2019-2020年高中數(shù)學 1.2 充分條件與必要條件教案 新人教A版選修1-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 1.2 充分條件與必要條件教案 新人教A版選修1-1 ●三維目標 1.知識與技能 (1)正確理解充分條件、必要條件、充要條件三個概念； (2)能利用充分條件、必要條件、充要條件三個概念，熟練判斷四種命題間的關系； (3)在理解定義的基礎上，可以自覺地對定義進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成推理關系及集合的包含關系． 2．過程與方法 (1)培養(yǎng)學生的觀察與類比能力：“會觀察”，通過大量的問題，會觀察其共性及個性； (2)培養(yǎng)學生的歸納能力：“敢歸納”，敢于對一些事例，觀察后進行歸納，總結(jié)出一般規(guī)律； (3)培養(yǎng)學生的建構(gòu)能力：“善建構(gòu)”，通過反復的觀察分析和類比，對歸納出的結(jié)論，建構(gòu)于自己的知識體系中． 3．情感、態(tài)度與價值觀 (1)通過以學生為主體的教學方法，讓學生自己構(gòu)造數(shù)學命題，發(fā)展體驗獲取知識的感受； (2)通過對命題的四種形式及充分條件，必要條件的相對性，培養(yǎng)同學們的辯證唯物主義觀點； (3)通過“會觀察”，“敢歸納”，“善建構(gòu)”，培養(yǎng)學生自主學習，勇于創(chuàng)新，多方位審視問題的創(chuàng)造技巧，敢于把錯誤的思維過程及弱點暴露出來，并在問題面前表現(xiàn)出濃厚的興趣和不畏困難、勇于進取的精神． ●重點、難點 重點：充分條件、必要條件和充要條件三個概念的定義． 難點：必要條件的定義、充要條件的充分必要性． 重難點突破的關鍵：找出題目中的p、q，判斷p?q是否成立，同時還需判斷q?p是否成立，再弄清是問“p是q的什么條件”，還是問“q是p的什么條件”． (教師用書獨具) ●教學建議 基于教材內(nèi)容和學生的年齡特征，根據(jù)“開放式”、“啟發(fā)式”教學模式和新課程改革的理論認識，結(jié)合學生實際，主要突出以下幾個方面：(1)創(chuàng)設與生活實踐相結(jié)合的問題情景，在加強數(shù)學教學的實踐性的同時充分調(diào)動學生求知欲，并以此來激發(fā)學生的探究心理；(2)教學方法上采用了“合作——探索”的教學模式，使課堂教學體現(xiàn)“參與式”、“生活化”、“探索性”，保證學生對數(shù)學知識的主動獲取，以求獲得最佳效果； (3)注重滲透數(shù)學思考方法(聯(lián)想法、類比法、歸納總結(jié)等一般科學方法)，讓學生在探索學習知識的過程中，領會常見數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)造性素質(zhì)；(4)注意在探究問題時留給學生充分的時間，以利于開放學生的思維． 指導學生掌握“觀察——猜想——歸納——應用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對命題結(jié)構(gòu)的探究．讓學生在問題情景中學習，觀察，類比，思考，探究，概括，動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學生的主體地位，增強學生由特殊到一般的數(shù)學思維能力，形成了實事求是的科學態(tài)度，增強了鍥而不舍的求學精神． ●教學流程 ??????? (對應學生用書第7頁) 課標解讀 1.結(jié)合具體實例理解充分條件、必要條件的概念．(重點) 2．結(jié)合具體實例理解充要條件的概念．(重點) 3．會求或證明命題的充要條件．(難點，易錯點) 充分條件與必要條件 【問題導思】　 給出下列命題． (1)若x＞a2＋b2，則x＞2ab. (2)若ab＝0，則a＝0. (3)若整數(shù)a是6的倍數(shù)，則整數(shù)a是2和3的倍數(shù)． 1．你能判斷這三個命題的真假嗎？ 【提示】　(1)真命題　(2)假命題　(3)真命題 2．命題(1)中條件和結(jié)論有什么關系？命題(2)中呢？ 【提示】　命題(1)中只要滿足條件x＞a2＋b2，必有結(jié)論x＞2ab；命題(2)中滿足條件ab＝0，不一定有結(jié)論a＝0，還可能b＝0. 命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題 推出關系 p?q p?/ q 條件關系 p是q的充分條件q是p的必要條件 p不是q的充分條件q不是p的必要條件 充要條件 【問題導思】　 1．命題(3)中條件和結(jié)論有什么關系？它的逆命題成立嗎？ 【提示】　只要滿足條件，必有結(jié)論成立，它的逆命題成立． 2．若設p：整數(shù)a是6的倍數(shù)，q：整數(shù)a是2和3的倍數(shù)，則p是q的什么條件？q是p的什么條件？ 【提示】　因為p?q且q?p，所以p是q的充分條件也是必要條件；同理，q是p的充分條件，也是必要條件． 　一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． 【問題導思】 對于命題“若p，則q”，如果p?q，但q p，那么p是q的什么條件？如果q?p，但pq呢？如果pq，qp呢？ 【提示】　充分不必要條件，必要不充分條件，既不充分也不必要條件. (對應學生用書第8頁) 充分條件、必要條件、充要條件的判斷 　已知實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列結(jié)論正確的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的充要條件； ②Δ＝b2－4ac＝0是這個方程有實根的充分條件； ③Δ＝b2－4ac＞0是這個方程有實根的必要條件； ④Δ＝b2－4ac＜0是這個方程沒有實根的充要條件． A．