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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3 基本不等式 第1課時(shí) 基本不等式同步練習(xí) 北師大版必修5
一、選擇題
1．下列結(jié)論正確的是( )
A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋≥2
B．當(dāng)x>0時(shí)，＋≥2
C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋的最小值為2
D．當(dāng)0
0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立．
3．若x>4，則函數(shù)y＝x＋( )
A．有最大值－6 B．有最小值6
C．有最大值－2 D．有最小值2
[答案] B
[解析] ∵x>4，∴x－4>0，
∴y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.
當(dāng)且僅當(dāng)x－4＝，即x－4＝1，x＝5時(shí)，取等號(hào)．
4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，則( )
A．R0時(shí)，y＝x＋≥2，
當(dāng)x<0時(shí)，y＝－[(－)＋(－x)]≤－2；
對(duì)于B，∵3x>0,3－x>0，∴y＝3x＋3－x≥2.
對(duì)于C、D兩項(xiàng)中，等號(hào)均不能成立．
6．某工廠(chǎng)第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a, 第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
[答案] B
[解析] ∵這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設(shè)a＞0，b＞0.
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤.
等號(hào)在1＋a＝1＋b即a＝b時(shí)成立．
二、填空題
7．若x<0，則y＝＋2x＋的最大值是________．
[答案] －3
[解析] y＝－(－2x－)
≤－2＝－2
＝－4＝－3.
當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝－，即x＝－時(shí)取等號(hào)．
8．已知x，y∈R＋，且滿(mǎn)足＋＝1，則xy的最大值為_(kāi)_______．
[答案] 3
[解析] ∵x>0，y>0，且1＝＋≥2，
∴xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝2時(shí)，等號(hào)成立．
三、解答題
9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值；
(2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgxlgy的最大值；
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
[解析] (1)∵lgx＋lgy＝2，∴l(xiāng)gxy＝2，∴xy＝100，
又∵5x＋2y≥2＝2＝20，
當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2y，即x＝2，y＝5時(shí)，5x＋2y取得最小值20.
(2)∵x>1，y>1，
∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，∴l(xiāng)gxlgy≤()2，
∴l(xiāng)gxlgy≤1，
即lgxlgy的最大值為1.
當(dāng)且僅當(dāng)lgx＝lgy，即x＝y(tǒng)＝10時(shí)，等號(hào)成立．
(3)y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝x－1，
即(x－1)2＝1時(shí)，等式成立，∵x>1，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，ymin＝4.
10．(1)求函數(shù)y＝＋x(x>3)的最小值．
(2)設(shè)x>0，求y＝2－x－的最大值．
[解析] y＝＋x＝＋(x－3)＋3，
∵x>3，∴x－3>0，
∴＋(x－3)≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)＝x－3，即x－3＝1，x＝4時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y＝＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.
(2)∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－≤2－4＝－2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，y取最大值－2.
一、選擇題
1．如果a，b滿(mǎn)足02a，
∴a<，
又a2＋b2≥2ab，∴最大數(shù)一定不是a和2ab，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，
∵1＝a＋b>2，∴ab<，
∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.
解法二：特值檢驗(yàn)法：取a＝，b＝，則2ab＝，
a2＋b2＝，∵>>>，∴a2＋b2最大．
2．設(shè)x＋3y＝2，則函數(shù)z＝3x＋27y的最小值是( )
A. B．2
C．3 D．6
[答案] D
[解析] z＝3x＋27y≥2
＝2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝1，
即x＝1，y＝時(shí)，z＝3x＋27y取最小值6.
3．設(shè)正數(shù)x，y滿(mǎn)足x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
[答案] D
[解析] ∵x＋4y≥2＝4，
∴≤＝＝10，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y即x＝20，y＝5時(shí)取“＝”，
∴xy≤100，即(xy)max＝100，
∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)的最大值為lg100＝2.故選D.
4．對(duì)x∈R且x≠0都成立的不等式是(
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D．|x＋|≥2
[答案] D
[解析] 因?yàn)閤∈R，所以當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；
當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，
所以A、B都錯(cuò)誤；又因?yàn)閤2＋1≥2|x|，
所以≤，所以C錯(cuò)誤，故選D.
二、填空題
5．周長(zhǎng)為l的矩形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．
[答案] l
[解析] 設(shè)矩形長(zhǎng)為a，寬為b，則a＋b＝，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥，
∴對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)≥＝l.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取“＝”．
6．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿(mǎn)足條件的a，b恒成立的是__________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))．
①ab≤1；?、冢?； ③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；?、荩?.
[答案] ①③⑤
[解析]?、賏b≤()2＝()2＝1，成立．
②欲證＋≤，即證a＋b＋2≤2，
即2≤0，顯然不成立．
③欲證a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，
即證4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．
④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3?a2－ab＋b2≥?(a＋b)2－3ab≥?4－≥3ab?ab≤，由①知，ab≤不恒成立．
⑤欲證＋≥2，即證≥2，
即證ab≤1，由①知成立．
三、解答題
7．某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)2 000元的電視機(jī)共3 600臺(tái)，每批都購(gòu)入x臺(tái)(x是正整數(shù))，且每批均需運(yùn)費(fèi)400元，儲(chǔ)存購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比．若每批購(gòu)入400臺(tái)，則全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用43 600元．現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費(fèi)用，請(qǐng)問(wèn)：能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
[解析] 設(shè)全年需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用為y元，題中比例系數(shù)為k，每批購(gòu)入x臺(tái)，則共需分批，每批費(fèi)用為2 000x元．
由題意得y＝400＋k2 000x.由x＝400時(shí)，有y＝43 600得k＝＝，所以y＝400＋100x≥2＝24 000(元)．
當(dāng)且僅當(dāng)400＝100x，即x＝120時(shí)，等號(hào)成立．
故只需每批購(gòu)入120臺(tái)，可以使資金夠用．
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當(dāng)00，>0，∴x＋1＋≥2.
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝－1時(shí)，f(x)取最小值．
此時(shí)，f(x)min＝2－1.
(2)當(dāng)0x2≥0，則
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)[1－]，
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而00，
∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
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