2019-2020年高三數學一輪復習第6講二次曲線與二次曲線教案.doc

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2019-2020年高三數學一輪復習第6講二次曲線與二次曲線教案 一、考情分析 高考說明中明確指出：“對于圓錐曲線的內容，不要求解有關兩個二次曲線交點坐標的問題（兩圓的交點除外）”， 但是，在解答某些問題時，難免會遇到兩個二次曲線相切或相交的問題，因此，解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里． 應該讓學生明白：雙二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點個數不等價．其次，有些問題涉及兩個二次曲線，但所討論和研究的并不是交點，而是它們的某些參量之間的關系，由于涉及到的參量較多，問題往往顯得較為復雜，這類問題要特別加以注意，理清思路，順藤摸瓜，設計好解題步驟．本講主要是調動學生學習的主動性，注意交代知識的來龍去脈，教給學生解決問題的思路，幫助考生培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，培養(yǎng)良好的個性品質，以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，進一步提高學生“應用數學”的水平． 二、精典例析 例1：拋物線的焦點為，以為圓心，以為半徑，在軸的上方作一個半圓，設半圓與拋物線交于不同的兩點，點是的中點． （1）求的值； （2）是否存在，使得成等差數列？ 解析：（1）顯然，半圓的方程為，設在準線上的射影分別為，點的橫坐標分別為，則： ， ∴，且， ∵， ∴； （2）若存在，使得成等差數列，則： ， ∴，即點在拋物線上，矛． 故不存在，使得成等差數列． 例2：討論圓與拋物線的位置關系． 解析：圓是以為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現，當時，圓與拋物線無公共點；當時，圓與拋物線相切；當時，圓與拋物線相交；而當時，圓與拋物線的關系則很難從圖形上加以判斷． 為此，我們需借助方程組的解的個數來加以說明． ，（＊） ， 顯然，當時，；當時，；當時，． 事實上，當時，的確有圓與拋物線相切；當時，圓與拋物線無公共點．而當時，雖然有，但圓與拋物線卻并不總有公共點，也即判別式與方程組解的個數不等價． 原因是：在方程組轉化為方程（＊）的過程中，忽略了條件．事實上，方程組解的個數等于方程（＊）的非負解的個數． 綜上，圓與拋物線的位置關系如下： 當或時，圓與拋物線無公共點；當時，圓與拋物線相切（只有一個公共點）；當時，圓與拋物線相交（兩個公共點）；當時，圓與拋物線相交（三個公共點）；當時，圓與拋物線相交（四個公共點）；當時，圓與拋物線相切（兩個公共點）． 點評：雙二次曲線的問題，要注意判別式的符號與交點個數并不完全等價． 例3：(05重慶卷) 已知橢圓，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點． （1）求雙曲線的方程； （2）若直線l：與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，且l與的兩個交點A和B滿足(O為原點)，求k的取值范圍． 解析：（1）設雙曲線，則：，， 故雙曲線的方程為． （2）， ∵直線l：與橢圓恒有兩個不同的交點， ∴； 同理，， ∵直線l：與雙曲線恒有兩個不同的交點， ∴； 設，則： ， ∵ ，∴， ∵ ． ∴； ∴或， 故k的取值范圍為． 例4：已知橢圓，它的離心率為．直線，它與以原點為圓心，以的短半軸為半徑的圓相切． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設橢圓的左焦點為，左準線為．動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點．試點到圓上的點的最短距離． 解析：（Ⅰ）∵直線與以原點為圓心，以b為半徑的圓相切，∴； 又∵ 橢圓的離心率為，∴； ∴ 橢圓的方程為． （Ⅱ）橢圓的左焦點的坐標為，左準線的方程為：． 連接，則．由拋物線的定義可知：點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，其方程為：． ∴點到圓上的點的最短距離，實際上就是拋物線與圓上的點的最短距離．下面我們分別從幾何和代數的角度來考慮這個問題： 法一：首先，如果拋物線上點與圓上點之間距離最小，則必過圓心．（否則，連接，設交圓于點，則：，與最小矛盾．） 