③④　　　　　　 B．②③ C．①②③ D．①②④ 【思路探究】　(1)當Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0時，一元二次方程的根的情況是怎樣的？(2)如何判斷充分條件，必要條件和充要條件？ 【自主解答】?、賹Γぁ??方程ax2＋bx＋c＝0有實根； ②對，Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0有實根； ③錯，Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0有實根，但ax2＋bx＋c＝0有實根Δ＞0； ④對，Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0無實根．故選D. 【答案】　D 充分條件、必要條件和充要條件反映了條件p與結(jié)論q之間的因果關系，在具體判斷時，常用如下方法： (1)定義法： ①若p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件； ②若q?p，但pq，則p是q的必要不充分條件； ③若p?q，且q?p，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件； ④若pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件． (2)集合法： 如果p，q分別以集合A、集合B的形式出現(xiàn)，那么p，q之間的關系可以借助集合知識來判斷． ①若A?B，則p是q的充分條件； ②若A?B，則p是q的必要條件； ③若A＝B，則p是q的充要條件； ④若，且，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件，即p是q的既不充分也不必要條件． (3)等價法： 當某一命題不易直接判斷條件與結(jié)論的充要關系時，可以利用原命題與其逆否命題的等價性來判斷，即等價轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題是否成立． (xx山東高考)設a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當f(x)＝ax為R上的減函數(shù)時，0＜a＜1,2－a＞0，此時g(x)＝(2－a)x3在R上為增函數(shù)成立；當g(x)＝(2－a)x3為增函數(shù)時，2－a＞0即a＜2，但1＜a＜2時，f(x)＝ax為R上的減函數(shù)不成立，故選A. 【答案】　A 充分條件、必要條件、充要條件的應用 　若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，則a的最大值是多少？ 【思路探究】　(1)本例中誰是條件，誰是結(jié)論？(2)“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件的含義是什么？ 【自主解答】　∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1. 又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件． ∴x＜a?x2＞1但x2＞1x＜a. ∴a≤－1， ∴a的最大值為－1. 1．若條件是結(jié)論的充分條件，即由條件推出結(jié)論來；若條件是結(jié)論的必要條件，即由結(jié)論推出條件來，由此建立起邏輯關系解決問題． 2．本類題目常與集合知識聯(lián)系，解題時要把滿足條件的對象所構(gòu)成的集合與滿足結(jié)論的對象所構(gòu)成的集合建立起包含關系，并借助數(shù)軸的直觀性來處理，但要特別注意端點值的取舍． 本例中的“x＜a”改為“x＞a”，其他條件不變，則a的最小值為多少？ 【解】　∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1， ∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分條件， ∴x＞a?x2＞1，但x2＞1x＞a. 如圖示： ∴a≥1， ∴a的最小值為1. 充要條件的證明 　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)． 求證：{an}為等比數(shù)列的充要條件是q＝－1. 【思路探究】　→→→ 【自主解答】　充分性：當q＝－1時，Sn＝pn－1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)， 當n＝1時，也成立， ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝pn－1(p－1)． 又∵p≠0且p≠1， ∴＝＝p， ∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列． 必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0且p≠1， ∴＝＝p. 又∵{an}為等比數(shù)列，∴＝＝p， ∴＝p，∴q＝－1. 綜上可知，{an}是等比數(shù)列的充要條件是q＝－1. 1．在本題中，充分性是指：由q＝－1推出{an}為等比數(shù)列，必要性是指由{an}為等比數(shù)列推出q＝－1. 2．有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，誰是誰的什么條件，由“條件?