(xx新課標Ⅱ文，11)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由條件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為________．
[答案] (－1,11)
[解析] f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令(x－11)(x＋1)<0，解得－1
0，解得x<－或x>.
當x∈(－∞，－)時，函數(shù)為增函數(shù)；當x∈(，＋∞)時，函數(shù)也為增函數(shù)．
令y′＝6x2－3<0，解得－1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
解法二：(數(shù)形結(jié)合)
如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0，(6，＋∞)內(nèi)f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根為1，則另一根在[4,6]上．
所以即所以5≤a≤7.
解法三：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為27，所以a≤7時，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由題意知5≤a≤7.
[點評] 本題是含參數(shù)單調(diào)性問題，是高考的重點和熱點，體現(xiàn)了數(shù)學上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.
一、選擇題
1．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( )
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
[答案] B
[解析] y′＝－xsinx.當x∈(π，2π)時，y′>0，則函數(shù)y＝xcosx－sinx在區(qū)間(π，2π)內(nèi)是增函數(shù)．
2．設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為( )
[答案] D
[解析] 函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，則導函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(－∞，0)上的函數(shù)值為正，排除A、C；原函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上先增再減，最后再增，其導函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)值先正、再負、再正，排除B.故選D.
3.(xx福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設函數(shù)F(x)＝是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導函數(shù)f ′(x)滿足f ′(x)e2f(0)，f(xx)>e2012f(0)
B．f(2)e2012f(0)
C．f(2)e2f(0)，f(xx)0時，a≥－－恒成立．
令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.
∴a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2
對稱軸t＝－＝－，
∴函數(shù)g′(t)在[1，＋∞)上減函數(shù)
而且g′(1)＝－16<0，
∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立．
∴g(t)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，
∴g(t)max＝g(1)＝－6.
當x<0時，a≤－－恒成立
∵x∈[－2,0)，∴t≤－，
令g′(t)＝0，∴t＝－1，
∴g(t)在(－∞，－1]上為減函數(shù)，在(－1，－]上為增函數(shù)，
∴g(t)min＝g(－1)＝－2，
∴－6≤a≤－2.
二、填空題
5．(xx鄭州網(wǎng)校期中聯(lián)考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．
[答案] b≤－1
[解析] f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
6．下圖為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則不等式xf′(x)<0的解集為__________________．
[答案] (－∞，－)∪(0，)
[解析] 由f(x)的圖像知，f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上為增函數(shù)，在(－，)上為減函數(shù)，
∴當x∈(－∞，－)∪(，＋∞)時，f′(x)>0；
當x∈(－，)時，f′(x)<0.
∴xf′(x)<0的解集為(－∞，－)∪(0，)．
三、解答題
7．設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
[解析] (1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f ′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f ′(1)＝6－8a，
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，
f ′(x)＝x－5＋＝.
令f ′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
當03時，f ′(x)>0，故f(x)的增區(qū)間為(0,2)，(3，＋∞)；當2
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導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè)
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