2019-2020年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4 教學分析　　　　　 向量減法運算是加法的逆運算．學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算．因此，類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù))，首先引進相反向量的概念，然后引入向量的減法(減去一個向量，等于加上這個向量的相反向量)，通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則，結合一定數(shù)量的例題，深刻理解向量的減法運算．通過闡述向量的減法運算，可以轉化為向量加法運算，滲透化歸的數(shù)學思想，使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯(lián)系的辯證思想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數(shù)學學科與物理學科之間的聯(lián)系，提高學生的應用意識． 三維目標　　　　　 1．通過探究活動，使學生掌握向量減法概念；理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，掌握相反向量． 2．啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造性地解決問題；能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 3．能熟練地通過作圖，求作兩個向量的差． 重點難點　　　　　 教學重點：向量的減法運算及其幾何意義． 教學難點：對向量減法定義的理解． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.(類比聯(lián)想導入)上節(jié)課，我們學習了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢？引導學生進一步探究，由此展開新課． 思路2.(直接導入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算．本節(jié)課，我們進一步學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發(fā)現(xiàn)． 推進新課　　　　　 (1)向量是否有減法？ (2)怎樣定義向量的減法運算？ (3)如何理解向量的減法？ (4)向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則，那么，向量的減法是否也有類似的法則？ 活動：數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運算，必須先引進一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數(shù)的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應引進一個新的概念，這個概念又該如何定義？ 引導學生思考，相反向量有哪些性質？ 由于方向反轉兩次仍回到原來的方向，因此a和－a互為相反向量． 于是－(－a)＝a. 我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量． 任一向量與其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. (1)平行四邊形法則 如圖1，設向量＝b，＝a，則＝－b，由向量減法的定義，知＝a＋(－b)＝a－b. 圖1 又b＋＝a， 所以＝a－b. 由此，我們得到a－b的作圖方法． (2)三角形法則 如圖2，已知a、b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義． 圖2 討論結果：(1)向量也有減法運算． (2)定義向量減法運算之前，應先引進相反向量． 與數(shù)x的相反數(shù)是－x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫作a的相反向量，記作－a. (3)向量減法的定義．我們定義 a－b＝a＋(－b)， 即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量． 規(guī)定：零向量的相反向量是零向量． (4)向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn)． 思路1 例1如圖3，ABCD中，＝a，＝b，你能用a、b表示向量、嗎？ 圖3 活動：本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎．要多注意這方面的訓練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系． 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道＝a＋b， 同樣，由向量的減法，知＝－＝a－b. 變式訓練 1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量等于(　　) A．a(chǎn)＋b＋c　　　　　　　　B．a(chǎn)－b＋c C．a(chǎn)＋b－c D．a(chǎn)－b－c 解析：如圖4，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結合圖形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c. 圖4 答案：B 2．若＝a＋b，＝a－b. ①當a、b滿足什么條件時，a＋b與a－b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時，|a＋b|＝|a－b|? ③當a、b滿足什么條件時，a＋b平分a與b所夾的角？ ④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？ 　 解：如圖5，用向量構建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對角線． 圖5 由平行四邊形法則，得 ＝a＋b，＝－＝a－b. 由此問題就可轉換為： ①當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|＝|b|) ②當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直) ③當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內角？(|a|＝|b|) ④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同) 例2如圖6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c. 活動：教師讓學生親自動手操作，引導學生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎；點撥學生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量． 解：在平面上任取一點O，作O＝a，O＝b，則B＝a－b. 再作B＝c，并以BA、BC為鄰邊作BADC， 則B＝B＋B＝a－b＋c(如圖7)． 