結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論?條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是證充分性；二是證必要性． 求證：關于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0對于一切實數(shù)x都成立的充要條件是0＜a＜4. 【證明】?、俦匾裕喝鬭x2－ax＋1＞0對于一切實數(shù)x都成立， 由二次函數(shù)性質(zhì)有 即∴0＜a＜4. ②充分性：∵0＜a＜4， ∴0＜＜1，即0＜1－＜1， ∴ax2－ax＋1＝a(x－)2＋1－＞0， ∴若0＜a＜4，則ax2－ax＋1＞0對于一切實數(shù)x都成立． 由①②知，命題得證. (對應學生用書第9頁) 忽略隱含條件致誤 　已知關于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有兩個大于1的實根的充要條件． 【錯解】　由方程x2－mx＋2m－3＝0的根都大于1，可設方程的兩根分別為x1，x2， 故有即解得m＞2， 即使方程有兩個大于1的實根的充要條件為m＞2. 【錯因分析】　忽略了條件Δ≥0，將兩實根大于1的充要條件誤認為是 【防范措施】　一元二次方程根的情況和充要條件合到一起的題目常常有隱含條件(二次項系數(shù)不為0)考慮，方程的根的情況又必須考慮根的判別式Δ，解題時一定要注意． 【正解】　設方程x2－mx＋2m－3＝0的兩根分別為x1、x2. 由題意知?? ??m≥6. 即使方程有兩個大于1的實根的充要條件為m≥6. 1．對充分條件、必要條件、充要條件的判斷最常用的方法是定義法，這種方法判斷直觀、簡捷、出錯率低． 2．利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍的關鍵就是找出集合間的包含關系，要注意范圍的臨界值． 3．證明充要條件問題要分別證明充分性和必要性兩個方面．即若證p是q的充要條件需證p?q和q?p兩個方面，同時注意條件的充分性和必要性不要混淆. (對應學生用書第9頁) 1．(xx成都高二檢測)“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 【解析】　當x＝3時，x2＝9； 但x2＝9，有x＝3. ∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要條件． 【答案】　A 2．“x＞－2”是 “x＞3”的必要條件中，條件是_____，結(jié)論是________． 【答案】　x＞－2　x＞3 3．“x＝1”是“方程x2－3x＋2＝0的根”的________條件(填“充分”“必要”)． 【解析】　x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根，但方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2. 【答案】　充分 4．判斷下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：tan x＝1，q：x＝2kπ＋(k∈Z)； (2)(xx湖南高考改編)設集合M＝{1,2}，N＝{a2}．p：a＝1，q：N?M. 【解】　(1)當x＝2kπ＋(k∈Z)時，tan x＝tan ＝1， ∴q?p. 但tan x＝1，有x＝kπ＋(k∈Z)，pq. 因此p是q的必要不充分條件． (2)當a＝1時，N＝{1}，N?M. 但N?M時，有a2＝1或a2＝2，不一定有a＝1. 因此p?q，qp， 所以p是q的充分不必要條件． 一、選擇題 1．(xx浙江高考)設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件　　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　若直線l1與l2平行， 則a(a＋1)－21＝0， 即a＝－2或a＝1， 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件． 【答案】　A 2．已知命題“若p，則q”，假設其逆命題為真，則p是q的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　原命題的逆命題：“若q，則p”，它是真命題，即q?p，所以p是q的必要條件． 【答案】　B 3．(xx鄭州高二檢測)函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件的(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 【解析】　由f(x)＝x2＋mx＋1＝(x＋)2＋1－， ∴f(x)的圖象的對稱軸為x＝－，由題意：－＝1， ∴m＝－2. 【答案】　A 4．設集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　∵M?N，∴a∈N?a∈M，而a∈M?/a∈N. 故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分條件． 【答案】　B 5．有下述說法： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要條件；②a＞b＞0是＜的充要條件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要條件． 