2019-2020年高考數(shù)學專題講座 第25講 高頻考點分析之直線與圓探討.doc

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2019-2020年高考數(shù)學專題講座 第25講 高頻考點分析之直線與圓探討 1～2講，我們對客觀性試題解法進行了探討，3～8講，對數(shù)學思想方法進行了探討，9～12講對數(shù)學解題方法進行了探討，第13講～第28講我們對高頻考點進行探討。 結合xx年全國各地高考的實例，我們從以下三方面探討直線與圓問題的求解： 1. 直線的方程和性質； 2. 圓的方程和性質； 3. 直線與圓的綜合問題。 一、直線的方程和性質： 典型例題：例1. （xx年北京市文5分）某棵果樹前n年的總產量S與n之間的關系如圖所示.從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高。m值為【 】 A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C。 【考點】直線斜率的幾何意義。 【解析】據(jù)圖像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導數(shù)來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實際上，前n年的年平均產量就是前n年的總產量S與n的商：，在圖象上體現(xiàn)為這一點有縱坐標與橫坐標之比。 因此，要使前m年的年平均產量最高就是要這一點的縱坐標與橫坐標之比最大，即這一點與坐標原點連線的傾斜角最大。圖中可見。當n=9時，傾斜角最大。從而m值為9。故選C。 二、圓的方程和性質： 典型例題：例1. （xx年山東省文5分）圓與圓的位置關系為【 】 A 內切　　B 相交　　C 外切　　D 相離 【答案】B。 【考點】兩圓位置關系的判定。 【解析】∵兩圓圓心分別為（－2，0），（2，1），∴兩圓圓心距為。 又∵兩圓半徑分別為2，3，∴兩圓半徑之差為1，半徑之和為5。 ∵，即兩圓圓心距在兩圓半徑差與半徑和之間， ∴兩圓相交。故選B。 三、直線與圓的綜合問題： 典型例題：例1. （xx年重慶市理5分）對任意的實數(shù)，直線與圓的位置關系一定是【 】 A.相離 B.相切 C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心 【答案】C。 【考點】直線與圓的位置關系，曲線上 的坐標與方程的關系。 【分析】從直線與圓的位置關系入手，因為直線過定點A（0，1），而點A在圓的內部，故直線與圓相交。將圓心（0，0）代入，左右不相等，所以圓心（0，0）不在直線上。故選C。 別解：將代入得。 ∵根的判別式， ∴有兩不相等的實數(shù)根，即與的圖象有兩交點。 同上判別圓心在不在直線上。 還可求圓心到直線的距離來判別。 例2. （xx年安徽省文5分）若直線與圓有公共點，則實數(shù)取值范圍是【 】 【答案】。 【考點】圓與直線的位置關系，點到直線的距離公式，解絕對值不等式。 【解析】設圓的圓心到直線的距離為， 則根據(jù)圓與直線的位置關系，得。 ∴由點到直線的距離公式，得，解得。故選。 例3. （xx年陜西省理5分） 已知圓，過點的直線，則【 】 A.與相交 B. 與相切 C.與相離 D. 以上三個選項均有可能 【答案】A。 【考點】直線與圓的位置關系。 【解析】∵，∴點在圓C內部。故選A。 例4. （xx年廣東省文5分）在平面直角坐標系中，直線與圓相交 于、兩點，則弦的長等于 【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考點】直線與圓相交的性質。 【解析】由直線與圓相交的性質可知，，要求，只要求解圓心到直線的距離即可： 由題意可得，圓心（0，0）到直線的距離 ， 則由圓的性質可得，，即，解得。故選B。 例5. （xx年湖北省文5分）過點的直線，將圓形區(qū)域分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為【　　　】 A. 　B. 　C. 　D. 【答案】A。 【考點】分析法的應用，垂徑定理，兩直線垂直的性質，由點斜式求直線方程。 【解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線垂直即可。 又已知點，則。故所求直線的斜率為-1。 又所求直線過點，故由點斜式得，所求直線的方程為，即。 故選A。 例6. （xx年福建省文5分）直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長度等于【 】 A．2 B．2 C. D．1 【答案】B。 【考點】直線與圓的位置關系。 【解析】根據(jù)圓的方程知，圓的圓心為(0,0)，半徑R＝2，弦心距d＝＝1，所以弦長AB＝2＝2。故選B。 例7.（xx年遼寧省文5分）將圓平分的直線是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答案】C。 【考點】直線和圓的方程，曲線上點的坐標與方程的關系。 【解析】∵， ∴圓的圓心坐標為（1，2）。 ∵將圓平分的直線必經過圓心，∴逐一檢驗，得過（1，2）。故選C。 例8. （xx年重慶市文5分）設A，B為直線與圓 的兩個交點，則【 】 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】D。 【考點】直線與圓相交的性質。 【分析】由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，根據(jù)圓心在直線上，得到AB為圓的直徑，根據(jù)直徑等于半徑的2倍，可得出|AB|的長： 由圓，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=1。 ∵圓心（0，0）在直線上，∴弦AB為圓O的直徑。 ∴|AB|=2r=2。故選D。 例9.（xx年陜西省文5分）已知圓，過點的直線，則【 】 A.與相交 B. 與相切 C.與相離 D. 以上三個選項均有可能 【答案】A。 【考點】直線與圓的位置關系。 【解析】∵，∴點在圓C內部。故選A。 例10. （xx年天津市理5分）如圖，已知和是圓的兩條弦。過點作圓的切線與的延長線相交于點，過點作的平行線與圓相交于點，與相交于點，，，，則線段的長為 ▲ . 【答案】。 【考點】直線與圓的位置關系，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質。 【分析】∵，，，由相交弦定理得，∴。 又∵∥，∴，=。 設，則， 再由切割線定理得，即，解得，故。 例11. （xx年北京市文5分）直線被圓截得的弦長為 ▲ 。 【答案】。 【考點】直線和圓的性質，解直角三角形。 【解析】利用直角三角形解題： 如圖所示，半弦長，圓心（0，2）到直線的距離，圓的半徑構成一個等腰直角三角形。 ∵，∴。 ∴弦長為。 例12. （xx年天津市文5分）設,若直線與軸相交于點，與y軸相交于，且與圓相交所得弦的長為2，O為坐標原點，則面積的最小值為 ▲ 【答案】3。 【考點】直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，基本不等式的應用。 【分析】∵直線與兩坐標軸的交點坐標為，直線與圓相交所得的弦長為2， 又∵圓心到直線的距離滿足， ∴，即圓心到直線的距離?！唷? ∴三角形的面積為。 又∵，當且僅當時取等號， ∴面積的最小值為。 例13. （xx年江蘇省5分）在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上 至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是 ▲ ． 【答案】。 【考點】圓與圓的位置關系，點到直線的距離。 【解析】∵圓C的方程可化為：，∴圓C的圓心為，半徑為1。 ∵由題意，直線上至少存在一點，以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有 公共點； ∴存在，使得成立，即。 ∵即為點到直線的距離，∴，解得。 ∴的最大值是。 例14.（xx年江西省文5分）過直線上點作圓的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點的坐標是 ▲ 。 【答案】（）。 【考點】圓的切線的性質，兩直線的夾角。 【解析】如圖，根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線和為過點的兩條切線，且 =60。 設的坐標為（a，b），連接， ∴平分。 ∴。 又∵圓的圓心坐標為（0，0），半徑為1，∴?！?。 ∴，即①。 又點在直線上，∴②。 聯(lián)立①②解得：。∴點的坐標是（）。