2019-2020年高考數(shù)學總復(fù)習 專題09 圓錐曲線分項練習（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學總復(fù)習 專題09 圓錐曲線分項練習（含解析） 一．基礎(chǔ)題組 1. 【xx高考上海，6】設(shè)雙曲線 的焦點為 ， 為該雙曲線上的一點.若 ,則 . 【答案】. 2. 【xx上海,理3】若拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為___________. 【答案】. 【解析】橢圓的右焦點為，因此，，準線方程為. 【考點】橢圓與拋物線的幾何性質(zhì). 3. 【xx上海,理9】設(shè)AB是橢圓Γ的長軸，在C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，則Γ的兩個焦點之間的距離為______． 【答案】 【解析】　(如圖)不妨設(shè)橢圓Γ的標準方程為＝1，于是可算得C(1,1)，得b2＝，2c＝. 4. 【xx上海,文18】記橢圓＝1圍成的區(qū)域(含邊界)為Ωn(n＝1，2，…)，當點(x，y)分別在Ω1，Ω2，…上時，x＋y的最大值分別是M1，M2，…，則＝(　　) A．0 B． ` C．2 D． 【答案】D　 5. 【xx上海,理3】設(shè)m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線的一個焦點，則m＝______. 【答案】16 【解析】 6. 【xx上海,理3】若動點P到點F（2，0）的距離與它到直線的距離相等，則點P的軌跡方程為_____________； 【答案】 【解析】由拋物線定義知：P的軌跡為拋物線，易知焦參數(shù)，所以點P的軌跡方程為. 【點評】本題考查拋物線定義和軌跡方程的求法之——直接法，屬基礎(chǔ)概念題 7. 【xx上海,理13】如圖所示，直線與雙曲線：的漸近線交于，兩點，記 ，.任取雙曲線上的點，若（、），則、滿足的一個等 式是 ； 【答案】 【解析】設(shè)，易知，，由，得，即，∴，，代入整理得，故答案為：. 【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，向量的坐標運算，平面向量基本定理等知識，把向量與解幾結(jié)合命題，是全國各地高考題中的主流趨勢. 8. 【xx上海,文13】在平面直角坐標系中，雙曲線Γ的中心在原點，它的一個焦點坐標為(，0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線Γ上的點P，若＝ae1＋be2(a、b∈R)，則a、b滿足的一個等式是________． 【答案】4ab＝1 【解析】由題意知，雙曲線兩條漸近線的斜率分別為，可得雙曲線方程為－y2＝λ，即：－＝1. 又∵雙曲線的一個焦點坐標為(，0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1. ∴雙曲線的方程為－y2＝1. 而＝ae1＋be2＝(2a，a)＋(2b，－b)＝(2a＋2b，a－b)， 又∵P在雙曲線上， ∴－(a－b)2＝1.整理得4ab＝1. 9. (xx上海,理9)已知F1、F2是橢圓C:(a＞b＞0)的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且.若△PF1F2的面積為9,則b=______________. 【答案】3 【解析】∵,∴∠F1PF2=90, ∴△F1PF2為直角三角形. ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2. 又∵|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|, 即(2c)2=(2a)2-4|PF1||PF2|,. ∴4c2=4a2-49=0, ∴4b2=49.∴b=3. 10. (xx上海,理14)將函數(shù)(x∈［0,6］)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(0≤θ≤α),得到曲線C.若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ,曲線C都是一個函數(shù)的圖像,則α的最大值為_____________. 【答案】 11. (xx上海,文9)過點A(1,0)作傾斜角為的直線,與拋物線y2=2x交于M、N兩點,則|MN|=___________. 【答案】 【解析】斜率,所以過點A(1,0)的直線方程為y=x-1. 將其代入拋物線y2=2x,得x2-4x+1=0. 因為判別式Δ=16-4＞0,所以可設(shè)其兩根為x1,x2, 于是x1+x2=4,x1x2=1. 故 12. 【xx上海,文6】若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則實數(shù)___． 【答案】-1 【解析】直線經(jīng)過拋物線的焦點則 13. 【xx上海,文12】設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】 由橢圓的第一定義知 14. 【xx上海,理8】已知雙曲線，則以雙曲線中心為焦點，以雙曲線左焦點為頂點的拋物線方程為 15. 【xx上海,理7】已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ． 【答案】 【解析】已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，即，∴，∴ ，該橢圓的標準方程是． 16. 【xx上海,文7】已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________. 【答案】 【解析】已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是. 17. 【xx上海,理5】若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________. 【答案】 【解析】由雙曲線的漸近線方程為，知， 它的一個焦點是，知，因此 雙曲線的方程是 18. 【xx上海,理15】過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（ ） A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 【答案】B 19. 【xx上海,文7】若橢圓長軸長與短軸長之比為2，它的一個焦點是，則橢圓的標準方程是__________. 【答案】 【解析】由題意可知，，，又，解得， 所求橢圓的標準方程為. 【解后反思】在求橢圓方程和研究性質(zhì)時，要深刻理解確定橢圓的形狀及大小的主要特征數(shù)，如a、b、c、p、e的幾何意義及它們的關(guān)系式，熟練運用這些公式解決有關(guān)問題. 二．能力題組 20. 【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分14）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河.收獲的蔬菜可送到點或河邊運走.于是，菜地分 為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為（1,0），如圖. （1）求菜地內(nèi)的分界線的方程; （2）菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為.設(shè)是上縱坐標為1的點，請計算以為一邊、另有一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值. 