2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一課時 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一課時 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標: 掌握兩角和與差的余弦公式,能用公式進行簡單的求值;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點: 余弦的差角公式及簡單應(yīng)用 教學(xué)難點: 余弦的差角公式的推導(dǎo) 教學(xué)過程: Ⅰ.課題導(dǎo)入 在前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),在研究三角函數(shù)時,我們還常常會遇到這樣的問題:已知任意角α、β的三角函數(shù)值,如何求α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值?即:α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系? Ⅱ.講授新課 接下來,我們繼續(xù)考慮如何把兩角差的余弦cos(α-β)用α、β的三角函數(shù)來表示的問題. 在直角坐標系xOy中,以O(shè)x軸為始邊分別作角α、β,其終邊分別與單位圓交于P1(cosα,sinα)、P2(cosβ,sinβ),則∠P1OP2=α-β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù),所以,我們只需考慮0≤α-β<π的情況. 設(shè)向量a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),則: ab=︱a︱︱b︱cos (α-β)=cos (α-β) 另一方面,由向量數(shù)量積的坐標表示,有 ab=cosαcosβ+sinαsinβ 所以:cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β)) 兩角和的余弦公式對于任意的角α、β都是成立的,不妨,將此公式中的β用-β代替,看可得到什么新的結(jié)果? cos [α-(-β)] =cos αcos (-β)-sinαsin(-β) =cos αcos β-sinαsinβ 即:cos (α+β)=cos αcos β-sinαsinβ (C(α+β)) 請同學(xué)們觀察這一關(guān)系式與兩角差的余弦公式,看這兩式有什么區(qū)別和聯(lián)系? (1)這一式子表示的是任意兩角α與β的差α-β的余弦與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. (2)這兩式均表示的是兩角之和或差與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. 請同學(xué)們仔細觀察它們各自的特點. (1)兩角之和的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的差. (2)兩角之差的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的和. 不難發(fā)現(xiàn),利用這一式子也可求出一些與特殊角有關(guān)的非特殊角的余弦值. 如:求cos 15可化為求cos(45-30)或cos(60-45)利用這一式子而求得其值. 即:cos 15=cos(45-30) =cos 45cos 30+sin45sin30 =+= 或:cos 15=cos (60-45) =cos 60cos 45+sin60sin45 =+= 請同學(xué)們將此公式中的α用代替,看可得到什么新的結(jié)果? cos(-α)=coscos α+sinsinα=sinα 即:cos(-α)=sinα 再將此式中的α用-α代替,看可得到什么新的結(jié)果. cos[-(-α)]=cosα=sin(-α) 即:sin(-α)=cosα Ⅲ.課堂練習(xí) 1.求下列三角函數(shù)值 ①cos (45+30)②cos 105 解:①cos(45+30)=cos 45cos 30-sin45sin30 =-= ②cos 105=cos (60+45)=cos 60cos 45-sin60sin45 =-= 2.若cos αcos β=-,cos(α+β)=-1,求sinαsinβ. 解:由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 得:sinαsinβ=cosαcosβ-cos(α+β) 將cosαcosβ=-,cos(α+β)=-1代入上式可得:sinαsinβ= 3.求cos 23cos 22-sin23sin22的值. 解:cos 23cos 22-sin23sin22=cos(23+22)=cos 45= 4.若點P(-3,4)在角α終邊上,點Q(-1,-2)在角β的終邊上,求cos (α+β)的值. 解:由點P(-3,4)為角α終邊上一點;點Q(-1,-2)為角β終邊上一點, 得:cos α=-,sinα=;cosβ=-,sinβ=-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-)(-)-(-)= 5.已知cos(α-β)=,cos(α+β)=-,求:tanαtanβ的值. 解:由已知cos(α-β)=,cos(α+β)=- 可得:cos(α-β)+cos(α+β)=-= 即:2cosαcosβ= ① cos(α-β)-cos(α+β)=1 即:2sinαsinβ=1 ② 由②①得=tanαtanβ= ∴tanαtanβ的值為. 6.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,求:cos (α-β)的值. 解:由已知cosα-cosβ= 得:cos 2α-2cos αcos β+cos 2β= ① 由sinα-sinβ=- 得:sin2α-2sinαsinβ+sin2β= ② 由①+②得:2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)= 即:2-2cos(α-β)= ∴cos(α-β)= Ⅳ.課時小結(jié) 兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P96習(xí)題 1,2,3 兩角和與差的余弦 1.下列命題中的假命題是 ( ) A.存在這樣的α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在無窮多個α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.對于任意的α和β,都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在這樣的α和β值,使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ 2.在△ABC中,已知cos Acos B>sinAsinΒ,則△ABC一定是鈍角三角形嗎? 3.已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的最大值和最小值. 4.已知:α∈(,),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(+β)=- 求:cos (α+β). 5.已知:α、β為銳角,且cosα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值. 6.在△ABC中,已知sinA=,cosB=,求cos C的值. 兩角和與差的余弦答案 1.B 2.在△ABC中,已知cos Acos B>sinAsinΒ,則△ABC一定是鈍角三角形嗎? 解:∵在△ABC中,∴0<C<π,且A+B+C=π 即:A+B=π-C 由已知得cos Acos B-sinAsinB>0,即:cos(A+B)>0 ∴cos(π-C)=-cos C>0,即cos C<0 ∴C一定為鈍角 ∴△ABC一定為鈍角三角形. 3.已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的最大值和最小值. 分析:令cosα+cosβ=x,然后利用函數(shù)思想. 解:令cosα+cosβ=x,則得方程組: ①2+②2得2+2cos (α-β)=x2+ ∴cos (α-β)= ∵|cos (α-β)|≤1, ∴| |≤1 解之得:-≤x≤ ∴cosα+cosβ的最大值是,最小值是-. 4.已知:α∈(,),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(+β)=- 求:cos (α+β). 解:由已知:α∈(,) -α∈(-,-)-α∈(-,0) 又∵cos (-α)=, ∴sin(-α)=- 由β∈(0,)+β∈(,) 又∵sin(+β)=sin[π+(+β)]=-sin(+β)=- 即sin(+β)=, ∴cos(+β)= 又(+β)-(-α)=α+β ∴cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)] =cos(+β)cos(-α)+sin(+β)sin(-α) =+(-)=- 5.已知:α、β為銳角,且cosα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值. 解:∵0<αβ<,∴0<α+β<π 由cos (α+β)=-,得sin(α+β)= 又∵cosα=,∴sinα= ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sinα =(-)+= 評述:在解決三角函數(shù)的求值問題時,一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系. 6.在△ABC中,已知sinA=,cosB=,求cos C的值. 分析:本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中,輕易忽視,就會致錯. 解:由sinA=<知0<A<45或135<A<180, 又cos B=<,∴60<B<90,∴sinB= 若135<A<180則A+B>180不可能. ∴0<A<45,即cos A=. ∴cos C=-cos(A+B)=.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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