其中正確的說法有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【解析】　a＞b＞0?a2＞b2， a2＞b2?|a|＞|b|?/a＞b＞0，故①錯． a＞b＞0?＜，但＜?/a＞b＞0，故②錯． a＞b＞0?a3＞b3，但a3＞b3?/a＞b＞0，故③錯． 【答案】　A 二、填空題 6．條件p：1－x＜0，條件q：x＞a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． 【解析】　p：x＞1，若p是q的充分不必要條件，則p?q，但q?/p，即p對應集合是q對應集合的子集，故a＜1. 【答案】　(－∞，1) 7．如圖1－1－1所示的四個電路圖，條件A：“開關S1閉合”，條件B：“燈泡L亮”，則A是B的充要條件的圖為________．  圖1－1－1 【答案】　乙 8．下列命題： ①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要條件； ②b2－4ac＜0是不等式ax2＋bx＋c＜0解集為R的充要條件； ③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充分不必要條件； ④“xy＝1”是“l(fā)g x＋lg y＝0”的必要而不充分條件． 其中真命題的序號為________． 【解析】?、賦＞2且y＞3時，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要條件； ②不等式解集為R的充要條件是a＜0且b2－4ac＜0.故②為假命題； ③當a＝2時，兩直線平行，反之，兩直線平行，＝，∴a＝2， 因此，“a＝2”是“兩直線平行”的充要條件； ④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0. 所以“l(fā)g x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然． 因此“xy＝1”是“l(fā)g x＋lg y＝0”的必要而不充分條件． 綜上可知，真命題是④. 【答案】?、? 三、解答題 9．下列各題中，p是q的什么條件？(從充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選擇一個) (1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有實根； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 【解】　(1)當|a|≥2，如a＝3時，方程可化為x2＋3x＋6＝0，無實根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有實根，則必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，從而可以推出|a|≥2.綜上可知，q?p，p?/q.所以p是q的必要不充分條件． (2)由a2＋b2＝0，可得a＝0且b＝0，故a＋b＝0， 而由a＋b＝0，可得a＝－b，當a＝1，b＝－1時，推出a2＋b2＝0， 從以p是q的充分不必要條件． (3)由x－1＝可得x＝1或x＝2， 故p是q的充要條件． 10．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩異號實根的充要條件是ac＜0. 【證明】?、俦匾裕河捎诜匠蘟x2＋bx＋c＝0有一正根和一負根， 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac＜0. ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2為方程的兩根)． 所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根． 11．(xx徐州高二檢測)已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 【解】　由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10. ∴p：－2≤x≤10. 又x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)， ∴q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． ∵綈p是綈q的必要不充分條件， ∴q是p的必要不充分條件． 故有或，解之得m≥9. 因此實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞). (教師用書獨具) 對于非零實數(shù)x，y有x＞y，試探求＜的充要條件，并加以證明． 【解】　由＜知，＞0， 又x＞y，則x－y＞0， 因此xy＞0， 即x＞y，且＜xy＞0. 反過來，因為x＞y，所以y－x＜0. 因為xy＞0，所以＞0. 所以＜0，即＜. 綜上，x＞y時，＜的充要條件是xy＞0. 探求一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件． 【解】　(1)∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，即－kx＋b＝－(kx＋b)， ∴b＝0，因此b＝0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件． (2)如果b＝0，那么f(x)＝kx(k≠0)，此時f(x)＝kx(k≠0)為奇函數(shù)． 結(jié)合(1)、(2)知f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.