【答案】（1）（）；（2）矩形面積為，五邊形面積為，五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗值”． 【解析】 試題解析：（1）因為上的點到直線與到點的距離相等，所以是以為焦點、以為準線的拋物線在正方形內(nèi)的部分，其方程為（）． （2）依題意，點的坐標為． 所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為． 矩形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗值”之差 的絕對值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗值”． 【考點】拋物線的定義及其標準方程、面積計算 【名師點睛】本題主要考查拋物線的實際應(yīng)用，“出奇”之處在于有較濃的“幾何味”，即研究幾何圖形的面積，解題關(guān)鍵在于能讀懂題意.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題與解決問題的能力、數(shù)學的應(yīng)用意識等. 21．【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點. （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 即，從而得到，進而構(gòu)建關(guān)于的方程求解即可． 試題解析：（1）設(shè)． 由題意，，，， 因為是等邊三角形，所以， 即，解得． 故雙曲線的漸近線方程為． （2）由已知，，． 設(shè)，，直線．顯然． 由，得． 因為與雙曲線交于兩點，所以，且． 設(shè)的中點為． 由即，知，故． 而，，， 所以，得，故的斜率為． 【考點】雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積 【名師點睛】本題對考生的計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目時，利用的關(guān)系，確定雙曲線（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與雙曲線（圓錐曲線）方程得到方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題與解決問題的能力等. 22. 【xx高考上海文數(shù)】已知雙曲線、的頂點重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為 . 【答案】 【解析】因為的方程為，所以的一條漸近線的斜率，所以的一條漸近線的斜率，因為雙曲線、的頂點重合，即焦點都在軸上， 設(shè)的方程為， 所以，所以的方程為. 【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率. 【名師點睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程．同時要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線； (2)求已知漸近線的雙曲線的方程； (3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，如k＝＝＝＝. 23.【xx高考上海文數(shù)】（本題滿分14分）本題共3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，，，求的值； （3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變. 【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）. 【解析】（1）直線的方程為， 由點到直線的距離公式得點到的距離為， 因為， 所以. （2）由，消去解得， 由（1）得 由題意知， 解得或. （3）設(shè)，則，設(shè)，， 由，的， 同理， 由（1）知， ， 整理得， 由題意知與無關(guān)， 則，解得. 所以. 【考點定位】橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點睛】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學思想方法的熱點題型．當直線(斜率為k)與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，則|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后再進行整體代入求解． 24. 【xx高考上海理數(shù)】拋物線（）上的動點到焦點的距離的最小值為，則 ． 【答案】 【考點定位】拋物線定義 【名師點睛】標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應(yīng)找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程. 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性． 25.【xx高考上海理數(shù)】已知點和的橫坐標相同，的縱坐標是的縱坐標的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 ． 【答案】 【解析】由題意得：：，設(shè)，則，所以，即的漸近線方程為 【考點定位】雙曲線漸近線 【名師點睛】(1)已知漸近線方程y＝mx，若焦點位置不明確要分或討論． (2)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(3)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(4)相關(guān)點法求動點軌跡方程． 26. 【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分. 已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為. （1）設(shè)，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明； （2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值. 【答案】（1）詳見解析（2） 【解析】證明：（1）直線，點到的距離. ， 所以. 解：（2）設(shè)，則.設(shè) ，. 由，得. 同理. 由，， 整理得. 【考點定位】直線與橢圓位置關(guān)系 【名師點睛】解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦長問題利用弦長公式解決，往往會更簡單．三角形面積公式的選用也是解題關(guān)鍵. 27. 【xx上海,文22】（本題滿分16分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分. 在平面直角坐標系中，對于直線：和點記若<0，則稱點被直線分隔.若曲線C與直線沒有公共點，且曲線C上存在點被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線. ⑴ 求證：點被直線分隔； ⑵若直線是曲線的分隔線，求實數(shù)的取值范圍； ⑶動點M到點的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點M的軌跡為E，求的方程，并證明軸為曲線的分割線. 【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析. 【解析】 二次項系數(shù)為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點位于直線的兩側(cè)．