2019-2020年中考數學 函數重點難點突破解題技巧傳播十五.doc

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2019-2020年中考數學 函數重點難點突破解題技巧傳播十五 1、如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經 過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封 閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點． （1）求A、B兩點的坐標； （2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由； （3）當△BDM為直角三角形時，求的值． 【答案】解：（1）令y=0，則 ， ∵m＜0，∴，解得：， 。 ∴A（，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵設拋物線C1的表達式為（）， 把C（0，）代入可得，。 ∴Ｃ1的表達式為：，即。 設P（p，）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC =。 ∵<0，∴當時,S△PBC最大值為。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）， ∴BD2=，BM2=，DM2=。 ∵∠MBD<90, ∴討論∠BMD=90和∠BDM=90兩種情況： 當∠BMD=90時，BM2+ DM2= BD2 ，即＋=， 解得：, (舍去)。 當∠BDM=90時，BD2+ DM2= BM2 ，即＋=， 解得：， (舍去) 。 綜上所述， 或時，△BDM為直角三角形。 【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標。 （2）先用待定系數法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面積的表達式，根據二次函數最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90時；②∠BDM=90時，討論即可求得m的值。 2、一次函數、二次函數和反比例函數在同一直角坐標系中圖象如圖，A點為（－2，0）。則下列結論中，正確的是【 】 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D。 【解析】將A（－2，0）代入，得。 ∴二次函數?！喽魏瘮档捻旤c坐標為（－1，－a）。 當x=－1時，反比例函數。 由圖象可知，當x=－1時，反比例函數圖象在二次函數圖象的上方，且都在x下方， ∴，即。故選D。 （實際上應用排它法，由，也可得ABC三選項錯誤） 3．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論： ①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正確的結論是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】 試題分析：①圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，能得到：a＞0，＞0，則b＜0。正確。 ②∵對稱軸為直線x=1，∴x=2與x=0時的函數值相等，∴當x=2時，y=4a+2b+c＞0。錯誤。 ③當x=﹣1時，y=a﹣b+c＞0。正確。 ④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b。 ∵當x=1時，y=a+b+c＜0?！郺+c＜﹣b?！郻＜a+c＜﹣?！鄚a+c|＜|b|?！啵╝+c）2＜b2。正確。 所以正確的結論是①③④。故選C。 4、如果一個正比例函數的圖象與一個反比例函數的圖象交，那么值為 . 【答案】。 【解析】∵A，B在反比例函數上，∴。 又∵正比例函數與反比例函數的交點坐標關于原點成中心對稱， ∴對于有。 ∴。 5、如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，∠BOA=45，則過A點的雙曲線解析式是　 ?。? 【答案】 【解析】 試題分析：∵∠BOA=45，∴設A（m，m）。 ∵⊙O的半徑為1，∴AO=1?！鄊2+m2=12，解得：m=，∴A（，）， 設反比例函數解析式為（k≠0）， ∵圖象經過A點，∴k==?！喾幢壤瘮到馕鍪綖?。 6、如圖1，平面之間坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經過O，C兩點做拋物線（a為常數，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx（k為常數，k＞0） （1）填空：用含t的代數式表示點A的坐標及k的值：A　 　，k=　 ??； （2）隨著三角板的滑動，當a=時： ①請你驗證：拋物線的頂點在函數的圖象上； ②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值； （3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍． 【答案】解：（1）∵點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，∴點A的坐標是（t，4）。 ∵直線OA：y2=kx（k為常數，k＞0），∴4=kt，則（k＞0）。 （2）①當a=時，，其頂點坐標為。 對于，當x=時， ∴點在拋物線上。 ∴當a=時，拋物線的頂點在函數的圖象上。 ②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K， ∵AC⊥x軸，∴AC∥EK。 ∵點E是線段AB的中點，∴K為BC的中點。 ∴EK是△ACB的中位線。 ∴EK=AC=2，CK=BC=2?！郋（t+2，2）。 ∵點E在拋物線上， ∴，解得t=2。 ∴當三角板滑至點E為AB的中點時，t=2。 （3）如圖2，由得， 解得，或x=0（不合題意，舍去）。 ∴點D的橫坐標是。 當時，|y2﹣y1|=0，由題意得，即。 又， ∴當時，取得最大值。 又當時，取得最小值0， ∴當時，的值隨x的增大而減小，當時，的值隨x的增大而增大。 由題意，得，將代入得，解得。 綜上所述，a與t的關系式為，t的取值范圍為。 【解析】 試題分析：（1）根據題意易得點A的橫坐標與點C的相同，點A的縱坐標即是線段AC的長度；把點A的坐標代入直線OA的解析式來求k的值： （2）①求得拋物線y1的頂點坐標，然后把該坐標代入函數，若該點滿足函數解析式，即表示該頂點在函數圖象上；反之，該頂點不在函數圖象上。 ②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．則EK是△ACB的中位線，所以根據三角形中位線定理易求點E的坐標，把點E的坐標代入拋物線即可求得t=2。 （3）如圖2，根據拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標是，則，由此可以求得a與t的關系式。由求得取得最大值時的x值，同時由時，取得最小值0，得出當時，的值隨x的增大而減小，當時，的值隨x的增大而增大。從而由題意，得，結合，求出t的取值范圍。 7、已知：拋物線C1：y＝x2。如圖（1），平移拋物線C1得到拋物線C2，C2經過C1的頂點O和A（2，0），C2的對稱軸分別交C1、C2于點B、D。 （1）求拋物線C2的解析式； （2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論； （3）如圖（2），將拋物線C2向下平移m個單位（m＞0）得拋物線C3，C3的頂點為G，與y軸交于M。點N是M關于x軸的對稱點，點P（）在直線MG上。問：當m為何值時，在拋物線C3上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？ 【答案】解：（1）∵拋物線C2經過點O（0，0），∴設拋物線C2的解析式為。 ∵拋物線C2經過點A（2，0），∴，解得。 ∴拋物線C2的解析式為。 （2）∵，∴拋物線C2的頂點D的坐標為（1，）。 當x=1時， ，∴點B的坐標為（1，1）。 ∴根據勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。∴四邊形ODAB是菱形。 又∵OA=BD=2，∴四邊形ODAB是正方形。 （3）∵拋物線C3由拋物線C2向下平移m個單位（m＞0）得到， ∴拋物線C3的解析式為。 在中令x=0，得，∴M。 ∵點N是M關于x軸的對稱點，∴N。∴MN=。 當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況： ①若MN是平行四邊形的一條邊，由MN=PQ=和P（）得Q（）。 ∵點Q 在拋物線C3上，∴，解得或（舍去）。 ②若MN是平行四邊形的一條對角線，由平行四邊形的中心對稱性，得Q（）。 ∵點Q 在拋物線C3上，∴，解得或（舍去）。 綜上所述，當或時，在拋物線C3上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形。 【解析】 試題分析：（1）根據平移的性質，應用待定系數法即可求得拋物線C2的解析式。 （2）求出各點坐標，應用勾股定理求出各邊長和對角線長，根據正方形的判定定理可得結論。 （3）分MN為平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論即可。