在拋物線上任取一點M（x,y），則： ， ∵，∴（當且僅當時取得等號）． 故點到圓上的點的最短距離為． 法二：用純代數的方法去思考．設為拋物線上任意點，為圓上任意點，則： ， 當且僅當拋物線和圓上的兩點分別為和時取得等號． 點評：方法二需要較強的代數變形的能力，充分運用圖形的幾何性質可以使得問題簡化． 例5：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點和，兩曲線在第一象限內的交點為．橢圓與軸負半軸交于點，且三點共線，分向量的比為，又直線與雙曲線的另一交點為，若． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）求雙曲線和橢圓的方程． 解析：（Ⅰ）若設橢圓的方程為：，則： ∵三點共線，且分有向線段的比為， ∴點的坐標為，代入橢圓方程，得橢圓的離心率． （Ⅱ）橢圓的方程為：，，直線的方程為：， 設雙曲線的方程為：，則：， ∵ 在雙曲線上，∴ ， ∵， ∴． ∴，∴． ∴ 橢圓方程為，雙曲線方程為． 點評：解答本題，最大的問題在于：所給條件雜亂無序，不知從何入手，為此，應該理清頭緒，層層遞進，分步解答． 例6：設拋物線過定點，且以直線為準線． （Ⅰ）求拋物線頂點的軌跡的方程； （Ⅱ）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍． 解析：（Ⅰ）設拋物線的頂點為，則其焦點為，則： ∵． ∴．故拋物線頂點的軌跡的方程為：． （Ⅱ）因為是弦MN的垂直平分線與軸交點的縱坐標，由MN所唯一確定．因此，要求的取值范圍，還應該從直線與軌跡相交入手． 顯然，直線與坐標軸不可能平行，設直線的方程為，則： ， ∵直線與軌跡交于不同的兩點， ∴， ∵線段恰被直線平分，∴， ∴． ∴． 下面，只需找到與的關系，即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點． B B/ Ｍ Ｎ Ｐ 在中，令，可解得：， 將點代入，可得：； 故故的取值范圍是． 從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個關鍵步驟：一是尋求與其它參數之間的關系，二是構造一個有關參量的不等式．從這兩點出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法： 法二：設弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：， 兩式相減得：，∴； ∵點在弦MN的垂直平分線上，∴； ∵點在線段上（為直線與橢圓的交點）， ∴， 故的取值范圍是． 點評：解決直線和圓錐曲線的位置關系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項系數和判別式，有時借助圖形的幾何性質更為方便．涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法． 從構造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯立所得判別式大于0”與“弦MN的中點在橢圓內”是等價的． 例7：(04年北京東城)已知橢圓的中心在原點，左焦點為，其右焦點和右準線分別是拋物線的頂點和準線． （1）求橢圓的方程； （2）若點為橢圓上的點，的內切圓的半徑為，求點到軸的距離； （3）若點為橢圓上的一個動點，當為鈍角時求點的取值范圍． 解析：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，設橢圓的方程為，則：， ∵，∴， 故橢圓的方程為． （2）設橢圓內切圓的圓心為Q，則： ， 設點到軸的距離為，則： ∴． （3）設點的坐標為，則： ∵為鈍角，∴， ∴即為所求． 例8：（05年山東卷）已知動圓過定點，且與直線相切． （1）求動圓圓心的軌跡的方程； （2）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標． 解析：（1）設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，則： ，即動點到定點與定直線的距離相等， ∴點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，方程為． （2）設，則： ∵，∴，且， ∴直線的斜率存在，設其方程為，則：， ， ∴， ①當時，即時，， ∴， ∴， 故直線的方程可表示為，即直線恒過定點． ②當時，即時，則：， ∴， 故直線的方程可表示為，即直線恒過定點． 綜上，當時，直線恒過定點；當時直線恒過定點．三、課后反思 ．