則可得到所求范圍；（3）可直接設(shè)動點坐標為，代入已知條件即可求出軌跡的方程為，化簡為，軸的方程為，它顯然與曲線無交點，又曲線上兩點一定在直線兩側(cè)，故它是分隔線，結(jié)論得證． 試題解析：（1）由題得，，∴被直線分隔. （2）由題得，直線與曲線無交點 即無解 ∴或，∴. 又對任意的，點和在曲線上，滿足，被直線分隔，所以所求的范圍是． （3）由題得，設(shè)，∴， 化簡得，點的軌跡方程為 當過原點的直線斜率不存在時，其方程為. 因為對任意的，點不是方程的解，所以直線與曲線沒有交點，又曲線上的兩點對于直線滿足，即點被直線分隔．所以直線軸是分隔線． 【考點】新定義，直線與曲線的公共點問題. 28. 【xx上海,理22】如圖，已知雙曲線C1：－y2＝1，曲線C2：|y|＝|x|＋1.P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1、C2都有公共點，則稱P為“C1C2型點”． (1)在正確證明C1的左焦點是“C1C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證)； (2)設(shè)直線y＝kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1C2型點”； (3)求證：圓x2＋y2＝內(nèi)的點都不是“C1C2型點”． 【答案】(1) x＝或y＝，其中|k|≥. (2) 參考解析;(3)參考解析 【解析】(1)C1的左焦點為，寫出的直線方程可以是以下形式： x＝或y＝，其中|k|≥. (2)因為直線y＝kx與C2有公共點， 所以方程組有實數(shù)解，因此|kx|＝|x|＋1，得|k|＝＞1. 若原點是“C1C2型點”，則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點． 考慮過原點與C2有公共點的直線x＝0或y＝kx(|k|＞1)． 顯然直線x＝0與C1無公共點． 如果直線為y＝kx(|k|＞1)，則由方程組 得x2＝＜0，矛盾．所以直線y＝kx(|k|＞1)與C1也無公共點． 因此原點不是“C1C2型點”． 因為l與C1有公共點，所以方程組有實數(shù)解， 得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0. 因為|k|＞1，所以1－2k2≠0， 因此Δ＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0， 即b2≥2k2－1. 因為圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d＝， 所以＝d2＜，從而＞b2≥2k2－1， 得k2＜1，與|k|＞1矛盾． 因此，圓x2＋y2＝內(nèi)的點都不是“C1C2型點”． 29. 【xx上海,理22】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積； (2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P，Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ； (3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M，N分別是C1，C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值． 【答案】(1) ;(2)參考解析; (3)參考解析 【解析】(1)雙曲線C1：，左頂點A(，0)， 漸近線方程：. 過點A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組得 所以所求三角形的面積為. (2)設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b. 因直線PQ與已知圓相切， 故，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)， 所以＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)當直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝， 則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時， 設(shè)直線ON的方程為y＝kx(顯然|k|＞)， 則直線OM的方程為. 由得 所以. 同理. 設(shè)O到直線MN的距離為d， 因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， 所以，即. 綜上，O到直線MN的距離是定值． 30. 【xx上海,文22】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點，若，求點M的坐標； (2)過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積； (3)設(shè)斜率為k(|k|＜)的直線l交C于P，Q兩點，若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ. 【答案】(1) M(，); (2) ; (3)參考解析 由M點是右支上一點，知， 所以， 得.所以M(，)． (2)左頂點A(，0)，漸近線方程：. 過點A與漸近線平行的直線方程為 ，即. 解方程組得 所求平行四邊形的面積為S＝|OA||y|＝. (3)設(shè)直線PQ的方程是y＝kx＋b. 因直線PQ與已知圓相切，故， 即b2＝k2＋1.(*) 由得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以 ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 ＝. 由(*)知，，所以O(shè)P⊥OQ. 31. 【xx上海,理23】（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分. 已知橢圓的方程為（），點的坐標為（）. （1）若直角坐標平面上的點、，滿足，求點的坐標； （2）設(shè)直線：交橢圓于、兩點，交直線：于點.若，證明：為的中點； （3）對于橢圓上的點（），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足，寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的的取值范圍. 【答案】（1）;（2）參考解析;（3） 因為直線交橢圓于、兩點， 所以D>0，即， 設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標為(x0,y0)， 則， 由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因為，所以， 故E為CD的中點； (3) 求作點P1、P2的步驟： 1求出PQ的中點， 2求出直線OE的斜率， 3由知E為CD的中點，根據(jù)(2)可得CD的斜率， 4從而得直線CD的方程：， 5將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點P1、P2的坐標． 欲使P1、P2存在，必須點E在橢圓內(nèi)， 所以，化簡得，， 又02,解得m>1 ∴當m>1時, AK與圓M相離; 當m=1時, AK與圓M相切; 當m<1時, AK與圓M相交. 【解后反思】解答圓錐這部分試題需準確地把握數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換能力，推理能力，本題計算量并不大，但步步等價轉(zhuǎn)換的意識要準確無誤.