圖6 圖7 變式訓練 1．在ABCD中，下列結論中錯誤的是(　　) A.＝　　　　　　　　　B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0 解析：A顯然正確，由平行四邊形法則，可知B正確，C中，－＝錯誤，D中，＋＝＋＝0正確． 答案：C 2．已知向量a，b，c與d，求a－b，c－d(圖8)． 圖8 解：作＝a，OB＝b，作，則 a－b＝－＝； 作＝c，＝d，作，則 c－d＝－＝. 思路2 例1判斷題： (1)若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b的方向必與a、b之一的方向相同． (2)△ABC中，必有＋＋＝0. (3)若＋＋＝0，則A、B、C三點是一個三角形的三頂點． (4)|a＋b|≥|a－b|. 解：(1)若a與b方向相同，則a＋b的方向與a和b方向都相同； 若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量， 此時a＋b＝0的方向不確定，說與a、b之一方向相同不妥． (2)由向量加法法則＋＝，與是互為相反向量，所以有上述結論． (3)因為當A、B、C三點共線時也有＋＋＝0，而此時構不成三角形． (4)當a與b不共線時，|a＋b|與|a－b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，其大小不定； 當a、b為非零向量共線時，同向則有|a＋b|>|a－b|，異向則有|a＋b|<|a－b|； 當a、b中有零向量時，|a＋b|＝|a－b|. 綜上所述，只有(2)正確． 例2若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 解析：＝－. (1)當、同向時，||＝8－5＝3； (2)當、反向時，||＝8＋5＝13； (3)當、不共線時，3<||<13. 綜上，可知3≤||≤13. 答案：C 點評：此題可直接應用重要性質||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解. 變式訓練 1．在△ABC中， ＝c， ＝b，若點D滿足＝2，則等于(　　) A.b＋c　　　　　　　　B.c－b C.b－c D.b＋c 答案：A 2．已知a、b、c是三個非零向量，且兩兩不共線，順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a＋b＋c＝0. 證明：已知a≠0，b≠0，c≠0，且a∥\\ b，b∥\\ c，c∥\\ a， (1)必要性：作＝a，＝b，則由假設＝c， 另一方面a＋b＝＋＝. 由于與是一對相反向量， ∴有＋＝0，故有a＋b＋c＝0. (2)充分性：作＝a，＝b，則＝a＋b，又由條件a＋b＋c＝0， ∴＋c＝0.等式兩邊同加，得＋＋c＝＋0. ∴c＝，故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形. 3已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|. 解：如圖9，設＝a， ＝b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則＝a＋b， ＝a－b. 圖9 因為|a＋b|＝|a－b|， 所以| |＝||. 又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形．故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理，得||＝＝＝10.所以|a＋b|＝|a－b|＝10. 1．先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：相反向量，向量減法的定義，向量減法的幾何意義，向量差的作圖． 2．教師與學生一起總結本節(jié)學習的數(shù)學方法，類比，數(shù)形結合，幾何作圖，分類討論． 課本本節(jié)練習A組　1,2. 1．向量減法的幾何意義主要是結合平行四邊形法則和三角形法則進行講解的，兩種作圖方法各有千秋．第一種作法結合向量減法的定義，第二種作法結合向量的平行四邊形法則，直接作出從同一點出發(fā)的兩個向量a、b的差，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，第二種作圖方法比較簡捷． 2．鑒于上述情況，教學中引導學生結合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，也就是箭頭的方向不要搞錯了，a－b的箭頭方向要指向a，如果指向b則表示b－a，在幾何證明題目中，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系． 3．關于向量減法，在向量代數(shù)中常有兩種定義方法，第一種方法是將向量的減法定義為向量加法的逆運算，也就是說，如果b＋x＝a，則x叫作a與b的差，記作a－b.這樣作a－b時，可先在平面內任取一點O，再作＝a， ＝b，則就是a－b.這種定義向量減法，學生較難理解定義本身，但很容易作a－b. 第二種方法是在相反向量的基礎上，通過向量加法定義，即定義a－b＝a＋(－b)．用這種方法定義，通過類比數(shù)的減法，學生容易接受a－b＝a＋(－b)，但作圖較繁．實際上這兩種定義方法沒有本質的區(qū)別． 一、向量減法法則的理解 向量減法的三角形法則的式子內容是：若兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點的向量． 只要學生理解法則內容，那么解決起向量加減法的題來就會更加得心應手，尤其遇到向量的式子運算題時，一般不用畫圖就可迅速求解，如下面例題： 例1化簡：－＋－. 解：原式＝＋－＝－＝0. 例2化簡：＋＋＋. 解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝. 二、備用習題 1．下列等式中，正確的個數(shù)是(　　) ①a＋b＝b＋a?、赼－b＝b－a　③0－a＝－a?、埽?－a)＝a　⑤a＋(－a)＝0 A．5　　　　　　　B．4　　　　　　　C．3　　　　　　　D．2 2．如圖10，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則－等于(　　) 圖10 A. B. C. D. 3．下列式子中不能化簡為的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C.＋－ D.－＋ 4．已知A、B、C三點不共線，O是△ABC內一點，若＋＋＝0，則O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．內心 D．外心 5．若非零向量與滿足|＋|＝||，則△ABC的形狀是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知兩向量a和b，求證：|a＋b|＝|a－b|的充要條件是a的方向與b的方向垂直． 參考答案： 1．B　2.D　3.C　4.A　5.C 6．證明：(1)充分性： 設＝a，＝b，使⊥，以OA、OB為鄰邊作矩形OBCA，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||. ∵四邊形OBCA為矩形，∴||＝||，故|a＋b|＝|a－b|. (2)必要性： 設＝a，＝b，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||. ∵|a＋b|＝|a－b|，∴||＝||. ∴OBCA為矩形．∴a的方向與b的方向垂直．